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东城区 2023——2024学年度第二学期期末统一检测
初二数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共 30分，每小题 3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A A D D B B C
二、填空题（本题共 16分，每小题 2分）
11.答案不唯一，如 y=-3x 12.x≥2 13. 13 . 14.x -3 15.81 16. 5
17. 4 18.①②
三、解答题（本题共 54 分，第 19 题 4 分，第 20-24 题每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26
题 5分，第 27-28题,每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19.解：原式 18 2 2 2
3 2 2 2 2 ……………………3 分
4 2 .……………………4 分
20.图略……2 分
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边
上的高线互相重合；有一个角是直角的平行四边形是矩形.(每空 1 分)
21. 证明：连结 BF，DE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA＝OC.OB＝OD. 2 分
∵ E 、 F 分别是OA、OC 的中点,
1 1
∴OE OA,OF OC .
2 2
∴OE＝OF. 3 分
∴四边形 DEBF 是平行四边形. 4 分
∴BE＝DF. 5 分
k 2
22. （1）依题意得得：
2 b 4
k 2
解得： …………………………………………2 分
b 2
这个一次函数的解析式为 y 2x 2 .…………………………………………3 分
1
（2）令 y 0代入得：2x 2 0
x 1
点 B 坐标为 1,0 …………………………………………4 分
1 1
S AOB OB yA 1 4 2…………………………………………5 分
2 2
23.（1）图略………1 分
（2）y 与 x 之间是一次函数关系
设对应的解析式为 y kx b (k≠0)，将(0，6)，(10，10)代入得：
b 6

10k b 10
2
k
解得： 5 …………3 分

b 6
2
∴ y x 6…………4 分
5
2
(3)当 y=30 时， x 6 30
5
解得： x 60 .…………5 分
∴弹簧所受到的拉力为 60N．
24.(1)m=167，n=167； ………2 分
(2)甲组；………3 分
（3）166,167.………5 分
25.(1)证明：矩形 ABCD中， AB∥DC ，
∴ MEF NCF ， EMF CNF .
∵点 F 为CE 的中点，
∴ EF CF .
∴△EFM≌△CFN . …………1 分
∴ EM CN .
又∵ EM∥CN ,
∴四边形CNEM 为平行四边形. …………2 分
∵MN CE ,
∴四边形CNEM 为菱形. …………3 分
(2)∵四边形CNEM 是菱形，
2
∴ EM CM .
∵四边形 ABCD 矩形，
AD BC 4， B 90 .，.
∵ AB 10， AE 2，
∴ BE 8 .…………是4 分 设 EM MC x，则BM 8 x， 在Rt△BMC中， BM 2 BC2 CM 2，…………5 分
2
即 8 x 42 x2 ，
解得 x 5.…………6 分
∴ EM 的长为 5．
k b 0,
26.解：（1）将点 1,0 , 1,2 代入得：
k b 2.
k 1,
解得： …………………………………………2 分
b 1.
这个一次函数的解析式为 y x 1.…………………………………………3 分
1
（2） m 1…………………………………………5 分
3
27.（1）补全图形--------1 分
(2) 猜想：MD= 2 MQ ---------2分
证明：连接 DQ,AQ,延长 QP 到点 E，使得 PE=PQ，
连接 AE、BE
∵P为 BM中点，
∴PB=PM.
又∵∠1=∠2 , PE=PQ,
∴△PBE≌△PMQ. ---------3分
∴BE=MQ ∠BEP=∠3.
∵PQ⊥AP，且 PQ=AP,
∴∠PQA=∠PAQ=45°.
∵PQ⊥AP , PE=PQ,
∴AP是 QE的垂直平分线.
∴AE=AQ.
∴∠AEQ=∠PQA=45°.
3
∴∠EAQ=90°.
∵四边形 ABCD是正方形.
∴AB=AD. ∠BAD=90°.
∴∠BAD-∠EAD=∠EAQ-∠EAD
即∠BAE=∠DAQ.
∴△ABE≌△ADQ ---------5分
∴BE=DQ. ∠AEB=∠AQD.
∴DQ=MQ .
设∠AEB=∠AQD = ,则∠DQP=45°- ,∠BEP=45°+
∵∠3=∠BEP,
∴∠3=45°+ .
∴∠DQM=∠DQP+∠3=90°.
2 2 2 2
∵在 Rt△QDM中 MD =DQ +MQ =2MQ
∴MD= MQ ---------6分
(3)CQ=7 ------------ 7分
28. （1）①Q1,Q3 …………………………………………2 分
2 18
②存在最小值， 82 ，Q ， …………………………………………4 分
5 5
（2） 5 t 2或3 t 7…………………………………………7 分
4东城区2023——2024学年度第二学期期末统一检测
初二数学 2024.7
选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 计算的结果是
A. B. C. D.
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
3.某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43 44 45
平均每天销售数量/件 10 23 30 35 28 21 8
该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是
A. 5，12，13 B. 5，6，7 C. ，， D. 2，3，4
5. 下列命题中正确的是
A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
6. 一次函数y=3x+2的图象一定不经过
A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限
7. 如图，一双长20cm的吸管置于底面直径为9cm,高为12cm的杯子中,则吸管露在杯子外面的长度不可能是
A.5cm B.7cm. C.. D..
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为
A.8 B.16 C. 32 D.
9. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC、AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是
15° B. 25° C. 30° D. 35°
10．下面的四个问题中都有两个变量：
①正方形的面积y与边长x；
②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x
③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如（其中k，b是常数，）的式子表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 已知正比例函数（k≠0）的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数解析式______．
12.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________．
13. 如图，数轴上点A表示的数为3，，，以原点O为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点C，则点C表示的数为______．
14. 一次函数中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x … 0 …
y … 9 7 5 3 1 …
那么关于x的不等式的解集是 ．
15. 某招聘考试分笔试和面试两部分．按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 分．
16.我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图.如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接CE．若正方形ABCD的面积为5，,则CE的长为___________．
17. 如图，在矩形中，为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点的对应点恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为___________．
18. 碳-14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳-14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳-14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳-14含量衰减为原来的一半所用的时间称为 “半衰期”.考古学者通常可以根据碳-14的衰变程度计算出样品的大概年代.
以下几种说法中，正确的有：___________．
碳-14的半衰期为5730年；
②碳-14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；
③经过六个“半衰期”后，碳-14的含量不足死亡前的百分之一；
④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳-14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公园前770年-公元前475年）.
解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题5分，第25题6分，第26题5分，第27-28题,每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19.计算： .
20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求作：以AC为对角线的矩形ADCE.
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N; 分别以点M，N 为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；
②分别以点A为圆心，CD的长为半径画弧;再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E;
③连接AE，CE.
四边形ADCE为所求的矩形.
根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
完成以下证明。
证明：∵AE=CD ， CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形（________________________）（填推理的依据）
由作图可知，AD平分∠BAC，
又∵AB=AC ，
∴AD⊥BC （________________________）.（填推理的依据）
∴∠ADC=90°
∴平行四边形ADCE是矩形.(_________________________) .（填推理的依据）
21. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点,分别是、的中点．
求证：．
22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）一次函数的图象与x轴交于点B，求的面积.
23. 数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力)与弹簧长度)之间的数据，如表所示：
弹簧受到的拉力x(单位：N) 0 5 10 15 20 25
弹簧的长度y(单位:cm) 6 8 10 12 14 16
（1）在平面直角坐标系中描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线;
（2）结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式;
（3）若弹簧的长度为30cm,求此时弹簧受到的拉力x的值.
24．某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a．12名学生的身高：
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）现将12名学生分成如下甲乙两组.对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
25. 如图，矩形中，点E为边上任意一点，连接，点F为线段的中点，过点F作CE的垂线，分别与,分别相交于点M、N，连接,．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
26.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点,.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围.
27.如图,正方形ABCD中，点M在BC延长线上，点P是BM的中点，连接AP，在射线BC上方作PQ⊥AP，且PQ=AP.连接MD，MQ.
（1） 补全图形;
（2） 用等式表示MD与MQ的数量关系并证明；
（3） 连接CQ，若正方形边长为5，,直接写出线段CM的长.
(备用图)
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“相随点”．
（1）已知点，点，
①在点，，，中，线段的“相随点”是_________；
②若点Q为线段的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出的最小值及此时点Q的坐标；
已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， 请直接写出t的取值范围．
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