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（2）函数与导数
——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编
一、选择题
1．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知为奇函数，则( )
A. B.2 C.1 D.
2．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]若函数在区间上不单调，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．[2024届·山西长治·一模校考]研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x(月)与肿瘤细胞含量的关系，其函数解析式为，其中，，a为参数.经过测算，发现(e为自然对数的底数).记表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么b的值为( )
A. B. C. D.
4．[2024届·天津宝坻区·模拟考试校考]已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
5．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数，，当时，曲线和恰有一个交点.则( )
A.-1 B. C.1 D.2
6．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.1
7．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
8．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]设函数，则( )
A.是的极小值点 B.当时，
C.当时， D.当时，
10．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数，则( )
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在a，b，使得为曲线的对称轴
D.存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
11．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________.
12．[2024届·南宁三中·二模]若直线与曲线相切，则的取值范围为______.
四、解答题
13．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知函数.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
14．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
15．[2024届·山东临沂·二模]已知函数.
(1)当时，求证：存在唯一的极大值点，且；
(2)若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：当时，，所以，
通过对比系数得.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数在区间上不单调，所以，
故选：B．
3．答案：D
解析：依题意，，而，则，即，
又，解得，所以.
故选：D.
4．答案：A
解析：由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C，
由图可知，函数的定义城不是实数集.故排除B；
5．答案：D
解析：由题意知，则，即.令.易知为偶函数，由题意知在上有唯一零点，所以，即，得，故选D.
6．答案：C
解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C.
7．答案：B
解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B.
8．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.
9．答案：ACD
解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确.
当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误.
当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确.
当时，，所以，所以D正确.
综上，选ACD.
10．答案：AD
解析：由题可知，.
对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；
对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；
对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.
解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.
11．答案：
解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以.
12．答案：
解析：函数的导数为，
设切点为，所以，则，即，
又因为在上，所以，
所以，即，所以，
所以（），
令，，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
当a趋近正无穷时，趋近正无穷.
所以的取值范围为：.故答案为：.
13．答案：（1）-2
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）的定义域为，
若，则，，
当时，，，则，
故a的最小值为-2.
（2）
，
故曲线关于点中心对称.
（3）由题知，
此时，
.
记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，，在上单调递增，
又，故符合题意.
当时，，，
令，得，
因为，所以，故，，
所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.
综上，b的取值范围为.
14．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，则，
则.
，所以切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）易知函数的定义域为R，.
当时，，函数在R上单调递增，无极值；
当时，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的极小值为.
由题意知，等价于.
解法一：令，
则，
所以函数在上单调递减，
又，故当时，；当时，.
故实数a的取值范围为.
解法二：由，得.
如图为函数与在区间上的大致图象，
由图易知当时，，即.
所以实数a的取值范围为.
15．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)当时，，，
所以，
所以在上单调递减，且，，
则，使得当时，，
当时，，且，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以存在唯一的极大值点，
而，
所以.
(2)令，得，
设，显然在定义域上单调递增，
而，则有，
所以.
依题意，方程有两个不等的实根，
即函数在定义域上有两个零点，
显然，当时，的定义域为，
在上单调递增，最多一个零点，不合题意，
所以，的定义域为，
所以求导，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
要使有两个零点，必有，即，
此时，即在有一个零点，
，
令，，
求导得，显然在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，，
所以，则函数在上存在唯一零点.
由为的两个根中较小的根，
得，，
又由已知得，
从而，
因为，
所以，
所以.
设()，
当时，，，则符合题意，
当时，，则在上单调递增，
所以不合题意，
所以
所以设，.
求导，得，当时，
令，，
则，，
所以，在上单调递增，
从而，，即，，
从而，
即在单调递增，则，
于是，
即，
即.

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