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（4）平面向量
——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编
一、选择题
1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知向量，，若，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知向量a，b满足，，且，则( )
A. B. C. D.1
3．[2024届·黑龙江牡丹江·模拟考试]已知,,为不共线的平面向量,,若,则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4．[2024届·云南曲靖·模拟考试]已知O是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．[2024届·江西·模拟考试]已知,,为非零的平面向量,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．[2024届·山东威海·二模]已知向量a，b满足，，且对，，则=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7．[2024届·山西长治·一模校考]如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则( )
A.-8 B.-4 C.0 D.4
8．[2024届·湖南师大附中·模拟考试]若,为单位向量,在方向上的投影向量为,则( )
A. B. C. D.
9．[2024届·河北衡水·二模联考]若，，，则实数( )
A.6 B. C.3 D.
10．[2024届·海南·模拟考试校考]设平面向量,,且,则( )
A.1 B.14 C. D.
11．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]已知向量,满足,,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
12．[2024届·湖南·一模]已知平面内的三个单位向量,,,且,,则( )
A.0 B. C. D.或0
13．[2024届·河北·模拟考试]已知,为平面向量,其中,,,则( )
A.1 B.2 C. D.4
二、填空题
14．[2024届·湖北·模拟考试联考]已知向量,，若,则实数______.
15．[2024届·福建泉州·模拟考试校考]已知,,且,则在上投影向量为__________.
参考答案
1．答案：D
解析：解法一：因为，所以，即.因为，，所以，，得，所以，解得，故选D.
解法二：因为，，所以.因为，所以，所以，所以，解得，故选D.
2．答案：B
解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B.
3．答案：D
解析：由可得,
又,如图所示,由平行四边形法则可得四边形为菱形,
故,互相垂直平分,所以在方向上的投影向量为,
故选：D.
4．答案：C
解析：由，所以O是的中点，又O是的外心，
则，再由，又，
则为正三角形，则，
角度一：如图，过点A作，垂足为D，则，，
所以向量在向量上的投影向量等于.
角度二：设，则，所以，
所以向量在向量上的投影向量等于.
故选：C.
5．答案：B
解析：若,则,在方向上的投影向量相等,但与不一定相等;若,则,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B
6．答案：C
解析：因为，所以，
所以，
因为对，，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
7．答案：A
解析：如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，
，
，
故选:A.
8．答案：D
解析：在方向上的投影向量为,得.由于,为单位向量,因此,于是.选D.
9．答案：B
解析：因为，所以，
即，所以，
因为，，所以，
所以，解得.
故选：B.
10．答案：B
解析：因为,所以又,
则
所以,
则,
故选：B.
11．答案：D
解析：因为,所以,即,
又,,所以,
解得,
又,则与的夹角为.
故选:D.
12．答案：D
解析：如图,,,（或）,
由得,又,所以,
由得,又,所以,
(或,又,所以)
所以,夹角为或,所以或0.
13．答案：B
解析：结合题意可得：因为,,
.
故选：B.
14．答案：-1
解析：，，，
则，解得.
故答案为：-1
15．答案：
解析：设,由可知①,
而,,
所以
由可得②,
由①②可得,解得,则,
所以或者,又,
向量在上的投影向量是.
故答案为：.

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