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2024年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个数，，，中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是( )
A. B. C. D.
3.若，则下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.为了解公园用地面积单位：公顷的基本情况，某地随机调查了本地个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是( )
A. 的值为
B. 用地面积在这一组的公园个数最多
C. 用地面积在这一组的公园个数最少
D. 这个公园中有一半以上的公园用地面积超过公顷
6.某新能源车企今年月交付新车辆，且今年月交付新车的数量比去年月交付的新车数量的倍还多辆设该车企去年月交付新车辆，根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.函数与的图象如图所示，当时，，均随着的增大而减小．
A.
B.
C.
D.
9.如图，中，弦的长为，点在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是( )
A. 点在上
B. 点在内
C. 点在外
D. 无法确定
10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的体积是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______．
12.如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为______．
13.如图， 中，，点在的延长线上，，若平分，则 ______．
14.若，则 ______．
15.定义新运算：例如：，若，则的值为______．
16.如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，将线段沿轴正方向平移得线段点平移后的对应点为，交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
；
的面积等于四边形的面积；
的最小值是；
其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
如图，点，分别在正方形的边，上，，，求证：∽．
19.本小题分
如图，中，．
尺规作图：作边上的中线保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，求证：四边形是矩形．
20.本小题分
关于的方程有两个不等的实数根．
求的取值范围；
化简：．
21.本小题分
善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下单位：分：
组
组
求组同学得分的中位数和众数；
现从，两组得分超过分的名同学中随机抽取名同学参与访谈，求这名同学恰好来自同一组的概率．
22.本小题分
年月日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体简称为“着上组合体”成功着陆在月球背面某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
求的长；
若模拟装置从点以每秒米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．
参考数据：，，．
23.本小题分
一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长
身高
在图中描出表中数据对应的点；
根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式不要求写出的取值范围；
如图，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
24.本小题分
如图，在菱形中，点在射线上运动不与点，点重合，关于的轴对称图形为当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
若，为的外接圆，设的半径为．
求的取值范围；
连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
25.本小题分
已知抛物线：过点和点，直线：过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
求抛物线的对称轴；
求的值；
直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
求的值；
设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
18.证明：，，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
∽．
19.解：如图所示，线段为边上的中线；
证明：点是的中点，
，
将中线绕点逆时针旋转得到，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
20.解：根据题意得，
解得；
，
，
．
21.解：将名组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第和第名的成绩为，，
组同学得分的中位数为分．
由表格可知，组同学得分的众数为分．
将组的两名同学分别记为甲、乙，将组的两名同学分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中这名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共种，
这名同学恰好来自同一组的概率为．
22.解：如图：
由题意得：，，
，
在中，米，
米，
的长约为米；
在中，米，，
米，
在中，米，米，
米，
米，
模拟装置从点以每秒米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间秒，
模拟装置从点下降到点的时间约为秒．
23.解：描点如图示：
转化为，
与的函数不可能是，
故选一次函数，将点、代入解析式得：
，解得，
一次函数解析式为．
当时，．
答：脚长约为，估计这个人的身高为．
24.解：，，理由如下，
四边形是菱形，
，，
和关于轴对称，
，
，
，
，
，
综上，，．
如图，设的外接圆圆心为，连接、，作于点，作于点．
，
，
，
，
，
，
在中，，
，且点不与、重合，
，且，
，且．
能相切，此时，理由如下：
假设存在，如图画出示意图，设设的外接圆圆心为，连接、，作于点，
设，则弦切角，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
作于点，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
．

25.解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线；
直线：过点，则该直线的表达式为：，
当时，，
则，
，即，
其中，，上式变为：，
即，
而函数的对称轴为直线，由函数的对称性知，，
即，
则，
解得：；
当时，一次函数的表达式为：，
该直线和轴的夹角为，
则秒；
由知，为：，如下图：
则，
联立直线和抛物线的表达式得：，
即，
设点、的横坐标为，，
则，，
则，
则，
当时，等号成立，
即的最大值为：，，
则抛物线的表达式为：．
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