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（8）平面解析几何
——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编
一、选择题
1．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
2．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知A为双曲线，的右顶点，O为坐标原点，B，C为双曲线E上两点，且，直线，的斜率分别为2和，则双曲线E的离心率为( )
A. B. C. D.2
3．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]如果椭圆的离心率为，则( )
A. B.或 C. D.或
4．[2024届·云南曲靖·模拟考试]设点A，B的坐标分别是，，M是平面内的动点，直线，的斜率之积为，动点M的轨迹与曲线相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于，则轨迹C的离心率等于( )
A. B. C. D.
5．椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则( )
A. B. C. D.
6．[2024届·江西·模拟考试]直线l过抛物线()的焦点，且与C交于A，B两点，若使的直线l恰有2条，则p的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( )
A.
B.点在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在C上时，
8．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]抛物线的准线为l，P为C上的动点.对P作的一条切线，Q为切点.对P作l的垂线，垂足为B.则( )
A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时，
C.当时， D.满足的点P有且仅有2个
9．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知圆，，则下列结论正确的有( )
A.若圆和圆外离，则
B.若圆和圆外切，则
C.当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D.当时，圆和圆相交
三、填空题
10．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为__________.
11．[2024届·山西长治·一模校考]已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且.若线段PF，QF分别交C于点A，B，记的面积为，的面积为，当时，直线AB的方程为____________.
12．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线，的斜率分别为，，若，则椭圆E的离心率为__________．
13．[2024届·江苏省前黄高级中学·一模]已知P是双曲线上任意一点，若P到C的两条渐近线的距离之积为，则C上的点到焦点距离的最小值为__________．
四、解答题
14．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为9，求l的方程.
15．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知双曲线，点在C上，k为常数，.按照如下方式依次构造点：过作斜率为k的直线与C的左支交于点，令为关于y轴的对称点.记的坐标为.
（1）若，求，.
（2）证明：数列是公比为的等比数列.
（3）设为的面积.证明：对任意正整数n，.
参考答案
1．答案：A
解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A.
方法二：由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹.曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆（x轴上方部分），其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A.
2．答案：C
解析：，设，，则，
则，，
，
.
故选：C.
3．答案：B
解析：因为椭圆离心率为，
当时，椭圆焦点在x轴上，可得：，，，，解得，
当时，椭圆焦点在y轴上，可得：，，，，解得.或.故选：B.
4．答案：B
解析：设，则，所以动点M的轨迹C的方程为，
设轨迹C与曲线在第一象限的交点为，则，
且，由对称性可知所求矩形的面积，
解得，，故.
因为在曲线C上，所以，
轨迹C的方程可化为，所以轨迹C是双曲线，且，
离心率e满足：，所以.
故选：B
5．答案：B
解析：设、，则有，，
则，即，
则，即，
即，，
则，由，
则有，
整理得，即.
故选：B.
6．答案：A
解析：当AB垂直于x轴时，A，B两点坐标为，此时，所以.故选A.
7．答案：ABD
解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以，又，所以，所以A正确.
因为点到点的距离与到定直线的距离之积为，所以点在曲线C上，所以B正确.
设（，）是曲线C在第一象限的点，则有，所以，令，则，因为，且，所以函数在附近单调递减，即必定存在一小区间使得单调递减，所以在区间上圴有，所以的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误.
因为点在C上，所以且，得，所以，所以D正确.
综上，选ABD.
8．答案：ABD
解析：对于A，易知，故l与相切，A正确；
对于B，，的半径，当P，A，B三点共线时，，所以，，故B正确；
对于C，当时，，或，，易知PA与AB不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知，由抛物线定义可知，因为，所以，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为，即，代入可得，解得，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.
9．答案：BCD
解析：，，，，.
若和外离，则，解得或，故A错误；
若和外切，，解得，故B正确；
当时，和内切，故C正确；
当时，和相交，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：
解析：解法一：由及双曲线的对称性得，因为，所以，，所以，，则C的离心率.
解法二：因为，所以，所以，又，所以，得，所以，得，所以C的离心率.
11．答案：
解析：显然直线不垂直于y轴，设其方程为，，，
由消去x得：，，
则，，由得：，
即，而，，于是，
直线的方程为，则点P纵坐标，同理点Q纵坐标，
又，
由，得，则，，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：.
12．答案：或
解析：设，，设圆与，，轴相切于点M，N，T，
所以，，，
所以，
即，所以．
由椭圆第二定义可知，
所以，所以，
由等面积法得到，
所以．
因为，所以，所以，即．
故答案为：
13．答案：
解析：所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，
设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为，
解得：，故双曲线C方程为：，
故，，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为．
故答案为：．
14．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题知，解得，
，的离心率.
（2），
设点B到直线PA的距离为h，则的面积为，解得.
易知直线，设，
则，
解得或，或，
故或.
15．答案：（1），
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：将点的坐标代入C的方程得，解得，所以.
（1）过点且斜率的直线方程为，
与C的方程联立，消去y化简可得，即，
所以点的横坐标为-3，将代入直线方程，得，
因此，从而，
即，.
（2）解法一：由题意，，，.
设过点且斜率为k的直线为，
将的方程与C的方程联立，消去y化简可得，
由根与系数的关系得，
所以.
又在直线上，
所以.
从而，
易知，所以数列是公比为的等比数列.
解法二：由题意，，，.
由点，所在直线的斜率为k，可知.
又点，都在C上，所以，
即，
易知，
则
即数列是公比为的等比数列.
（3）解法一：由（2）知，数列是首项为，公比为的等比数列.
令，由可知，则，
又，所以，
可得，.
所以，，.
所以直线的方程为，即.
易知点到直线的距离
.
又
，
则，即为定值，所以.
解法二：由（2）知，数列是首项为，公比为的等比数列.
令，由可知，则，
又，所以，
可得，.
所以，，，.
所以，
，
即，所以，
所以点和点到直线的距离相等，
因此和的面积相等，即.

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