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（5）数列
——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编
一、选择题
1．[2024届·重庆市第八中学·模拟考试]已知数列的前n项和为，设甲：是等差数列，乙：，则甲是乙的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，则( )
A.1763 B.1935 C.2125 D.2303
3．[2024届·浙江温州·二模]已知等差数列的前n项和为，公差为d，且单调递增.若，则( )
A. B. C. D.
4．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]数列中，，，则( )
A.210 B.190 C.170 D.150
5．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]设数列满足，，若，且数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
6．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]等差数列中，，则下列命题正确的是( )
A.若，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，则，
7．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]已知等差数列的前n项和为，的公差为d，则( )
A. B.
C.若为等差数列，则 D.若为等差数列，则
8．[2024届·山东临沂·二模]已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，则
B.若，则
C.若，则
D.若和都为递增数列，则
三、填空题
9．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]记为等差数列的前n项和.若，，则__________.
10．[2024届·河南许昌·模拟考试校考]抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记n次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式____________.
11．[2024届·河北衡水·二模联考]已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有_________个.
四、双空题
12．[2024届·河北·模拟考试]已知数列满足，且，则______________；令，若的前n项和为，则________________.
五、解答题
13．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]已知正项数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前n项和为，求.
14．[2024届·山西长治·一模校考]已知正项等比数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，设其前n项和为，求证：.
15．[2024届·湖北·模拟考试联考]记为公比不为1的等比数列的前n项和.
（1）求；
（2）设，由与的公共顶从小到大组成数列，求的前n项和.
参考答案
1．答案：C
2．答案：B
解析：因为数列是“等比差”数列，
所以，因为，
所以，所以有，
累和，得，
因此有，累积，得，
所以，
3．答案：A
4．答案：C
解析：由知数列是公差为的等差数列，
所以.
故选：C.
5．答案：D
解析：由可得，
，，
则可得数列为常数列0，即，，
，
.
故选：D.
6．答案：ACD
解析：等差数列中，，
对于A，，，A正确；
对于B，，则，，
则，，因此，即，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，设的公差为d，由，得，解得，
则，，D正确.
故选：ACD
7．答案：BD
解析：A选项，，而不一定相等，A不正确；
B选项，因为，，
所以，故B正确；
C选项，因为，
若为等差数列，则
，
要想为常数，则，故C不正确；
D选项，由题可知，
若为等差数列，则为关于的一次函数，
所以，即，故D正确.
故选：BD
8．答案：BC
解析：
9．答案：95
解析：解法一：设的公差为d，由，，解得，，则.
解法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.
10．答案：
解析：根据题意有：抛掷n次偶数次正面向上的情况由抛掷次偶数次正面向上的情况下第n次反面向上，或抛掷次奇数次正面向上的情况下第n次正面向上组成，
可得递推关系为，构造数列，
所以，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，
又抛一次硬币，偶数次正面向上为0次，此时，所以，
所以，故答案为：.
11．答案：
解析：由题意得，，
又因为，，
代入得，要使方程有实数解，则，
显然第个方程有解，设方程与方程的判别式分别为，，
则，
即，等号成立的条件，
所以，中至少一个成立，
同理可得，中至少一个成立，…，，中至少一个成立，且，
综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少个，
故答案为：.
12．答案：；
解析：由，可得，即，
两边取以4为底的对数得，
又，
则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以；
由，得，
则，得，
故，
所以
.
故答案为：；
13．答案：(1)
(2)
解析：（1）①②
①-②整理得
数列是正项数列，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
；
（2）由题意知， ，
故
.
14．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设正项等比数列的公比为，由，得，
两式相除得，则，又，即，而，则，
所以数列的通项公式是.
(2)由(1)知，
则，
于是，
两式相减得，
因此，而恒成立，则.
所以.
15．答案：（1）；
（2）是首项为2，公比为4的等比数列；
解析：（1）设的公比为，因为，所以，所以，解得.又，
解得.故.
（2）因为，又是首项为-1，公比为-2的等比数列，所以是首项为2，公比为4的等比数列，
所以.

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