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专题25 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 4
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 5
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 8
【分层检测】 9
【基础篇】 9
【能力篇】 12
【培优篇】 13
考试要求：
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点1】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
一、单选题
1．（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（20-21高三下·安徽·开学考试）设，将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数的图象.若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）
A．， B．， C． D．3
二、多选题
3．（2023·河北·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三上·吉林·阶段练习）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在区间上单调
三、填空题
5．（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 .
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知函数，，为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移a个单位或向右平移b个单位，其中，若，则实数λ的取值范围为 ．
反思提升：
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
一、单选题
1．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
2．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数的解析式可以为；
③函数在上的值域为；
④若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
二、多选题
3．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．函数在上有5个零点，则的取值范围为
4．（2024·广东江门·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位
D．函数在区间上的取值范围是
三、填空题
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
反思提升：
由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（ ）
A．时，在上单调递增
B．若，且的最小值为，则
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则
B．时，直线为图象的一条对称轴
C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为
三、填空题
5．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，是关于x的方程在内的两根，则的值为 .
6．（23-24高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 .
反思提升：
（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．130
3．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴
二、多选题
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C．函数在区间上有2个零点
D．函数在区间上单调递增
6．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期
B．
C．的图象关于直线对称
D．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称
7．（22-23高三下·广东·阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变
三、填空题
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为 .
9．（2023·湖北·一模）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
10．（2021·北京门头沟·一模）函数在区间上单调，且，则的最小值为 .
四、解答题
11．（2021·北京延庆·模拟预测）已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
条件①：的最大值为2；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
12．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·河北·模拟预测）已知函数，且，是函数相邻的两个最大值点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2022·陕西西安·二模）已知函数，若函数的部分图象如图，函数，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①函数的图象关于直线对称；
②函数的图象关于点对称；
③将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；
④函数在区间上的单调递减区间为．
四、解答题
4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·四川·一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·山东·模拟预测）已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为
C．函数在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是 .
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专题25 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 6
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 10
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 16
【分层检测】 22
【基础篇】 22
【能力篇】 29
【培优篇】 33
考试要求：
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
1．C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
2．A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
3．D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.

4．C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
5．B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
【考点1】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
一、单选题
1．（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（20-21高三下·安徽·开学考试）设，将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数的图象.若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）
A．， B．， C． D．3
二、多选题
3．（2023·河北·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三上·吉林·阶段练习）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在区间上单调
三、填空题
5．（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 .
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知函数，，为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移a个单位或向右平移b个单位，其中，若，则实数λ的取值范围为 ．
参考答案：
1．A
【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为，
所以.
故选：A
2．C
【分析】由图象变换知识得到，根据时取得最大值得到，由单调区间长度小于等于半个周期，求出的范围，从而确定的值.
【详解】由题意知，.当时，函数取得最大值，所以，.解得，.因为在区间上递增，在上递减，所以且，解得.因此.
故选：C
【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
3．BD
【分析】通过往回倒推，将函数的图象,向左平移个单位长度，再将其纵坐标伸长2倍，横坐标伸长3倍得到解析式，利用诱导公式一一对照化简即可.
【详解】把函数的图象,向左平移个单位长度,
得到的图象,
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到的图象,
最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),
得到的图象.
而.
故选：BD.
4．BC
【分析】
由，求得， 由题意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得，得到和解析式，逐个判断选项.
【详解】
，则， 由题意得，即，故，因为，，所以，所以，则选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则， 故选项B正确；
因为，所以，所以为偶函数 ，则选项C正确；
，由， 得， 因为函数在 上单调递增，在 上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误.
故选：BC
5．（答案不唯一）
【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数的值.
【详解】将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为，
由题意的图象关于轴对称，
所以，解得，，令，得.
故答案为：（答案不唯一）.
6．
【分析】将恒成立问题转化为最值问题，利用正弦二倍角公式及三角函数的诱导公式，结合三角函数的平移变换即可求解.
【详解】依题意，对于，都有，等价于即可.
， ，
因为，且，
所以，即，
所以实数λ的取值范围为.
故答案为：.
反思提升：
作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【考点2】由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
一、单选题
1．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
2．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数的解析式可以为；
③函数在上的值域为；
④若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
二、多选题
3．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．函数在上有5个零点，则的取值范围为
4．（2024·广东江门·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位
D．函数在区间上的取值范围是
三、填空题
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是 ．
参考答案：
1．C
【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到点横坐标，从而得到最小正周期；B选项，根据的图象关于点对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出，将代入解析式求出，，从而利用整体法判断出在不单调；D选项，求出，得到其奇偶性.
【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故，
设的最小正周期为，则，故，A正确；
B选项，可以看出函数的图象关于点对称，
又的最小正周期，
故函数的图象关于点对称，B正确；
C选项，又，故，
，故将代入解析式得，
解得，
又，故当且仅当时，满足要求，故，
又当时，，故，
则，
当时，，
由于在上不单调，
故在上不单调，C错误；
D选项，，定义域为R，
又，为奇函数，D正确.
故选：C
2．B
【分析】根据图象求出函数表达式，对于①，由代入检验法判断；对于②，由诱导公式检验；对于③，由整体代入法求值域检验；对于④，由平移、伸缩变换法则验算即可判断.
【详解】由图可知，所以，
且，所以，
又因为，所以只能，
所以，
对于①，，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，当时，，此时的取值范围是，
从而函数在上的值域为，故③正确；
对于④，若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，
则所得函数是，故④错误；
综上，正确的编号是②③.
故选：B.
3．ABC
【分析】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】由题图可知，，所以，所以，
由，得，
由，解得，所以.
对于A，令，则，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，函数变换后的解析式为，因为，即为函数，故C正确；
对于D，因为，得，令，则，由正弦函数图象可知，，解得，故D错误.
故选：ABC.
4．ABD
【分析】由图得，点在图象上求得及的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；根据图象平移规律可判断C；根据的范围求得可判断D.
【详解】由图得,，所以，，
所以，因为点在图象上，所以，
所以，因为，所以，可得，故A正确；
对于B，由，
得，所以函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故C错误；
对于D，时，，
所以，函数在区间上的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
5．/
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，进而求出的解析式，再利用正弦函数的性质列式计算即得.
【详解】由函数的图象知，的周期，，
又，解得，而，则，
于是，，
由函数为奇函数，得，而，则，
所以当时，.
故答案为：
6．
【分析】结合图象求得的最小正周期，即可求得，然后结合图象上的点的坐标及可求得，得到的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m的取值范围．
【详解】设的最小正周期为T，则由图象知，
所以，则，
由在处取得最小值，可得，，
得，．因为，所以，
所以；
（或由题意可得，，亦可得）
，
由，得，
所以由题意得，解得，
即实数m的取值范围是．
故答案为：.
反思提升：
由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【考点3】三角函数图象、性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（ ）
A．时，在上单调递增
B．若，且的最小值为，则
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则
B．时，直线为图象的一条对称轴
C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为
三、填空题
5．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，是关于x的方程在内的两根，则的值为 .
6．（23-24高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 .
参考答案：
1．A
【分析】先根据图象的变换求出，再结合三角函数性质求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，即
因为，所以，
因为在上无零点，所以，
即，解得，
因为，所以，.
故选：A
2．B
【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，

设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，
因为，可得，
由题意可知：均与y轴垂直，且，
作垂足为，则，
因为，即，解得；
又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.
3．CD
【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断.
【详解】对于A，，
当时，，
而在不单调，故A是错误的；
对于B，，由的最小值为，
则函数周期为，所以，解得，故B是错误的；
对于C，在上恰有7个零点，结合正弦曲线可知，
，解得：，故C是正确的；
对于D，由的图象向右平移个单位长度后得到：
，由它关于轴对称，可知：，
解得：，当时，，故D是正确的；
故选：CD.
4．BD
【分析】利用二倍角公式化简，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.
【详解】，
对于，根据条件，可得，故A错误；
对于，当时，，
所以直线为的一条对称轴，故B正确；
对于，当时，，将向左平移个单位长度后可得，
为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，
所以，解得，故D正确.
故选：BD.
5．－/
【分析】根据三角恒等变换整理的解析式，再结合图象变换求的解析式，最后根据正弦函数的对称性运算求解.
【详解】其中，
因为把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
当时，，
因为，是关于x的方程在内的两根，
所以有，
因此，
故答案为：
6．
【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.
【详解】由题意得，
当时，有，此时，
令，则，
因为时，所以，
因为对于的任意取值，在上有唯一解，
即在上有唯一解，如图所示：
由图可知，，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解.
反思提升：
（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．130
3．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴
二、多选题
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C．函数在区间上有2个零点
D．函数在区间上单调递增
6．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期
B．
C．的图象关于直线对称
D．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称
7．（22-23高三下·广东·阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变
三、填空题
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为 .
9．（2023·湖北·一模）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
10．（2021·北京门头沟·一模）函数在区间上单调，且，则的最小值为 .
四、解答题
11．（2021·北京延庆·模拟预测）已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
条件①：的最大值为2；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
12．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据函数图象的平移可得表达式，即可根据偶函数的性质求解.
【详解】由题意可得，
由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以,
故，由于，所以的最小值，
故选：C
2．B
【分析】根据频率公式进行计算.
【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为.
故选：B
3．A
【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】，
由诱导公式可知：
又
则，即只需把图象向右平移个单位.
故选：A
4．D
【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D.
【详解】对于选项A，由题意，可得，
故A错误；
对于选项B，令，，
所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为，所以，故，
在上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数的对称轴方程为，
化简可得，取，可得，
所以是图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.
5．ACD
【分析】利用三角恒等变换易得，采用代入检验法即可判断A项，利用平移变换，求得函数解析式，易得其为奇函数，，故而排除B项，将看成整体角，求出其范围，利用余弦函数的图象观察分析，易对C,D两项进行判断.
【详解】
对于当时，而，故A正确；
对于将向左平移个单位后可得，
为奇函数，关于原点对称，故B错；
对于当时，，
因在上仅有2个零点，故在上也仅有2个零点，故C正确；
对于当时，因在上单调递增，
故在上单调递增，故D正确.
故选：ACD．
6．BC
【分析】利用正弦型函数的对称性结合的取值范围求出的表达式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】因为函数图象关于点中心对称，
则，可得，
因为，可得，所以，，
对于A选项，的最小正周期为，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
故函数的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后，
可得到函数，
故的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，D错.
故选：BC.
7．AC
【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，纵坐标不变，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，A正确；
将的图象向右平移个单位长度，得到，
再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确.
故选：AC
8．
【分析】利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到的最小值.
【详解】相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，∴,∴，
∴最小值点右侧最近的一个最大值点为，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过的最值点，即右侧第一条对称轴为，∴把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为,
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键.
9．
【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据偶函数即可求解,进而可求解.
【详解】，
由于是偶函数，所以,故，
所以，
故答案为：
10．
【分析】首先将函数化简，根据函数在区间上单调，得到，即可求出的取值范围，再由得到，即可得到的取值集合，即可得解；
【详解】解：
即
因为在区间上单调，所以，即，所以，解得
又，所以，所以，所以，所以，所以当时
故答案为：
11．选择见解析；（1）；（2）单调增区间为．
【分析】（1）选择①：利用三角恒等变换化简函数解析式，进而根据最值求得的值；选择②：代入直接求解即可；
（2）根据三角函数伸缩平移变换可得函数解析式，进而求得其单调递增区间.
【详解】解：（1）选择①：因为
所以，其中，
所以，又因为，所以．
选择②：，所以．
（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）
（2）因为
所以
则，
，
所以函数的单调增区间为
(一个都没写的扣一分)
12．(1)
(2)
【分析】（1）结合降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递减区间；
（2）结合平移法则易得，由求出范围，进而得到的范围.
【详解】（1）因为，
由，解得，
所以的递减区间为；
（2）由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．
当时，，
由方程有解，可得实数的取值范围为．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·河北·模拟预测）已知函数，且，是函数相邻的两个最大值点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2022·陕西西安·二模）已知函数，若函数的部分图象如图，函数，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①函数的图象关于直线对称；
②函数的图象关于点对称；
③将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；
④函数在区间上的单调递减区间为．
四、解答题
4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值.
【详解】由题意可知，，
因为函数关于原点对称，所以，
则，,得，且，
所以.
故选：D
2．BD
【分析】由相邻的两个最大值点对应，可得函数的周期，由，，可得，再由函数取得最大值苛求，进而可判断选项是否正确.
【详解】A选项：因，
所以，
因，，
故，故A错误；
B选项：因，是函数相邻的两个最大值点，
所以，
所以，故B正确；
C选项：由题意，时，
即，
即，
因，故，
故C错误；
D选项：由以上选项知，
，
，
故D正确.
故选:BD.
3．③
【分析】由函数的图象确定的最大值和最小值，有两种情形，不论哪一种都有最大值与最小值的差为4，从而得，再由求得得函数解析式，然后根据余弦函数的性质判断各选项．
【详解】由函数的部分图象知的最大值是1，最小值是－3，或最大值是3，最小值是－1，不论哪种情形都有，，
若，则，，无解，
若，则，，又，所以，
，
时，，①错；
时，，②错；
的图象向左平移个单位长度可得到
的图象，③正确；
时，，，先减后增，④错．
故答案为：③．
4．(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）因为关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点.

由图象可知符合题意的的取值范围为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·四川·一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·山东·模拟预测）已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为
C．函数在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，
即，因为函数在上没有零点，则，即，
即，则，由，得，得，
若函数在上有零点，则，，
即，又，则.当时，解得.
当时，解得.当时，解得，与矛盾.
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数的解析式，利用间接法求解的范围是解决本题的关键.
2．BD
【分析】根据对称轴得到解析式.根据图像平移判断A选项，利用两角和的正余弦公式及特殊角的三角函数值，得到B选项，利用整体代入的方法，结合正弦函数图像对CD两个选项进行判断.
【详解】因为函数图象的一条对称轴为直线，所以，得，因为，所以，从而.
选项A：将的图象向左平移个单位长度得到
而，所以平移后得不到函数的图象，故A错误.
选项B：令，即，所以，故B正确.
选项C：由，令，根据正弦函数单调性知在上单调递增，在定义域上单调递减，根据复合函数单调性，在上单调递减，故C错误.
选项D：由得，区间长度为.
根据正弦函数图象和性质，当区间关于对称轴对称时，最大值与最小值的差取得最小值，为;
当区间关于对称中心对称时，最大值与最小值的差取得最大值，为，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：整体代入解决三角函数问题：将看成一个整体，根据的范围得到的范围，结合正余弦函数值域、单调性、对称性等性质可以得到正余弦型函数的性质.
3．
【分析】作出和的图象，数形结合即可求得答案.
【详解】当时，如图为满足题意的两种情况：

即或，解得；
当时，如图：

则，解得.
综上，的范围是，
故答案为：.
【点睛】本题考查利用数形结合法解决方程根的个数问题，需要根据题意作出函数图象，利用图象进行求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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