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(共54张PPT)
13．1　轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上.
结论：这个点到线段两端点的距离相等.
2. 几何语言：如图13 .1-19，
∵ AD ⊥ BC，BD=CD，∴ AB=AC.
两点之间的距离
知识点
线段的垂直平分线的性质
1
知1－讲
特别解读
用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，它为证明线段相等提供了新方法.
知1－讲
[中考·邵阳] 如图13.1-20，在△ ABC 中，AB 的垂直平
分线分别交AB，BC 于点D，E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC 的长是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
例1
知1－练
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.
解：∵ DE 是AB 的垂直平分线，AE=4，
∴ EB=EA=4 . ∴ BC=EB＋EC=4＋2= 6 .
答案：C
知1－练
1-1. 如图，AB 所在直线是CD 的垂直平分线，若AC=
2.3 cm，BD=1.6 cm， 则四边形ACBD 的周长是( )
A. 3.9 cm
B.7.8 cm
C. 3.2 cm
D.4.6 cm
B
知1－练
1. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
条件：点到线段两个端点距离相等.
结论：点在线段的垂直平分线上.
2. 几何语言：如图13 .1-21，∵ AB=AC，
∴点A 在线段BC 的垂直平分线上.
知识点
线段的垂直平分线的判定
2
知2－讲
特别解读
1.证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直.
2.证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上.
知2－讲
3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.
拓宽视野
该点的位置与三角形的形状有关，若是直角三角形，该点在斜边的中点处；若是锐角三角形，该点在三角形内部；若是钝角三角形，该点在三角形外部.
知2－讲
如图13.1-22，P 为∠ MON 平分线上一点，PA ⊥OM
于A，PB ⊥ ON 于B，求证：OP 垂直平分AB．
例2
知2－练
思路引导：
知2－练
证法一(判定定理法)：
∵ P 为∠ MON 平分线上一点，∴∠ AOP= ∠ BOP.
∵ PA ⊥ OM，PB ⊥ ON，
∴∠ PAO= ∠ PBO=90 °，PA=PB，
∴△ AOP ≌△ BOP(A A S)，点P 在AB 的垂直平分线上.∴ OA=OB.
∴点O 在AB 的垂直平分线上.∴ OP 垂直平分AB.
知2－练
证法二(定义法)：
∵ P 为∠ MON 平分线上一点，PA ⊥ OM，PB ⊥ ON，
∴∠ AOP= ∠ BOP，PA=PB，∠ PAO= ∠ PBO=90 °.
在Rt △ PAO 和Rt △ PBO 中，
∴ Rt △ PAO ≌ Rt △ PBO(HL).∴ OA=OB.
设OP 与AB 相交于点C，∵∠ AOC= ∠ BOC，OC=OC，∴△ AOC ≌△ BOC(SAS).∴∠ ACO= ∠ BCO=9 0 °，AC=BC.∴ OP ⊥ AB. ∴ OP 垂直平分AB.
OP=OP，
PA=PB，
知2－练
2-1.如图，AD为△ ABC的角平分线，AE=AF.求证：线段AD 所在直线是线段EF 的垂直平分线．
知2－练
知2－练
知2－练
又∵AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上．
∴线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线．
知2－练
如图13.1-23，OE，OF 所在直线
分别是△ ABC 中AB，AC 边的垂直平分线，∠ OBC，∠ OCB 的平分线相交于点I，试判断OI 与BC 的位置关系，并给予证明.
例3
知2－练
解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明.
知2－练
解：OI ⊥ BC. 证明如下：
如图13 .1-23，延长OI 交BC 于点M.
∵ OE 垂直平分AB，OF 垂直平分AC，
∴点O 在BC 的垂直平分线上. ∴ OB=OC.
又∵ BI 平分∠ OBC，CI 平分∠ OCB，
∴ OI 平分∠ BOC，即∠ BOI= ∠ COI.
知2－练
在△ BOM 和△ COM 中，
∴△ BOM ≌△ COM(SAS).
∴∠ BMO= ∠ CMO.
又∵∠ BMO＋∠ CMO= 180 °，
∴∠ BMO= ∠CMO= 90 °，即OI ⊥ BC .
OB=OC，
∠ BOM=∠COM，
OM=OM，
知2－练
3-1. 如图， 点P 为△ ABC 三边垂直平分线的交点，∠ PAC=20°，∠ PCB=30°.
知2－练
(1)求∠ PAB 的度数；
知2－练
(2)直接写出∠ APB与∠ ACB 的数量关系：_________________ .
∠APB＝2∠ACB
知2－练
1. 过直线外一点作这条直线的垂线：如图13 .1-2 4，已知直线AB 和AB 外一点C，用尺规过点C 作AB 的垂线.
知识点
尺规作图——作垂线、作垂直平分线
3
知3－讲
作法：
第一步：任意取一点K，使点K 和点C 在AB 的两旁；
特别提醒
任取的一点必须与已知点在直线的两侧，目的是使画的弧与已知直线有交点
知3－讲
第二步：以C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和
点E；→确保CD=CE
第三步：分别以D，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，
两弧交于点F；→确保FD=FE
确保CD=CE
确保FD=FE
知3－讲
第四步：作直线CF，如图13.1-25．→要保留作图痕迹，并写明结论直线CF 即为所求．
要保留作图痕迹，并写明结论
知3－讲
2. 作线段的垂直平分线
已知：如图13 .1-2 6，线段AB．
求作：用尺规作线段AB 的垂直平分线CD．
知3－讲
作法：如图13 .1-2 7，(1)分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和点D；
(2)作直线CD.
直线CD 就是线段AB
的垂直平分线.
特别解读
若半径等于AB，则两弧的交点在AB上；若半径小于AB，则两弧没有交点.
知3－讲
[中考·威海] 过直线l 外一点P 作直线l 的垂线PQ．下
列尺规作图(如图13.1-28)错误的是( )
例4
知3－练
解题秘方：根据作图痕迹结合线段垂直平分线的作法进行分析判断．
知3－练
解：选项A，如图13 .1-2 9，连接PA，PB，QA，QB.
∵ PA=PB，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.
∵ QA=QB，
∴点Q 在线段AB 的垂直平分线上.
∴ PQ ⊥ l，故此选项不符合题意.
知3－练
选项B，如图13 .1-3 0，连接PA，PB，QA，QB.
∵ PA=QA，∴点A 在线段PQ
的垂直平分线上.∵ PB=QB，
∴点B 在线段PQ 的垂直平分线上.
∴ PQ ⊥ l，故此选项不符合题意.
选项C，无法证明PQ ⊥ l，故此选项符合题意.
知3－练
选项D，如图13 .1-31，
连接PA，PB，QA，QB.
∵ PA=QA，
∴点A 在线段PQ 的垂直平分线上.
∵ PB=QB，∴点B 在线段PQ 的垂直平分线上.
∴ PQ ⊥ l，故此选项不符合题意.
答案：C
知3－练
4-1.[中考· 毕节]在△ ABC 中，用尺规作图，如图，分别以点A 和C为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N．
知3－练
作直线MN 交AC 于点D，交BC 于点E，连接AE，则下列结论不一定正确的是( )
A.AB=AE
B.AD=CD
C. AE=CE
D. ∠ ADE=∠ CDE
A
知3－练
4-2.[中考·盐城]如图，AB=AE，BC=ED，∠ B=∠ E．
知3－练
(1)求证：AC=AD;
知3－练
(2)用直尺和圆规作图：过点A 作AF⊥ CD，垂足为F(不写作法，保留作图痕迹).
解：如图，线段AF即为所求．
知3－练
1. 画对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2. 画对称轴的步骤
(1)找：找到任意一对对应点；
(2)连：连接这对对应点；
(3)画：画出对应点所连线段的垂直平分线.
这条垂直平分线就是对称轴.
知识点
画对称轴
4
知4－讲
特别解读
1.画对称轴找对应点时，所找对应点最好是图形的顶点或拐点，这样画出的对称轴更准确.
2.画轴对称图形的对称轴时，由于对称轴不一定只有一条，所以要注意选取不同的对应点，作出其所有的对称轴.
知4－讲
画出如图13.1-32 所示的图形的对称轴.
例5
知4－讲
解题秘方：根据对称轴是轴对称图形中任意一对对应点所连线段的垂直平分线作对称轴.
方法点拨：作轴对称图形的对称轴的两种方法一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线为对称轴；二是先找到轴对称图形的一对对应点，再作连接这对对应点的线段的垂直平分线.
知4－讲
解：作法：
(1)连接AB；(2)作线段AB 的垂直平分线l，则直线l即为所求作的对称轴，如图13 .1-3 2 所示.
知4－讲
5-1.请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
知4－讲
(1)如图①，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠ B= ∠ D，画出四边形ABCD 的对称轴m；
解：如图①所示．
知4－讲
(2)如图②，在四边形ABCD 中，AD ∥ BC，∠ A=∠ D，画出BC 边的垂直平分线n.
解：如图②所示．
知4－讲
如图13.1-33，△ ABC 与△ A′B′C′ 关于某条直线对称，
请作出这条直线.
例6
知4－练
解题秘方：根据对称轴是成轴对称的两个图形中任意一对对应点所连线段的垂直平分线作对称轴.
知4－练
解：如图13 .1-3 3 所示.
(1)连接BB ′；(2)分别以点B 和点B ′为圆心，大于BB′的长为半径作弧，两弧相交于D，E 两点；(3)作直线DE，DE 即为所求作的直线.
知4－练
6-1. 如图，△ ABC 与△DEF关于直线l 对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
知4－练
解：如图所示．
知4－练
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
作对称轴
尺规作图
性质
判定

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