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四川省成都市成华区列五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·成华期中）若复数，则的虚部为（　　）
A． B．-1 C．-9 D．1
2．（2024高一下·成华期中）有一个直角梯形OABC如图所示，则它的水平放置的直观图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024高一下·成华期中）为了得到的图象，只要将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（2024高一下·成华期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°
5．（2024高一下·成华期中）如图，已知，，，用、表示，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·成华期中）已知，则（　　）
A． B． C．-2 D．2
7．（2024高一下·成华期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的圆形水车，水斗从圆上点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，则函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024高一下·成华期中）在矩形中，，，点E，F分别在边，上，满足，，若，则的最小值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
二、选择题：本题共4小题，题小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一下·成华期中）下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．若为纯虚数，则
10．（2024高一下·成华期中）已知平面向量，，，下列结论正确的有（　　）
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．
11．（2024高一下·成华期中）已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
12．（2024高一下·成华期中）中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则面积的最大值为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若为的外心，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一下·成华期中）已知复数满足，则　 　.
14．（2024高一下·成华期中）已知向量，满足，，，则　 　.
15．（2024高一下·成华期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”。类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则　 　.
16．（2024高一下·成华期中）已知函数，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024高一下·成华期中）已知为虚数单位，复数满足.
（1）求；
（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值.
18．（2024高一下·成华期中）已知向量，.
（1）若，求在上的投影向量的坐标；
（2）设，若，求向量与的夹角的余弦值.
19．（2024高一下·成华期中）已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．（2024高一下·成华期中）如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D监控河流南岸的A、B两处（A在B的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为120°，A，B，C，D视为在同一个平面上.
（1）求的长度；
（2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值.
21．（2024高一下·成华期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的大小；
（2）若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长.
22．（2024高一下·成华期中）已知函数，将函数的图像向右平移个单位得到的函数图象关于轴对称，且当时，取得最大值.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值；
（3）若关于的方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：依题意得，则的虚部为．
故答案为：B
【分析】本题考查复数的乘法运算.先根据复数的乘法运算求出复数，据此可求出复数的虚部.
2．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：作出直角梯形的直观图如下图所示：
A选项满足要求.
故答案为：A.
【分析】本题考查斜二测画法.根据斜二测画法的规则作出直角梯形的直观图，据此可选出选项.
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，
则为了得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度.
故答案为：D.
【分析】本题考查三角函数的图象变换.先对函数解析式进行化简可得：，再利用三角函数的图象变换可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
由正弦定理得，，则，
因为，，
所以或，
故答案为：C．
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理求出，再根据三角形的边角关系可求出．
5．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，则，
，
则.
故答案为：D.
【分析】本题考查平面向量基本定理.根据题意可得：，再利用平面向量的加法运算和减法运算可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】先利用三角函数诱导公式进行化简可得：原式，再利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：易知，
因旋转一周用时60秒，即，
又由题意知
∴，
又
∴
，
故答案为：C
【分析】根据点，利用勾股定理可求出圆的半径，利用周期计算公式可求出的值，将点代入三角函数解析式可求出的值，据此可求出函数的解析式.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：，，
由于，，
由可得，
故，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：B
【分析】利用平面向量的线性运算可求出，，根据平面向量垂直的转化可将转化为：，应用平面向量的数量积可推出，利用“1”还原法，所求式子先乘以1，再将1进行替换，利用基本不等式可求出最值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A，若，则，A错误；
B，复数在复平面内对应的点的坐标为，而点位于第四象限，B正确；
C，，C正确；
D，若为纯虚数，则，即，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用共轭复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义找出复数的对应点可判断B选项；利用复数的乘方的周期性进行计算可判断C选项；利用纯虚数的概念可列出方程组，解方程组可求出的值，判断D选项.
10．【答案】A,D
【知识点】零向量；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，因为，所以，所以，所以，A正确，
B，若时，满足∥，∥，而∥不一定成立，B错误，
C，当，不共线时，仍满足，而不能得到，C错误，
D，，当且仅当共线同向时取等号，D正确，
故答案为：AD
【分析】利用平面向量的数量积进行运算可推出，进而推出，据此可判断A选项；根据零向量方向任意，举出反例，据此可判断B选项和C选项；根据向量的加法运算可得：，利用平面向量共线定理进行运算可判断D选项.
11．【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A.由图象可知，，，
所以函数最小正周期，所以，
又，即，
所以，所以，
由，得，所以，所以，A正确；
B.当时，，因为函数在上单调递增，
所以在区间上单调递增，B正确；
C.将的图象向左平移个单位，得函数的图象，
其中，不是函数最值，则y轴不是函数图象的对称轴，所以不是偶函数，C错误；
D.，所以，D错误.
故答案为：AB
【分析】先根据函数图象找出的值，函数最小正周期，利用周期计算公式可求出，再将点代入函数解析式可求出的值，据此可求出的解析式，再求出的值，可判断A选项；根据x的取值范围，据此可求出的取值范围，据此可判断在区间上的单调性，判断B选项；通过三角函数的图象变换可求出平移后的函数解析式，再判断奇偶性，据此可判断C选项；利用函数解析式进行计算可判断是否成立，据此可判断D选项.
12．【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A，因为，由正弦定理可得
因为，所以，所以，A正确；
B，若，且，所以，由余弦定理得，
由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，
则面积，所以面积的最大值为，B正确；
C，若C=2A，所以，且为锐角三角形，
所以，解得，所以，
由正弦定理得，C错误；
D，如图所示，作交于点点，则点为的中点，且，
设，所以，
所以，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意，先利用正弦定理进行边化角，再通过化简可求出，据此可判断A选项；先利用余弦定理可求出，再利用基本不等式可求出的最大值，据此可求出面积的最大值，判断B选项；先根据三角形的内角和求出，根据为锐角三角形，可列出不等式组，解不等式组可求出的范围，利用正弦定理可得，据此可求出的范围，判断C选项；作得到点为的中点，设，根据直角三角形的性质可得：，利用平面向量的数量积的运算公式进行计算，可判断D选项.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，.
故答案为：.
【分析】先利用复数的乘除运算求出复数，再利用复数的模长公式可求出.
14．【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的模长公式可得：，再利用完全平方公式进行展开，利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案，
15．【答案】3
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，
解得或（舍去），
所以.
故答案为：3.
【分析】在中，先利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理可求出，利用线段的运算可求出答案.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，
对任意的都成立，
即对任意的都成立，令，
而对任意的，有，
所以当，即时，，
所以.综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：，据此可将原题条件等价于恒成立，令，利用余弦函数的图象和性质可求出，据此可求出实数的取值范围.
17．【答案】（1）解： 设，则
∴
解得故.
（2）解： 由题知：，.
∵直角，∴
∴，即.
【知识点】复数的模；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查复数的模长公式，平面向量垂直的坐标表示.
（1）设，利用复数的模长公式进行计算可列出方程组，解方程组可求出的值，据此可求出；
（2）利用（1）的结论可求出，，再根据∠AOB是直角，可得：，据此可列出关于的方程，解方程可求出的值.
18．【答案】（1）解： ，∴，即
∵，，∴，
∴
解得∴
故在上的投影向量为
故在上的投影向量的坐标为
（2）解： ∵，∴
∴，，
∴，，
故.
【知识点】平面向量的投影向量；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，平面向量的投影向量，平面向量的夹角计算公式.
（1）先求出，根据平面向量垂直的转化可得：，列出方程可求出的值，据此可可得，根据平面向量投影向量的定义可得：在上的投影向量为，代入数据可求出答案；
（2）根据，利用平面向量平行的坐标表示可求出，再利用平面向量夹角的余弦公式进行计算可求出答案.
19．【答案】（1）解： 因为，所以
又，则
故
（2）解： 由
所以，则
所以
因为，所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，两角差的正切公式.
（1）根据的取值范围，求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求出，再根据，代入数据可求出答案.
（2）先利用两角和的余弦公式求出，利用同角三角函数的基本关系求出，据此可求出，再根据，利用两角和的正切公式进行展开可求出答案.
20．【答案】（1）解： 在中，由正弦定理有
解得：，故的长度为240m.
（2）解： 由题可知，在中，
∴，
∴
∵，∴
∴
的最大值为.
【知识点】解三角形的实际应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的实际应用，正弦函数的图象和性质.
（1）在中，直接利用正弦定理进行计算可求出的长度；
（2）先利用正弦定理求出，，再利用辅助角公式进行化简可求出，再利用正弦函数的图象和性质可求出的最大值.
21．【答案】（1）解： 由题得，∴，即
∴
∵，∴
（2）解： 由题知：，①
又由题知，
∴，
∵，
∴，即②
由①②有：，，
由为边上的中线有：
故，即.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）先利用正弦定理进行边化角可得：，再利用余弦定理可求出，据此可反推出C的大小；
（2）根据题意利用余弦定理可推出，再利三角形的面积公式和等面积法可得，据此可列出方程组，解方程组可求出，，再利用三角形的中线向量公式进行计算可求出的长.
22．【答案】（1）解： 因，依题意的图像关于轴对称，则有，，即，，而，即有或.
当时，，符合要求；
当时，，不符合要求
故函数的解析式是.
（2）解： 由图象平移可得，
若，则，
而在区间上递减，在区间上递增，
显然两侧关于直线对称，
若且，则，
即，
故.
（3）解： 由（1），令，由可得，则，
由题意，关于的方程有两个不等的实根，，
且与在上均有两个不等的实根，如图所示：
当时，，的图象如图所示，故，
即关于的方程在上有两个不等的实根，
令，则
即，解得，
故实数的取值范围.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数与方程的综合运用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）求出平移后的函数解析式，利用正弦函数的图象和性质可列出方程，解方程可求出的值，再进行检验可求出答案；
（2）先利用三角函数的图象变换求出解析式，采用换元法将看成整体角，利用正弦函数的图象和性质可判断在区间上的单调性和对称性，据此可推出，进而求出的值.；
（3）设，利用正弦函数的图象和性质可求出，再结合在上的图象，将“方程在上有4个不相等的实数根”转化成“关于的方程在上有两个不等的实根”，最后利用二次函数的图象和性质可列出关于参数的不等式组，解不等式组可求出实数的取值范围.
1 / 1四川省成都市成华区列五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·成华期中）若复数，则的虚部为（　　）
A． B．-1 C．-9 D．1
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：依题意得，则的虚部为．
故答案为：B
【分析】本题考查复数的乘法运算.先根据复数的乘法运算求出复数，据此可求出复数的虚部.
2．（2024高一下·成华期中）有一个直角梯形OABC如图所示，则它的水平放置的直观图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：作出直角梯形的直观图如下图所示：
A选项满足要求.
故答案为：A.
【分析】本题考查斜二测画法.根据斜二测画法的规则作出直角梯形的直观图，据此可选出选项.
3．（2024高一下·成华期中）为了得到的图象，只要将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，
则为了得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度.
故答案为：D.
【分析】本题考查三角函数的图象变换.先对函数解析式进行化简可得：，再利用三角函数的图象变换可求出答案.
4．（2024高一下·成华期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
由正弦定理得，，则，
因为，，
所以或，
故答案为：C．
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理求出，再根据三角形的边角关系可求出．
5．（2024高一下·成华期中）如图，已知，，，用、表示，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，则，
，
则.
故答案为：D.
【分析】本题考查平面向量基本定理.根据题意可得：，再利用平面向量的加法运算和减法运算可求出答案.
6．（2024高一下·成华期中）已知，则（　　）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】先利用三角函数诱导公式进行化简可得：原式，再利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
7．（2024高一下·成华期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的圆形水车，水斗从圆上点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，则函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：易知，
因旋转一周用时60秒，即，
又由题意知
∴，
又
∴
，
故答案为：C
【分析】根据点，利用勾股定理可求出圆的半径，利用周期计算公式可求出的值，将点代入三角函数解析式可求出的值，据此可求出函数的解析式.
8．（2024高一下·成华期中）在矩形中，，，点E，F分别在边，上，满足，，若，则的最小值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：，，
由于，，
由可得，
故，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：B
【分析】利用平面向量的线性运算可求出，，根据平面向量垂直的转化可将转化为：，应用平面向量的数量积可推出，利用“1”还原法，所求式子先乘以1，再将1进行替换，利用基本不等式可求出最值.
二、选择题：本题共4小题，题小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一下·成华期中）下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．若为纯虚数，则
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A，若，则，A错误；
B，复数在复平面内对应的点的坐标为，而点位于第四象限，B正确；
C，，C正确；
D，若为纯虚数，则，即，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用共轭复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义找出复数的对应点可判断B选项；利用复数的乘方的周期性进行计算可判断C选项；利用纯虚数的概念可列出方程组，解方程组可求出的值，判断D选项.
10．（2024高一下·成华期中）已知平面向量，，，下列结论正确的有（　　）
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．
【答案】A,D
【知识点】零向量；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，因为，所以，所以，所以，A正确，
B，若时，满足∥，∥，而∥不一定成立，B错误，
C，当，不共线时，仍满足，而不能得到，C错误，
D，，当且仅当共线同向时取等号，D正确，
故答案为：AD
【分析】利用平面向量的数量积进行运算可推出，进而推出，据此可判断A选项；根据零向量方向任意，举出反例，据此可判断B选项和C选项；根据向量的加法运算可得：，利用平面向量共线定理进行运算可判断D选项.
11．（2024高一下·成华期中）已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
【答案】A,B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A.由图象可知，，，
所以函数最小正周期，所以，
又，即，
所以，所以，
由，得，所以，所以，A正确；
B.当时，，因为函数在上单调递增，
所以在区间上单调递增，B正确；
C.将的图象向左平移个单位，得函数的图象，
其中，不是函数最值，则y轴不是函数图象的对称轴，所以不是偶函数，C错误；
D.，所以，D错误.
故答案为：AB
【分析】先根据函数图象找出的值，函数最小正周期，利用周期计算公式可求出，再将点代入函数解析式可求出的值，据此可求出的解析式，再求出的值，可判断A选项；根据x的取值范围，据此可求出的取值范围，据此可判断在区间上的单调性，判断B选项；通过三角函数的图象变换可求出平移后的函数解析式，再判断奇偶性，据此可判断C选项；利用函数解析式进行计算可判断是否成立，据此可判断D选项.
12．（2024高一下·成华期中）中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则面积的最大值为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若为的外心，则
【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A，因为，由正弦定理可得
因为，所以，所以，A正确；
B，若，且，所以，由余弦定理得，
由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，
则面积，所以面积的最大值为，B正确；
C，若C=2A，所以，且为锐角三角形，
所以，解得，所以，
由正弦定理得，C错误；
D，如图所示，作交于点点，则点为的中点，且，
设，所以，
所以，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意，先利用正弦定理进行边化角，再通过化简可求出，据此可判断A选项；先利用余弦定理可求出，再利用基本不等式可求出的最大值，据此可求出面积的最大值，判断B选项；先根据三角形的内角和求出，根据为锐角三角形，可列出不等式组，解不等式组可求出的范围，利用正弦定理可得，据此可求出的范围，判断C选项；作得到点为的中点，设，根据直角三角形的性质可得：，利用平面向量的数量积的运算公式进行计算，可判断D选项.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一下·成华期中）已知复数满足，则　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，.
故答案为：.
【分析】先利用复数的乘除运算求出复数，再利用复数的模长公式可求出.
14．（2024高一下·成华期中）已知向量，满足，，，则　 　.
【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的模长公式可得：，再利用完全平方公式进行展开，利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案，
15．（2024高一下·成华期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”。类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则　 　.
【答案】3
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，
解得或（舍去），
所以.
故答案为：3.
【分析】在中，先利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理可求出，利用线段的运算可求出答案.
16．（2024高一下·成华期中）已知函数，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，
对任意的都成立，
即对任意的都成立，令，
而对任意的，有，
所以当，即时，，
所以.综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：，据此可将原题条件等价于恒成立，令，利用余弦函数的图象和性质可求出，据此可求出实数的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024高一下·成华期中）已知为虚数单位，复数满足.
（1）求；
（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值.
【答案】（1）解： 设，则
∴
解得故.
（2）解： 由题知：，.
∵直角，∴
∴，即.
【知识点】复数的模；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查复数的模长公式，平面向量垂直的坐标表示.
（1）设，利用复数的模长公式进行计算可列出方程组，解方程组可求出的值，据此可求出；
（2）利用（1）的结论可求出，，再根据∠AOB是直角，可得：，据此可列出关于的方程，解方程可求出的值.
18．（2024高一下·成华期中）已知向量，.
（1）若，求在上的投影向量的坐标；
（2）设，若，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）解： ，∴，即
∵，，∴，
∴
解得∴
故在上的投影向量为
故在上的投影向量的坐标为
（2）解： ∵，∴
∴，，
∴，，
故.
【知识点】平面向量的投影向量；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，平面向量的投影向量，平面向量的夹角计算公式.
（1）先求出，根据平面向量垂直的转化可得：，列出方程可求出的值，据此可可得，根据平面向量投影向量的定义可得：在上的投影向量为，代入数据可求出答案；
（2）根据，利用平面向量平行的坐标表示可求出，再利用平面向量夹角的余弦公式进行计算可求出答案.
19．（2024高一下·成华期中）已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解： 因为，所以
又，则
故
（2）解： 由
所以，则
所以
因为，所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，两角差的正切公式.
（1）根据的取值范围，求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求出，再根据，代入数据可求出答案.
（2）先利用两角和的余弦公式求出，利用同角三角函数的基本关系求出，据此可求出，再根据，利用两角和的正切公式进行展开可求出答案.
20．（2024高一下·成华期中）如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D监控河流南岸的A、B两处（A在B的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为120°，A，B，C，D视为在同一个平面上.
（1）求的长度；
（2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值.
【答案】（1）解： 在中，由正弦定理有
解得：，故的长度为240m.
（2）解： 由题可知，在中，
∴，
∴
∵，∴
∴
的最大值为.
【知识点】解三角形的实际应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的实际应用，正弦函数的图象和性质.
（1）在中，直接利用正弦定理进行计算可求出的长度；
（2）先利用正弦定理求出，，再利用辅助角公式进行化简可求出，再利用正弦函数的图象和性质可求出的最大值.
21．（2024高一下·成华期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的大小；
（2）若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长.
【答案】（1）解： 由题得，∴，即
∴
∵，∴
（2）解： 由题知：，①
又由题知，
∴，
∵，
∴，即②
由①②有：，，
由为边上的中线有：
故，即.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）先利用正弦定理进行边化角可得：，再利用余弦定理可求出，据此可反推出C的大小；
（2）根据题意利用余弦定理可推出，再利三角形的面积公式和等面积法可得，据此可列出方程组，解方程组可求出，，再利用三角形的中线向量公式进行计算可求出的长.
22．（2024高一下·成华期中）已知函数，将函数的图像向右平移个单位得到的函数图象关于轴对称，且当时，取得最大值.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值；
（3）若关于的方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）解： 因，依题意的图像关于轴对称，则有，，即，，而，即有或.
当时，，符合要求；
当时，，不符合要求
故函数的解析式是.
（2）解： 由图象平移可得，
若，则，
而在区间上递减，在区间上递增，
显然两侧关于直线对称，
若且，则，
即，
故.
（3）解： 由（1），令，由可得，则，
由题意，关于的方程有两个不等的实根，，
且与在上均有两个不等的实根，如图所示：
当时，，的图象如图所示，故，
即关于的方程在上有两个不等的实根，
令，则
即，解得，
故实数的取值范围.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数与方程的综合运用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）求出平移后的函数解析式，利用正弦函数的图象和性质可列出方程，解方程可求出的值，再进行检验可求出答案；
（2）先利用三角函数的图象变换求出解析式，采用换元法将看成整体角，利用正弦函数的图象和性质可判断在区间上的单调性和对称性，据此可推出，进而求出的值.；
（3）设，利用正弦函数的图象和性质可求出，再结合在上的图象，将“方程在上有4个不相等的实数根”转化成“关于的方程在上有两个不等的实根”，最后利用二次函数的图象和性质可列出关于参数的不等式组，解不等式组可求出实数的取值范围.
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