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机密★启用前〔考试时间：2024年7月2日下午15：00-17：00]
乐山市高中2026届期末教学质量检测
数
学
(考试时间：120分钟试卷总分：150分)
注意事项：
1.答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真
核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置·
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答題卡的
非答题区域均无效·
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答
题卡上作答；字体工整，笔迹清楚
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.下列几何体中，不是旋转体的是
A
B
3+,则11=
2.若=+21
A②
B.√2
C.5
D.52
3.如图所示，在平行四边形OABC中，OA=1,OB=2,则它的直观图
面积是
A.42
B.2
G
2
D.
4
4.某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为7.2,7.4,8.7,8.1,8.9,8.4,8.6,8.9（单位：斤），
则这组数据的第75百分位数为
A.8.9
B.8.8
C.8.7
D.8.6
高一数学试颗第1页（共4页）
5.四边形中ABCD中，AB=DC,则下列结论中错误的是
A.A1=1CD1一定成立
B.A元=A店+A⑦一定成立
C.AD=B元一定成立
D.B=A店-A币一定成立
6.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不
大于3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是
A.A与B互为对立事件
B.P(AUB)=P(A)+P(B)
CPC-号
D.P(A)=P(C)
7.已知a,b是不共线的向量，且AB=a-2b,BC=4a-b,C⑦=-6a+5b,则
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
8.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1,P2P,P4,且P1+P2+P+P4=1,则下面
四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A.p1=P4=0.35,P2=P5=0.15
B.p1=0.35,P2=0.3,P3=0.2,P4=0.15
C.P1=P4=0.15,P2=p3=0.35
D.p1=0.15,P2=0.2,P3=0.3,P4=0.35
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.小刘一周的总开支分布如图1所示，该周的食品开支如图2所示，则以下说法正确的是
其他
↑开支元
5%
食品
120
1)
储蓄、
X30%
80
30%
60
40
日常
通信
20
20%
0
5%
娱乐
10%
鸡蛋牛奶肉类蔬菜其他食品种类
图1
图2
A.娱乐开支金额为100元
B.日常开支比食品中的肉类开支多100元
C.娱乐开支比通信开支多5元
D.肉类开支占储蓄开支的？
10.设1,2是复数，则下列说法正确的是
A.若子∈R,则a1∈R
B.设1,2互为共轭复数，则22∈R
C.若1a1-21=0,则1=2
D.复数名，2在复平面内对应的点位于第四象限
11.已知平面x,B,y,直线m,1,则下列命题正确的是
A.若a∥B,mCa,lCB,则m∥1
B.若a⊥B,anB=m,lC,l⊥m,则I⊥B
C.若a⊥B,B⊥y,则a⊥y
D.若l⊥，l∥B,则a⊥B
高一数学试题第2页（共4页）乐山市高中 2026 届期末教学质量检测
数学参考答案及评分意见
2024.7
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. B 2. A 3. C 4. B
5. D 6. C 7. B 8. A
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
9. ABD 10. BC 11. BD 12. BCD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.4； 14.0.7；
5 2
15. ； 16.4 3 .
2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.
17.解：（1）∵a (1, 1)， c (1,2)，∴ c a (2,1) . ……………………2分
∵ (c a) b，∴ 2 t 1 1 1 0，解得 t . ……………………5分
2
（2）∵a (1, 1)， c (1,2)，∴c a (0,3) . ……………………6分

∵ c a与b 的夹角为 ，
3
c a b
∴ cos 3 1 . ……………………8分
3 c a b 3 t 2 1 2
∴ t 3 . ……………………10分
注：第（2）问也可由图象直接得出 t 3 .
18.解：（1）设第一次抽取的项目记为 x1，第二次抽取的项目记为 x2，则可用数组 (x1, x2 )表示样本
点．将篮球社记为 A1，足球社记为 A2 ，乒乓球社记为 A3，羽毛球社记为 A4 ，音乐社记为 B1，
美术社记为 B2 .则从 6 个项目中随机抽取 2 个的样本空间
1 {(A1, A2 ), (A1, A3 ), (A1, A4 ), (A1,B1), (A1,B2 ), (A2 , A3 ), (A2 , A4 ), (A2 ,B1), (A2 ,B2 ), (A3 , A4 ) ,
(A3,B1), (A3,B2 ), (A4 ,B1), (A4 ,B2 ), (B1,B2 )}，共 15 种. ……………………2分
设“抽取的 2 个项目都是运动类社团”为事件 A，可得：
A {(A1, A2), (A1, A3), (A1, A4), (A2 , A3), (A2 , A4), (A3, A4)} ，共 6 种. ……………………4分
P A 6 2所以 . ……………………6分
15 5
（2）从运动类社团和艺术类社团中各抽取 1 个的样本空间
2 {(A1,B1), (A1,B2 ), (A2 ,B1), (A2 ,B2 ), (A3 ,B1), (A3 ,B2 ), (A4 ,B1), (A4 ,B2 )} ，共 8 种.
……………………8分
设“从运动类社团和艺术类社团中各抽取 1个，这 2个社团不包括篮球社但包括音乐社”为事件 B
则 B {(A2 ,B1), (A3,B1), (A4 ,B1)}，共 3 种. ……………………10分
3
所以 P B . ……………………12分
8
{#{QQABKYKAogCgAoBAAQhCQQVKCAGQkAAAAQgOQFAIoAAAAAFABAA=}#}
19.（1）证明：取PD中点 E，连接EM , AE .
∵ E,M 分别是 PD，PC中点，
∴ EM / /CD EM 1， CD . ……………………1分
2
∵ AB / /CD AB= 1且 CD ，
2
∴ AB / / EM 且 AB = EM . ……………………3分
∴四边形 ABME是平行四边形.
∴ BM / / AE . ……………………5分
∵ AE 平面 PAD， BM 平面 PAD，
∴ BM / / 平面 PAD . ……………………6分
注：也可由面面平行证明.
（2）∵PD DC 2， PC 2 2，
PD2 DC2 PC2∴ .
∴ PD DC .
∵ PD AD，DC AD D，
∴ PD 平面 ABCD . ……………………8分
∵M 是 PC中点且 PD=2，
∴点M 到平面 ABCD的距离为 1. ……………………9分
∵VA BCM VM ABC ，
V 1 1 1∴ A BCM 1 2 1 . ……………………12分3 2 3
20.解：（1）由题意得 (0.0002 0.0013 0.0016 0.0032 0.0034 a) 100 1
……………………1分
解得 a 0.0003 . ……………………3分
（2）0.13 50 0.32 150 0.34 250 0.16 350 0.03 450 0.02 550 220
……………………6分
（注：列对式子得 1 分）
（3）∵0.13 0.32 0.34 0.79<80%，0.13 0.32 0.34 0.16 0.95>80%，
∴m (300,400] . ……………………8分
∵0.13 0.32 0.34 （m 300） 0.0016＝0.8，
解得m 306.25 . ……………………11分
∵m为整数，
∴m 307． ……………………12分
21.（1）证明：∵△ABD是正三角形， E是 AD中点，
∴ BE AD． ……………………2分
∵平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD 平面 BCD BD， BD CD，
∴CD 平面 ABD . ……………………4分
∵ BE 平面 ABD，
∴CD BE .
……………………5分
∵ AD CD D，
∴ BE 平面 ACD . ……………………6分
（2）取CD中点F，连接EF，过点 F 作FG EC交 EC于点G .
∵E,F分别为 AD,CD中点，
∴EF / / AC . ……………………7分
∵ BE 平面 ACD， FG 平面 ACD，
{#{QQABKYKAogCgAoBAAQhCQQVKCAGQkAAAAQgOQFAIoAAAAAFABAA=}#}
∴ BE FG .
∵ FG EC，BE EC E，
∴GF 平面BCE .
∴ FEC是 AC与平面BCE所成角. ……………………9分
∵△CGF ∽△CDE，
GF CF
∴ 5，解得GF . ……………………10分
DE CE 5
∵EF ED 2 FD 2 2， ……………………11分
∴ sin FEC GF 10 . ……………………12分
EF 10
注：第（2）问也可先求 A到平面BCE的距离，再求 AC与平面BCE所成角.
22.（1）∵ cos 2C 2sin A B sin A B 1，
∴ 2sinC sin(A B) 2sin 2C .
∴ sin(A B) sinC . ……………………1分
∴ A B C或 A B C . ……………………2分
∵ A B C ，

∴ A . ……………………3分
2
（2）由题可知， P点在△ABC的内部．
S 1∵ △ABC | PA | | PB | sin
2π 1
| PB | | PC | sin 2π 1 | PA | 2π 1 | PC | sin bc，
2 3 2 3 2 3 2
解得 | PA | | PB | | PB | | PC | | PA | | PC | 4 3． ……………………5分

∴ PA PB PB PC PA PC
| PA | | PB | cos 2π | PB | | PC | cos 2π | PA | 2π | PC | cos
3 3 3
4 3 ( 1 ) 2 3 ． ……………………7分
2
（2）设 PB m PA ， PC n PA ， PA x， m 0,n 0, x 0
则由 PB PC t PA 得m n t . ……………………8分
由余弦定理得：
| AB |2 x2 m2x2 2mx2 cos 2π (m2 m 1)x2 ，
3
| AC |2 x2 n2x2 2nx2 cos 2π (n2 n 1)x2，
3
| BC |2 m2x2 n2x2 2mnx2 cos 2π (m2 n2 mn)x2， ……………………9分
3
| AC |2∵ | AB |2 | BC |2 2 2，即： (n n 1)x (m2 m 1)x2 (m2 n2 mn)x2 ，
∴m n 2 mn， ……………………10分
∵m 0， n 0，∴m n 2 mn (m n) 2 . ……………………11分
2
当且仅当m n 1 3时，等号成立．
m n t t 2又 ，即 4t 8 0，解得 t 2 2 3 或 t 2 2 3 （舍去）．
∴实数 t的最小值为 2 2 3． ……………………12分
{#{QQABKYKAogCgAoBAAQhCQQVKCAGQkAAAAQgOQFAIoAAAAAFABAA=}#}

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