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2023-2024学年江西省鹰潭市高二下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
3.抛物线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
4.某校组队参加辩论赛，从名学生中选出人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
5.已知，都是定义在上的函数，且，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知各项均为正数的数列的前项和为，， ，，则( )
A. B. C. D.
7.在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 若随机事件，满足：，则，相互独立
D. 随机变量，若方差，则
10.已知数列的前项和为，等差数列的公差为，且，，则( )
A. 若，则 B. 若，则为递减数列
C. 若，则 D. 若，则
11.已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点，点在第一象限内，点在的准线上，则下列判断正确的是( )
A. 若与相切，则也与相切
B.
C. 若点在轴上，则为定值．
D. 若点在轴上，且满足，则直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为________
13.设点为圆上任意一点，则的取值范围是________
14.双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点若，且，则双曲线的离心率为________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且
证明：是等比数列．
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，，．
求函数的单调区间；
若且恒成立，求的最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且．
证明：平面
当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离．
18.本小题分
学校师生参与创城志愿活动高二班某小组有男生人，女生人，现从中随机选取人作为志愿者参加活动．
求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
若志愿活动共有卫生清洁员交通文明监督员科普宣传员三项可供选择每名女生至多从中选择项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为每人每参加项活动可获得个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望．
19.本小题分
已知椭圆：的左焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
求椭圆的方程；
设，是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于，两点点在轴的上方，直线，分别与轴交于点，，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．
参考答案
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14.
15.解：证明：由得，
而，
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，即，
所以．
记，
则，
两式相减得，
所以，
故．
16.解：根据题意，
，
当时，由于，恒成立，在上递增；
当 ，时，；时， ，
在上递增，在递减，
综上，当 时，的增区间为，无减区间；
当 时，的增区间为，减区间为；
令，
要使 恒成立，
只要使恒成立，也只要使 ，
，
由于 ，，所以 恒成立，
当 时，；当时，；
所以， ，
解得 ，所以的最小值为 ．

17.解：证明：连结，交于点，
因为，所以，
又，
所以，
所以，又，
所以，
所以
所以，
因为面，面，
所以平面．
因为平面，，平面，所以，
又，所以，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，
则，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即
令，可取，
平面的法向量可取，
所以
，
得，
所以，，
所以，所以，
所以点到直线的距离为．
18.解：设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动为事件，
则，，
所以；
依题意知服从超几何分布，
所以，，，
所以的分布列为：
所以；
设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，，的所有可能取值为，，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动，，
所以，
即两人工时之和的期望为个工时．
19.解：由题意，，
所以椭圆方程为；
是定值，理由如下：
由题意可得，，，
当轴时，直线的方程为，易知，，
直线的方程为，所以，，
直线的方程为，所以，，则
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
由得，
则，
设，，则，，
直线的方程为，令，则，所以，
直线的方程为，令，则，所以，
所以，，
所以
，
可得，
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