资源简介

2024年春期宜宾市普通高中学业质量监测
高一年级 数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 1- i．已知复数 z= 1+ i ，则 z的虚部是
A．-i B．-1 C． 0 D． 1
2．下列各组向量中，可以作为基底的是

A． e1= (0,0) ，e2= (1, -2) B． e1= (1,2) ，e2= (-1, -2)

C． e1= (-3,5) ，e2= (-6,10) D． e1= (-1,2) ，e2= (5,7)
3．某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是
A．这 14天日促销量的众数是 214 B．这 14天日促销量的中位数是 196.5
C．这 14天日促销量的极差为 195 D．这 14天日促销量的第 80百分位数是 243
4 a= (1, -1), b = 1 a⊥ a-2b a

．已知向量 ，若 ，则 与 b的夹角为
A π B π 3π 2π． 4 ． 3 C． 4 D． 3
5．如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面
积增加了 100（单位：m2），则原圆柱的侧面积是（单位：m2）

A． 100π B． 200π C． 100 D． 200
6．在△ABC中，BC= 2AB,∠ABC= 60°，∠ABC的角平分线交AC于点D，BD= 2，则△ABC的面积为
A 3 B 3 3 3． 4 ． 2 C． 3 D． 2
7．钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方
向找到一座建筑物AB，高约为 15m，在地面上点C处 (B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部
M的仰角分别为 30°和 45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为 15°，则钟鼓楼的高度约为
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A． 21m B． 26m C． 30m D． 45m
8．已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起，得到三棱锥A-BCD,E、F分别是棱AB、BC的中点,AB=
DQ
BD= 2，Q为棱CD上的一点，且DE∥平面AFQ,则 的值为
QC
A 1． 3 B
1
． 2 C． 1 D．2
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．已知直线 a,b和平面 α，β，下列说法正确的是
A．若 a b,a α,则 b α B．若 a b,a α,则 b α
C．若 α β,a α,则 a β D．若 a α,a β,α β= b,则 a b
10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是 5”，事件B=“第一次掷出的点数
是奇数”，事件C=“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是
A. A与B互斥 B. P A = 19 C. P B =
1
2 D. B与C相互独立
11．已知 a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，下列说法正确的是
A．若A= 45°,a= 2 ,b= 3，则△ABC有两解
B a．若 cosB =
b
，则△ABC为等腰三角形
cosA
C．若△ABC为锐角三角形，则 sinA> cosB

D．若△ABC的外接圆的圆心为O，且 2AO=AB+AC, AO = AB ，则向量CA在向量CB上的投影向
3
量为 4 CB
12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，点P为平面CDD1C1上一动点，则下列结论正确的是
A 10．当点P为DD1的中点时，直线CP与BC1所成角的余弦值为 10
B．当点P在棱C1D1上时，AP+PB1的最小值为 4 2
C．当点P在正方形CDD1C1内时，若B1P与平面CDD1C1所成的角为 45°，则点P的轨迹长度为 π
D．该正方体被过AA1,CC1,C1D1中点的平面 α分割成两个空间几何体Ω1和Ω2，某球能被整体放入Ω1或Ω2
内，则该球的表面积的最大值为（12- 6 3 )π
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．

13．已知在复平面内，向量AB对应的复数是 2+ i，AC对应的复数是 3- 2i，则向量BC对应的复数为 ．
14．已知事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.2，则P(A∪B) = .
15．著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于 1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数
的积，例如 60= 2× 2× 3× 5.已知 2310= a1× a2× × an，且 a1,a2,a3, ,an均为质数，若从 a1,a2,a3, ,an
中任选 2个数,则这两个数之和小于 10的概率为 .

BA BC
16 1．在等腰梯形ABCD中，已知AB ∥DC ,AB= 4,AD= BC= 2, = ，点 E,F分别在线段
BA BC 2

BC和CD上，则AE AF的最大值为 ．
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四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 a

．已知 = 2， b = 1 ，a与 b的夹角为 60°．

(1) 求 a-2b ；

(2) 当实数 k为何值时，ka+ b与 a+ 2b垂直
18． 2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”.某市为了鼓励居民节约用水，
减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x(单位：
吨)，月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x的部分按议价收费，且该市政府希望有 92%的居民月用
水量不超过标准 x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了 200户居民某年的月均用水
量 (单位：吨)，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中m的值，并估计月用水量标准 x的值；
(2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取 6户，再从这 6户中
任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．
19．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为 2的正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD= 4,E
为侧棱SC的中点．
(1)求证：SA 平面EDB；
(2)求点C到平面EDB的距离．
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20．已知 a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 acosC+ 3asinC- b- c= 0．
(1)求A；
(2)若 a= 7．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 b,c．
条件①：中线AD 19 3 3长为 2 ；条件②：△ABC的面积为 2 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC= π2 ，BC= 2 2，A1B=A1C，A1A= 2a，D为BC的中点，
AD⊥平面A1BC．
(1)求证：A1D⊥平面ABC；
(2)若 1≤ a≤ 2，求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围．
22．依据《宜宾市城市总体规划 (2018~2035)》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒
之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段 (如图所示)中的四边形区域ACEF建成生态园林
公园，AC，CE，EF，AF为主要道路 (不考虑宽度)．已知∠ACE= 90°，∠CEF= 120°，AF= 3EF= 3CE
= 3km．
(1)求道路AC的长度；
(2)若在道路AC的另一侧规划一块四边形ABDC的商业用地，使∠ABC= 60°，且ΔBCD为等边三角形，求
四边形ABDC面积的最大值．
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高一年级 数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D D A A D C B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9 10 11 12
BD BCD ACD ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13． 1- 3 i 14. 0.6 15. 25 16. 12
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17 ．解：(1)根据题意，a b= a b cos60° = 2× 1× 12 = 1，............................................................2分
- 2 2 2所以 a 2b = a -2b = a -4a b+4 b = 4-4×1+4×1= 2............................................5分
2 (2) ka+ b a+ 2b = 0 k|a| + 2ka b+ a
2
根据题意（， ）（ ） ，即 b+ 2 b = 0...........................................7分

又由 (1)知 a b= 1,所以 4k+ 2k+ 1+ 2= 0..............................................................................9分
解得 k=- 12 ......................................................................................................................10分
18．解：(1)由 0.05+ 0.1+ 4m+ 0.4+ 0.15+ 0.05= 1
解得m= 0.0625..................................................................................................................2分
∵ 0.0125+0.0250+0.0625+0.10000 × 4= 0.80< 0.92，
∵ 0.0125+0.0250+0.0625+0.10000+0.0375 × 4= 0.95> 0.92
∴ x= 16+ 4× 0.92-0.800.95-0.80 = 19.2(吨).......................................................................................5分
(2)根据题意得，月平均用水量在第一组居民有 0.05× 200= 10户,月平均用水量在第二组居民有 0.1× 200
= 20户，分层抽样随机抽取 6户,第一组抽取了 2户，第二组抽取了 4户...........................................7分
记第一组抽取的两户分别为 a,b, 第二组抽取的四户分别为A,B,C,D,从这 6户中任意选取两户，
样本点有（a,b）,（a,A）,（a,B）,（a,C）,（a,D）,（b,A）,（b,B）,（b,C）,（b,D）,（A,B）,（A,C）,
（A,D）,（B,C）,（B,D）,（C,D）,共 15个..............................................................................9分
记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为（a,b）（，A,B）,（A,C）,（A,D）,（B,C）,（B,D）,
（C,D）共 7个....................................................................................................................11分
7
根据古典概型可得，P(M ) = 15 .............................................................................................12分
19．解：(1)连接AC交BD于O，连接OE，
∵E为侧棱SC的中点，O是AC的中点，∴OE∥SA...........2分
∵SA 平面EDB,OE 平面EDB；
∴SA 平面EDB．........................................5分
(2) ∵E为侧棱SC的中点
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∴E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，
∴E 1到平面ABCD的距离 h= 2 SD= 2，
∴VE-BCD=
1 1 1 4
3 SΔBCD h= 3 × 2 ×2×2 2= 3 ........................................................................7分
又∵SD= 4，BC=CD= 2，
∴SC= 2 5 ,DE= 5 ,BD= 2 2
又∵BC⊥CE, ∴BE= 3
∴ cos∠BDE= 8+5-9 = 1010 ，∴ sin∠BDE= 1-
1 = 3 1010 10 ...........................................9分2×2 2× 5
∴S = 1 BE×DEsin∠BED= 1 × 2 2 × 5 × 3 10BED 2 2 10 = 3.......................................................10分
设点C到平面EDB的距离 d,由V 4 1E-BCD=VC-BDE得 3 = 3 × 3d，所以 d=
4
3 .................................12分
20．解：(1) ∵ acosC+ 3asinC- b- c= 0
∴ 2RsinAcosC+ 2 3RsinAsinC- 2RsinB- 2RsinC= 0
∴ sinAcosC+ 3sinAsinC- sin(A+C) - sinC= 0
∴ 3sinAsinC- cosAsinC- sinC= 0，∵ sinC≠ 0
∴ 3sinA- cosA= 1
∴ sin A- π 16 = 2 ................................................................................................................3分
∵- π ∴A- π6 =
π
6 ∴A=
π
3 ..........................................................................................................6分
(2)若选择①:
由A= π ,a= 7，得 7= b2+ c2- 2bccos π = b2+ c23 3 - bc，①........................................................8分

∵AD= 12 (AB+AC)

∴ |AD|2= 1 2 24 c +b +2bccos
π
3
∴ c2+ b2+ bc= 19 ②..........................................................................................................10分
由 ① ②解得：b= 3，c= 2或 b= 2,c= 3．..............................................................................12分
若选择②:
由A= π3 ,a= 7，得 7= b
2+ c2- 2bccos π = b23 + c
2- bc，①........................................................8分
△ABC S= 1 bcsinA= 1 bc× 3 = 3 3的面积 2 2 2 2 bc= 6 ②.......................................................10分
由 ① ②解得：b= 3，c= 2或 b= 2,c= 3．..............................................................................12分
21．解：(1)证明：因为AD⊥平面A1BC，A1D 平面A1BC，
所以AD⊥A1D...................................................................................................................2分
因为A1C=A1B，BD=CD
所以A1D⊥BC...................................................................................................................4分
A1D∩BC=D.
所以A1D⊥平面ABC..........................................................................................................5分
(2)取B1C1中点D1，连接A1D1，DD1，则DD1 BB1 AA1
所以四边形A1D1DA是平行四边形.
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因为BC⊥AD，BC⊥A1D，AD∩A1D=D，AD，A1D 平面AA1D1D
所以BC⊥平面AA1D1D，
又BC 平面BB1C1C
所以平面BB1C1C⊥平面AA1D1D.
作A1E⊥D1D于E，则A1E⊥平面BB1C1C，
连接CE，则∠A1CE为直线A1C与平面BCC1B1所成的角....................8分
π
由∠BAC= 2 ，BD=CD，BC= 2 2，知AD=BD=CD= 2，
又由 (1)知A1D⊥平面ABC，
A D×A D 2
A D= 4a2-2 A E= 1 1 1 = 4a -2× 2 = 2a
2-1
所以 1 ， 1 DD1 2a a
，
A C= A D21 1 +CD2= 2a.
2
sin∠ AA CE= 1E = 2a -1 = 1 - 1 + 2 = 1则 - 1
2
1 2 2 4 2 2 2 -1 +1 .......................................10分A1C 2a a a a
由于 1≤ a≤ 2 1，所以 4 ≤
1
2 ≤ 1a
7 1
所以 8 ≤ sin∠A1CE≤ 2 .
故直线A C 7 11 与平面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围为 8 , 2 .............................................12分
22．解：(1)连接FC，由余弦定理可得FC =CE +EF -2CE EFcos120° = 3，所以CF= 3 ............2分
由EC=EF，∠CEF= 120°，所以∠ECF= 30°
因为∠ACE= 90°，所以∠ACF= 60°
AC2△ECF cos∠ACF= +CF
2-AF 2
在 中，
2AC CF
所以AC - 3AC- 6= 0，解得AC= 2 3，
即道路AC的长度为 2 3km..................................................................................................4分
(2)设∠ACB= α，在△ABC AC BC BC 2 3中，由正弦定理可得 ∠ = = = 4，sin ABC sin 60°+α sin 60°+α 3
2
∴BC= 4sin 60°+α ............................................................................................................6分
又因为ΔBCD为等边三角形，
所以SABDC=SΔABC+S =
1
ΔBCD 2 × 2 3 × 4sin(α+ 60°)sina+
3
4 × 4sin(α+60°)
2.........................8分
1-cos(2α+120°)
SABDC=4 3sinα 12 sinα+ 32 cosα +4 3× 2
=2 3sin2α+6sinαcosα+2 3-2 3 cos2α -
1
2 -sin2α
3
2
= 3 (1- cos2α) + 3sin2α+ 2 3+ 3cos2α+ 3sin2α
= 6sin2α+ 3 3 ..................................................................................................................10分
因为 0° < α< 120°，所以 0° < 2α< 240°，
所以当 2α= 90°，即 α= 45°，(SABDC)max= 6+ 3 3
即四边形ABDC面积的最大值为 (6+ 3 3 )km2．....................................................................12分
(第（2）问也可以根据四边形ABDC为梯形，通过梯形的面积公式计算 )
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