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2024—2025学年上学期深圳初中数学七年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．“2021成都大运会”筹备工作开展以来，志愿者部科学统筹，一体推进志愿者招募培训，运行指挥，活动组织，服务保障和疫情防控等工作．截止2月25日，已完成5000余名骨干志愿者招募．数据5000用科学记数法可以表示为（　　）
A．5×103 B．5×104 C．0.5×103 D．0.5×104
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1
C．3a2﹣a＝2a D．ab+2ab＝3ab
4．在2008年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了1000个成年人，结果其中有150个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（　　）
A．调查的方式是普查
B．本地区约有15%的成年人吸烟
C．样本是150个吸烟的成年人
D．本地区只有850个成年人不吸烟
5．已知∠α＝66°25'，则∠α的补角的度数为（　　）
A．23°35′ B．23°75′ C．113°35′ D．113°75′
6．计算（﹣5）﹣（﹣8）的结果等于（　　）
A．﹣13 B．13 C．﹣3 D．3
7．若x﹣3y＝﹣2，那么3﹣x+3y的值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
8．甲、乙两人从同一个地点出发，沿着同一条线路进行赛跑练习，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，设x秒后甲可以追上乙，则下面列出的方程不正确的是（　　）
A．7x＝6.5x+5 B．7x+5＝6.5x C．7x﹣6.5x＝5 D．6.5x＝7x﹣5
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
10．某人靠墙围成一块梯形菜地，三面用篱笆围成，设一腰长为a，另一腰长为2a+b，与墙面相对的一边比两腰的和还大b，则此篱笆的总长是（　　）
A．3a+2b B．6a+3b C．4a+2b D．5a+3b
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．用一个a的值说明“|a|＝a”是错误的，则a的值可以是 　 　．
12．（1）用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定住木条，这说明 　 　；
（2）高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是 　 　．
13．如图．一张边长为a的正方形纸．剪去两个小正方形．计划将其裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒（不考虑损耗或接缝）．计算出纸盒容积　 　（用含有a的代数式表示）．
14．过一个钝角的顶点分别作两条边的垂线，若这两条垂线的夹角为30°，则此钝角的度数为 　 　．
15．计算：﹣3×2＝　 　，5a﹣2a＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（12分）（1）计算：（﹣1）2023﹣|﹣10|×2+（﹣2）3；
（2）解方程：．
17．（5分）化简，求值．
（1）3（m﹣2n）﹣2（﹣2n+3m）．
（2）4xy﹣（2x2+5xy﹣y2）+2（x2+3xy），其中x＝1，y＝﹣2．
18．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，如图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图可能分别是哪个？
19．（7分）近日教育部正式印发《义务教育课程方案》并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，今秋开学起，劳动将正式成为中小学的一门独立课程．为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间．学校随机抽取一部分学生，对学生每月的劳动时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频
数分布直方图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，E组对应的圆心角度数为 　 　度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数．
20．（8分）“水是生命之源”，德州市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
用水量/月 单价（元/m3）
不超过20m3 2.8
超过20m3的部分 3.8
另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费
（1）如果1月份某用户用水量为19m3，那么该用户1月份应该缴纳水费 　 　元；
（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少m3？
（3）若该用户水表3月份出了故障，只有70%的用水量记入水表中，这样该用户在3月份只缴纳了58.8元水费，问该用户3月份实际应该缴纳水费多少元？
21．（8分）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一个含30°角的三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 　 　；
（2）继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由．
（3）若三角板从图1开始绕点O按每秒30°的速度逆时针旋转270°，在这个过程中，是否存在OM所在的直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在的直线平分另一个角的时刻？若存在，直接写出旋转时间；若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知关于x的方程：．
（1）若方程的解是x＝3．那么m＝　 　；
（2）若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解．
2024—2025学年上学期深圳初中数学七年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】乘积是1的两数互为倒数，直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是．
故选：A．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
2．“2021成都大运会”筹备工作开展以来，志愿者部科学统筹，一体推进志愿者招募培训，运行指挥，活动组织，服务保障和疫情防控等工作．截止2月25日，已完成5000余名骨干志愿者招募．数据5000用科学记数法可以表示为（　　）
A．5×103 B．5×104 C．0.5×103 D．0.5×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：5000＝5×103．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1
C．3a2﹣a＝2a D．ab+2ab＝3ab
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故A不符合题意；
B、3a﹣2a＝a，故B不符合题意；
C、3a2与﹣a不能合并，故C不符合题意；
D、ab+2ab＝3ab，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
4．在2008年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了1000个成年人，结果其中有150个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（　　）
A．调查的方式是普查
B．本地区约有15%的成年人吸烟
C．样本是150个吸烟的成年人
D．本地区只有850个成年人不吸烟
【考点】调查收集数据的过程与方法；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量．
【答案】B
【分析】根据调查的情况可以判断是抽查，根据样本与总体的关系即可判断．
【解答】解：调查的方式是抽查，因而A错误；
样本是1000个成年人的抽烟情况，故C，D错误；
抽烟的成年人所占的比例约是：15%，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抽样调查，以及总体与样本的关系，是基础题．
5．已知∠α＝66°25'，则∠α的补角的度数为（　　）
A．23°35′ B．23°75′ C．113°35′ D．113°75′
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】计算180°﹣66°25'即可求解．
【解答】解：∠α＝66°25'，则∠α的补角的度数为180°﹣66°25'＝179°60'﹣66°25'＝113°35'，
故选：C．
【点评】本题考查了求一个角的补角，掌握角度的计算是解题的关键．
6．计算（﹣5）﹣（﹣8）的结果等于（　　）
A．﹣13 B．13 C．﹣3 D．3
【考点】有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据有理数减法法则，求出计算（﹣5）﹣（﹣8）的结果等于多少即可．
【解答】解：（﹣5）﹣（﹣8）
＝（﹣5）+8
＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，解答此题的关键是要明确有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
7．若x﹣3y＝﹣2，那么3﹣x+3y的值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】把x﹣3y＝﹣2整体代入所求代数式求值即可．
【解答】解：当x﹣3y＝﹣2时，原式＝3﹣（x﹣3y）＝3﹣（﹣2）＝5．
故选：C．
【点评】本题考查的是代数式求值，整体代入所求代数式是解题的关键．
8．甲、乙两人从同一个地点出发，沿着同一条线路进行赛跑练习，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，设x秒后甲可以追上乙，则下面列出的方程不正确的是（　　）
A．7x＝6.5x+5 B．7x+5＝6.5x C．7x﹣6.5x＝5 D．6.5x＝7x﹣5
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【答案】B
【分析】设x秒后甲可以追上乙，由路程＝速度×时间结合甲比乙多跑5米，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设x秒后甲可以追上乙，
根据题意得：7x＝6.5x+5，7x﹣6.5x＝5，6.5x＝7x﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据图逐项判断对错．
【解答】解：A．由图可得数a表示的点在﹣2左侧，
∴a＜﹣2，A选项错误，不符合题意．
B．∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|＞b，B选项正确，符合题意．
C．∵|a|＞b，a＜0，
∴﹣a＞b，
∴a+b＜0，C选项错误，不符合题意．
D．∵b＞a，
∴b﹣a＞0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
10．某人靠墙围成一块梯形菜地，三面用篱笆围成，设一腰长为a，另一腰长为2a+b，与墙面相对的一边比两腰的和还大b，则此篱笆的总长是（　　）
A．3a+2b B．6a+3b C．4a+2b D．5a+3b
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵设一腰长为a，另一腰长为2a+b，与墙面相对的一边比两腰的和还大b，
∴与墙面相对的一边为：a+2a+b+b＝3a+2b，
故此篱笆的总长是：3a+2b+a+2a+b＝6a+3b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确掌握整式的加减运算法则是解题关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．用一个a的值说明“|a|＝a”是错误的，则a的值可以是 　﹣1　．
【考点】绝对值．
【专题】实数；数感．
【答案】﹣1（答案不唯一）．
【分析】运用实数绝对值的计算方法进行讨论、求解．
【解答】解：∵|a|，
∴当a≥0时，|a|＝a是正确的；
当a＜0时，|a|＝a是错误的，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题考查了实数绝对值的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
12．（1）用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定住木条，这说明 　两点确定一条直线　；
（2）高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是 　两点之间线段最短　．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【答案】（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短．
【分析】（1）根据直线的确定方法判断即可；
（2）此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点之间线段最短的性质．
【解答】解：（1）用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定住木条，这说明两点确定一条直线；
（2）从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，使两点处于同一条线段上．
这样做包含的数学道理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点确定一条直线；两点之间，线段最短．
【点评】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题的关键．
13．如图．一张边长为a的正方形纸．剪去两个小正方形．计划将其裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒（不考虑损耗或接缝）．计算出纸盒容积　　（用含有a的代数式表示）．
【考点】列代数式．
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】根据图形，可以写出长方体的长、宽、高，然后根据长方体的体积＝长×宽×高计算即可．
【解答】解：由图可得，
每个小正方形的边长为，
则粘贴成无盖的长方体纸盒的长为a，宽为，高为，
故纸盒容积为： ，
故答案为：
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确长方体的体积＝长×宽×高．
14．过一个钝角的顶点分别作两条边的垂线，若这两条垂线的夹角为30°，则此钝角的度数为 　150°　．
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】150°．
【分析】根据题意画出图示，再根据垂线的定义以及角的和差关系解决此题．
【解答】解：如图．
由题意得，∠DOG＝30°，∠AOG＝90°，∠BOD＝90°．
∴∠AOD＝∠AOG﹣∠DOG＝90°﹣30°＝60°．
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝60°+90°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题主要考查垂线，熟练掌握垂线的定义是解决本题的关键．
15．计算：﹣3×2＝　﹣6　，5a﹣2a＝　3a　．
【考点】合并同类项；有理数的乘法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算；
（2）合并同类项的法则是系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：﹣3×2＝﹣6，
5a﹣2a＝3a．
【点评】运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（12分）（1）计算：（﹣1）2023﹣|﹣10|×2+（﹣2）3；
（2）解方程：．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣29；
（2）x＝1．
【分析】（1）原式先算乘方及绝对值运算，再算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣10×2+（﹣8）
＝﹣1﹣20﹣8
＝﹣29；
（2）去分母得：2（4x+2）﹣3（x﹣1）＝12，
去括号得：8x+4﹣3x+3＝12，
移项合并得：5x＝5，
解得：x＝1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握一元一次方程的解法及运算法则是解本题的关键．
17．（5分）化简，求值．
（1）3（m﹣2n）﹣2（﹣2n+3m）．
（2）4xy﹣（2x2+5xy﹣y2）+2（x2+3xy），其中x＝1，y＝﹣2．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）﹣3m﹣2n；（2）5xy+y2，﹣6．
【分析】（1）原式去括号，合并同类项进行化简；
（2）原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
【解答】解：（1）原式＝3m﹣6n+4n﹣6m
＝﹣3m﹣2n；
（2）原式＝4xy﹣2x2﹣5xy+y2+2x2+6xy
＝5xy+y2，
当x＝1，y＝﹣2时，
原式＝5×1×（﹣2）+（﹣2）2
＝﹣10+4
＝﹣6．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
18．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，如图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图可能分别是哪个？
【考点】简单组合体的三视图；数学常识．
【专题】投影与视图；推理能力．
【答案】主视图与左视图完全相同，是图形a；俯视图是图形b．
【分析】该几何体由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），当该几何体主观图和侧视图完全相同时，可思考主视图图形，结合该几何体的直观图，由于俯视图是从上往下看，由直观图从上往下看可得出俯视图图形，从而得出答案．
【解答】解：由题中所给的条件判断：其主视图与左视图完全相同，是圆，即图形a；
俯视图应该是正方形加对角线（对角线为实线），即图形b．
【点评】本题主要考查三视图的求解，解题关键在于掌握三视图的概念．
19．（7分）近日教育部正式印发《义务教育课程方案》并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，今秋开学起，劳动将正式成为中小学的一门独立课程．为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间．学校随机抽取一部分学生，对学生每月的劳动时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频
数分布直方图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　40　，E组对应的圆心角度数为 　14.4　度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）40，14.4°；
（2）详见解答；
（3）580名．
【分析】（1）从两个统计图中可知，“A”的频数是10人，占调查人数的10%，根据频率可求出调查人数，进而求出“C”的频率即可；求出“E”所占得出人数的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；
（2）求出“D”的人数，即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中每月的劳动时间不少于6小时的学生所占的百分比去估计总体中的百分比，再进行计算即可．
【解答】解：（1）10÷10%＝100（人），
“C”所占的百分比为：40÷100×100%＝40%，即m＝40，
360°14.4°，
故答案为：40，14.4°；
（2）“D”组的人数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4＝25（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）2000580（名），
答：每月的劳动时间不少于6小时的大约有580名．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提．
20．（8分）“水是生命之源”，德州市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
用水量/月 单价（元/m3）
不超过20m3 2.8
超过20m3的部分 3.8
另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费
（1）如果1月份某用户用水量为19m3，那么该用户1月份应该缴纳水费 　57　元；
（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少m3？
（3）若该用户水表3月份出了故障，只有70%的用水量记入水表中，这样该用户在3月份只缴纳了58.8元水费，问该用户3月份实际应该缴纳水费多少元？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）57；
（2）该用户2月份用水25m3；
该用户3月份实际应该缴纳水费92元．
【分析】（1）该用户1月份用水量没有超过20m3，直接用单价×用水量即可；
（2）设该用户2月份用水xm3，由题意，得20×3+4×（x﹣20）＝80，求出x的值即可；
（3）首先设出用户3月份实际用水am3，然后求出a的值，根据表格水价求出该用户3月份实际应该缴纳水费．
【解答】解：（1）根据表格数据可知：
该用户1月份应该缴纳水费19×（2.8+0.2）＝57元；
故答案为：57．
（2）设该用户2月份用水x m3，
由题意得20×3+4×（x﹣20）＝80，
解得：x＝25．
答：该用户2月份用水25m3；
（3）设该用户3月份实际用水am3
因为58.8＜20×3，所以该用户上交水费的单价为3元/m3．
由题意，得70%a×3＝58.8．
解得：a＝28．
因为28＞20，
所以该用户3月份实际应该缴纳水费为：20×3+4×（28﹣20）＝92元．
答：该用户3月份实际应该缴纳水费92元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答时由单价×数量＝总价的关系建立方程是关键．
21．（8分）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一个含30°角的三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 　90°　；
（2）继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由．
（3）若三角板从图1开始绕点O按每秒30°的速度逆时针旋转270°，在这个过程中，是否存在OM所在的直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在的直线平分另一个角的时刻？若存在，直接写出旋转时间；若不存在，请说明理由．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】综合题；分类讨论；三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）90°；（2）∠AOM﹣∠CON＝30°；理由见解答；（3）旋转时间为2秒或5秒或8秒．
【分析】（1）根据旋转的性质可知，旋转角为∠MON；
（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件：∠AOC：∠BOC＝1：2，求得∠AOC＝60°，然后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC＝30°；
（3）需要分类讨论：当OM平分∠BOC时，旋转角是60°；当ON平分∠AOC时，旋转角为240°．
【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：
旋转角为∠MON＝90°．
故答案为：90．
（2）如图3：∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠AOC＝60°，
∴∠AON+CON＝60°，①
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠AON＝90°，②
②﹣①，得∠AOM﹣∠CON＝30°．
（3）
如图4，当OM平分∠BOC时，ON所在直线平分∠AOC，
∠BOM＝60°，
∴三角板绕点O逆时针旋转60°，
此时t＝60÷30＝2（秒）；
如图5，当ON平分∠AOC时，OM所在直线平分∠BOC，
∠CON＝30°，
∴三角板绕点O逆时针旋转240°，
此时t＝240÷30＝8（秒）．
当OM旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．
答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．
【点评】本题综合考查了旋转的性质，角的计算，解决本题的关键是运用分类讨论思想，以防漏解．
22．（10分）已知关于x的方程：．
（1）若方程的解是x＝3．那么m＝　﹣4.5　；
（2）若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）m＝﹣4.5；
（2）x．
【分析】（1）把x＝3代入原方程即可解答；
（2）先解方程可得：x，根据解是负数，即x＜0，解不等式，并根据m是负整数，可得结论．
【解答】解：（1）把x＝3代入，得：1＝4+m，
m+4，
解得：m＝﹣4.5；
（2）1m，
3（x﹣2）﹣6＝8x+6m，
3x﹣6﹣6＝8x+6m，
﹣5x＝6m+12，
解得：x，
∵x＜0，
∴，
∴m＞﹣2．
∵m是负整数，
∴m＝﹣1，
∴x．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式及整数解，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
3．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
4．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
7．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
8．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
9．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
10．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
11．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
12．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
13．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
14．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
15．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
16．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
17．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
18．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
19．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
20．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
21．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
22．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
23．调查收集数据的过程与方法
（1）在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况．
（2）统计图通常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图．
（3）设计调查问卷分以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题．
（4）统计调查的一般过程：
①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集数据；
②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；
③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
24．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
25．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
26．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
27．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
28．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．

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