资源简介

概率与统计试题分析与备考建议
一、高考对本章知识的要求
【考试内容】
理　　　科
文　　　科
随机事件的概率；
等可能性事件的概率；
互斥事件有一个发生的概率；
相互独立事件同时发生的概率；
独立重复试验；
离散型随机变量的分布列，
离散型随机变量的期望值与方差；
抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归；
随机事件的概率；
等可能性事件的概率；
互斥事件有一个发生的概率；
相互独立事件同时发生的概率；
独立重复试验；
抽样方法；
总体分布的估计；
总体期望值和方差的估计
【考试要求】
理　　　科
文　　　科
1.了解随机事件的发生存在着规律性和
随机事件概率的意义．
2.了解等可能性事件的概率的意义，会
用排列组合的基本公式计算一些等可能性事
件的概率.
3.了解互斥事件、相互独立事件的意义，
会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事
件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
5.了解离散型随机变量的意义，会求出某
些简单的离散型随机变量的分布列；
6.了解离散型随机变量的期望、方差的意
义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望
值、方差；
7.会用随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；
8，会用样本频率分布去估计总体分布；
9，了解正态分布的意义及主要性质；
10，了解线性回归的方法和简单应用；
1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用
排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
3.了解互斥事件与相互独立事件的意义，
会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好
发生k次的概率．
5.了解随机抽样,了解分层抽样的意义，会
用它们对简单实际问题进行抽样．
6，会用样本频率分布估计总体分布．
7，会用样本估计总体期望值和方差．
二、大纲解读
和去年相比，2009年高考大纲在本节无什么变化，试题难度要求可能与往年相当，即“总体难度适当”. 在概率与统计这节中文理科差异比较大，
三、近两年高考各试卷概率与统计考查情况统计
2007年高考各地的19套试卷中，有16道概率解答题，一般是以实际背景为载体进行考查，也有一道题是以二次方程根的情况为载体，主要是考查三种概率，即：等可能事件的概率、独立事件的概率、独立重复实验的概率、分布列与期望.北京、湖北卷涉及到抽样统计问题，广东卷涉及频率分布直方图和线性回归方程的应用问题（文理相同，共17分）．
2008年新课改高考试题统计
省份
选择题号
填空题号
解答题号
分值
考查内容
全国Ⅰ
20
12
概率，（理）期望
宁夏、
海南
16
19
17
茎叶图、（理）分布列、期望、方差，
（文）统计，古典概型
江苏
2、6、7
10
古典概型、几何概型、统计
全国Ⅱ
6
18（文19）
17（文12）
古典概型、对立（互斥）事件、二项分布、期望
山东
7、8
18
22
古典概型、互斥事件、二项分布、期望（文）统计
广东
3
文11
18（文19）
17
理：抽样、分布列、期望
文：频率分布直方图、抽样、概率
四、我省试题回顾
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科
19．（本小题满分12分）
A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望E.
19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，
则，可得：
（2）
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）(文科数学)
12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（ ）
A．0,27,78 B．0,27,83 C．2.7,78 D．2.7,83
19．（本小题满分12分）
A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
19．解：（1）设表示游戏终止时掷硬币的次数，
设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：
2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理工农医类）
10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ A ）
A.a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=
解：a＝＝105
甲、乙分在同一组的方法种数有
(1)若甲、乙分在3人组，有＝15种
(2)若甲、乙分在2人组，有＝10种，故共有25种，所以P＝
故选A
18、（本小题满分12分）
某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令(表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：
（1）(的分布列 （2）(的的数学期望
18、解：（1）(的所有可能的取值为0，10，20，50，60
分布列为
(
0
10
20
50
60
P
(2)E(＝3(3
2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文史类）
8.袋中有40个小球,其中红色球16个、蓝色球12个、白色球8个、黄色球4个,从中随机抽取10个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( A )
A. B. C. D.
18、（本小题满分12分）
某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出2个红球获得一等奖，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次.求：
（1）甲，乙两人都没有中奖的概率; （2）甲，乙两人中至少有一人获二等奖的概率.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学
10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解:设等差数列的公差为d, 当d=0时,6种; 当d=1时,(1,2,3);(2,3,4);(3,4,5);(4,5,6)共4种;当d=-1时,同理4种; 当d=2时,2种, 当d=-2时,2种 .,
19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以，故．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以，，
，．
于是，．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学
6．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
19．（本小题满分12分）
栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，
则，．
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
(文理11题)电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为
A． B． C． D．
【解析】一天显示的时间总共有种，和为23总共有4种（为：09:59，18:59，19:49，19:58），故所求概率为．选C.
(理18题)因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5。若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6。实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元。问实施哪种方案的平均效益更大？
【解析】（1）的所有取值为
的所有取值为,
、的分布列分别为：
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
,
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大。
（3）令表示方案所带来的效益，则
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
所以可见，方案一所带来的平均效益更大。
(文科18题)因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；
（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
【解析】类理科18
（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
．
（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
．
五、试题特点
立足基础，信守两纲，调整结构，稳中求变.
体现常规，适度创新，突出实际应用和能力立意
高考对于概率与统计部分内容的考查，难度要求不高，以中档题或中档偏易题为主，这些题目大都属于中低档题，考查的重点是等可能事件的概率、对立事件的概率、互斥事件至少有一个发生的概率、独立事件同时发生的概率以及随机变量的分布列、期望和方差；多数试题来源于生活、趣味性强、时代气息浓厚、人文特点鲜明，注重了题目的公平公正性；近几年概率统计的试题逐渐加强了与其它知识的综合，与算法、二次方程、函数导数、数列和向量等知识的综合。
概率与统计知识在高考的考查中，基本上都是1道小题以及1道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代了90年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对题目的背景和题意理解要求较高，如08年重庆理5题(5分)为容易题，考查正态分布的计算及密度曲线性质、08年湖南文12题(12分)为中档题，考查样本的识别与抽样、08年安徽高考理科第19题(12分)是中档题，考查几种事件的交汇、08年福建理20题(12分)中等难度，考查概率的计算与离散随机变量的分布列及期望，等等.
五、《概率与统计》命题趋势预测
高考对概率与统计考查特点是基础全面，多数高考试题的难度与课本中习题的难度相当，但在高考试卷中分值所占比例超过所占总课时比例，概率与实际生活密切相关，是高考考查的重点.在解答题中，如果题目再靠后的话，将可能出现概率与其它知识点相结合的综合题，如概率与不等式综合:概率与二次函数综合； 概率与数列求和综合；概率与线性规划综合等有一定的难度。
随机变量是理科高考的必考内容.其中理科离散型随机变量的分布列、期望与方差是热点.题型以解答题为主，以选择题、填空题为辅.理科可能还会增加对正态分布和线性回归的考查，其中线性回归方面的试题，由于计算量的限制，多会以选择题或填空题出现。
预计在09年高考中解答题仍可能是文科题重点考查古典概率，互斥事件的概率，独立事件的概率，独立重复事件的概率等，考查应用意识和实践能力；理科重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力。理科重点在统计问题、古典概型、几何概型、离散性随机变量分布列、期望与方差，要注意正态分布、线性回归及二点分布、二项分布和超几何分布等内容。文科重点是频率分布表为载体的统计问题、古典概型、几何概型，题目的计算量不会太大；
六、备考建议
1．借助课本，构建主干知识网络
突出知识结构、构建知识网络数学知识结构的形成和发展，是一个知识积累、梳理的过程。如果说新授课是抓知识点的落实，那么复习课的重点就是注重各部分知识在个自发展过程中的纵横联系，理清脉络，抓住起
支撑作用的主干，构建知识网络。以课本知识为出发点，重视教材的基础作用，紧扣课本上的概念，深刻理解当中的内涵，熟练掌握它的应用。
2．借助典型习题，落实基础，提高能力
高考对概率与统计部分的难度要求不高，所以更加突出基础，要求学生对基本概念要清晰，对于一些基本题型要熟练。变通一些重要的数学例题和习题，落实基础，训练技能，提高综合能力。
3．关注社会的热点，重视实际问题的背景
设置情境，考查学生运用概率统计解决实际问题的能力，是高考对本章知识的重点考查。从近三年的湖南省的高考题可以看出，高考题的立意新，并与社会的热点问题联系较多，所以要重视数学在生产，生活及科学中的应用，要重视学生创新意识和实践能力的培养。
七、复习备考中的几个典型例题
【例1】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：
(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，
则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.
(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.
(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P(A·B)+P(B·C)+ P(A·C)=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9) =0.43
【例2】把圆周分成四等份，是其中一个分点，动点在四个分点上按逆时针方向前进。现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字。点出发，按照正四面体底面上数字前进几个分点，转一周之前连续投掷。（1）求点恰好返回点的概率；（2）在点转一周恰能返回点的所有结果中，用随即变量表示点能返回点的投掷次数，求的分数列和期望。
解(1)投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为，则：
①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为；
②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，其概率为；
③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，其概率为；
④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为；
则能返回A点的概率为：
（2）的分布列为：
1
2
3
4


所以，期望
正解:, ,,,
【例3】北京奥运会开幕式门票是通过网上中国银行预订，然后采取抽签方法确定哪些人中签，现知道某地区有16人参加预订，其中有2个人中签，但不清楚是哪2个人，现在通过逐个进行询问直到问出2个人中签为止，设ξ是询问出2个中签者过程中已询问预订人数，试求：（1）求ξ＝4的概率； （2）求Eξ．
解.（1）设试问到2个中签时ξ＝4为事件A，由P(A)＝＝
（2）当ξ≤13时，P(ξ＝k)＝＝；当ξ＝14时，表示“前13个有一个中签且第14个中签”,或“前14人都没中签,”,P(ξ＝14)＝＋＝；当ξ＝15时，表示“前14个有一个中签且第15个没中签”,或“前14有一人中签第15人中签,”即“前14人中只有1人中签”,所以P(ξ＝15)＝＋＝=；
∵Eξ＝·＋14×＋15×＝( ＋C＋…＋)＋＝
【例4】一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”，随机地反复地出，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为P，出现“×”的概率为，若第k次出现“○”， 则记，出现“×”，则记，令（1）当时，求;
（2）当P=且的概率.
解：（1）先求的概率，，∵6次变化中出现“0”有4次，“X”有2次，故的概率 ………… （4分）
的概率为 ………….6分）
(3)当时，即前八秒出现“0”有5次和“X”3次，又已知1，2，3，4），若第一、三秒出现“0”，则其余六秒可任意出现“0”3次，若第一、二秒出现“0”，第三秒出现“X”，则后五秒可出现“0”3次。
故 (或) ………… （12分）

展开更多......

收起↑