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阜阳市第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是（ ）
A B. C. D. 3
2. 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
4．已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（　　）
A．A与B互斥 B．A与C互斥C．A与B相互独立 D．A与C相互独立
5. 已知且，则（ ）
A. B. C. D.
6 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）
A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92
7. 若函数在区间内没有最值,则的取值范围是
A. B. C. D.
8．在三棱锥S﹣ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S﹣AB﹣C的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分)
9.在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分均为整数情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是( )
A. 甲组中位数为2，极差为5 B. 乙组平均数为2，众数为2
C. 丙组平均数为1，方差大于0 D. 丁组平均数为2，方差为3
10.已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的零点有6个
C. D. 若，则
11.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2AB＝2AA1＝4，E是棱B1C1的中点，过点B，E，D1的平面α交棱AD于点F，点P为线段D1F上一动点，则（　　）
A．当且仅当点P重合于D1时，三棱锥P﹣ABE的体积取得最大值
B．不存在点P，使得DP⊥α
C．直线PE与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为
D．三棱锥P﹣BB1E外接球表面积的取值范围是[12π，44π]
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量坐标为________．
13.已知函数若函数有四个不同的零点，，，，则实数t的取值范围是__________，设，则__________.
14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，D为的中点，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）若在（）上单调，求m的最大值；
（2）若函数在上有两个零点，，求实数k的取值范围及的值.
16．我校后勤服务中心为监控学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食常服务质量进行名评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布直方图．如图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值并估计样本的众数：
（2）学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；
（3）我校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80，100]之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．
17．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝BD，∠ADB＝90°．CD＝2，BC＝2．
（1）若∠BDC＝45°，求线段AC的长；
（2）求线段AC长的最大值．
18.在平行四边形ABCD中，，，，E，F分别为AB，AD的中点，将三角形ADE沿DE翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥
求证：平面
求证：平面平面
求EC与平面ACD所成角的正弦值.
19. 正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．
（1）正十二面体共有几条棱，几个顶点？
（2）如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；
（3）判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．
阜阳市第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题答案
1.B
2.C
3.C
4.C解：由题知，P（C）＝，因为P（A）+P（B）＝＝≠P（A∪B）＝P（C），故A错误；
因为C＝A∪B，A发生时C一定发生，故B错误；
因为P（A∪B）＝，所以P（AB）＝P（A）+P（B）﹣P（A∪B）＝＝，
又P（A）P（B）＝＝，所以P（AB）＝P（A）P（B），故C正确；
因为C＝A∪B，所以P（AC）＝P（A）＝，由P（A）P（C）＝＝，P（AC）≠P（A）P（C），故D错误．
5.B【详解】由题意得，因为，即，所以，
又，
又，且，
所以，
故选：B.
6. D
7. B【详解】函数的单调区间为，
由，得．
∵函数 区间内没有最值，
∴函数 在区间内单调，∴，
∴，解得．
由，得．当时，得；当时，得，又，故．综上得的取值范围是．故选B．
8.A解：因为SA＝，SB＝2，AB＝3，
所以SB2＝SA2+AB2，
所以SA⊥SB，
所以△SAB为在直角三角形，
取SB的中点N，则N为△SAB的外心，
球心O在过底面△ABC的外心，
球心O在过底面△ABC的外心（中心）G且垂直底面ABC的直线上，也在过△SAB外心N且垂直侧面SAB的直线上，
如图：
因为三棱锥外接球的表面积为21π，即4πR2＝21π，
解得R＝，
取AB的中点M，连接CM，MN，OM，则MN∥SA，
所以CM，NM都垂直于AB，
所以∠NMG是二面角S﹣AB﹣C的平面角，
又MN＝，
CM＝，MG＝，GB＝，
在Rt△OGB中，OG＝＝＝，
又GM＝×＝，
在Rt△OGM中，OM＝＝＝，
所以tan∠OMG＝＝＝，
所以∠OMG＝，
在Rt△ONM中，OM＝，MN＝SA＝，
cos∠OMN＝＝∠OMN＝，
由OG⊥面ABC得AB⊥OG，又GM⊥AB，
所以AB⊥面OMG，
由ON⊥面ABS得AB⊥ON，
又NM⊥AB，ON∩NM＝N，
所以AB⊥面OMN，
又平面OMG，平面OMN有公共点O，
所以O，N，M，G四点共面，
所以∠NMG＝∠OMG+∠OMN＝，
即二面角S﹣AB﹣C的大小为，其余弦值为cos＝﹣．
故选：A．
9.AD 解；对A，因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故A正确；
对B，如失分数据分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；
对C，如失分数据分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；
对D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．
故选：
10.ACD【详解】因为为奇函数，所以，所以为奇函数，
因为函数为偶函数，所以，
由代换为可得，
对，由已知，所以的图象关于直线对称，故正确；
对，因为为定义在上的奇函数，
由奇函数性质可得，所以为函数的一个零点，
设为函数的一个正零点，则，
所以，即也为函数的一个零点，
所以在上的零点个数为奇数，故B错误；
对，因为， ，
所以，
所以，故C正确；
对，由选项可得是周期为4的函数，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11.BCD解：对于A，∵在长方体中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
根据面面平行的性质，平面α与这两个平面的交线互相平行，即D1F∥BE，
∵D1F 面ABE，BE 面ABE，
∴D1F∥平面ABE，
又点P在线段D1F上，∴三棱锥P﹣ABE的体积为定值，故A错误；
对于B，若存在点P，使得DP⊥α，∵BF α，则DP⊥BF，
∵DD1⊥BF，DD1∩DP＝D，DD1，DP 平面AA1D1D，∴BF⊥平面AA1D1D，与题意矛盾，故B正确；
对于C，如图1所示，取BC的中点Q，连接C1Q，
则点P在平面BCC1B1内的射影P在C1Q上，直线PE与平面BCC1B1所成角即∠PEP′，且有，
由已知可得PP′＝2，EP′最小为，∴tan∠PEP′的最大值为，故C正确；
对于D，如图2，取A1D1的中点G，连接AG～，分别取～BE，AG的中点O1，O2，
连接O1，O2，∵△BB1E是等腰直角三角形，
∴三棱锥P﹣BB1E外接球的球心O在直线O1O2上，
设三棱锥P﹣BB1E外接球的半径为R，则OB＝OP＝R，
∴，
设|OO1|＝d，则，
∴，
当点P与F重合时，|O2P|取最小值，此时d＝1，R2＝3，
三棱锥P﹣BB1E外接球的表面积为4πR2＝12π，
当点P与D1重合时，|O2P|取最大值，
此时d＝3，R2＝11，三棱锥P﹣BB1E外接球的表面积为4πR2＝44π，故D正确．
故选：CD．
12【答案】【详解】由题意，
所以在方向上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
13. ；
解：因为函数有四个不同的零点，，，，
所以方程有四个不同的解，
作出函数的图象如下图．
由图可知，即，
由二次函数的对称性，可得，
又
，
即，得，
所以，
故
故答案为：，
14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，D为的中点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】分析题意，进行计算求出画图，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式结合基本不等式得出答案即可.
【详解】在中，
由正弦定理得
由余弦定理得，
，则
作，
，，
以A为原点，建立平面直角坐标系，
，由两点间距离公式得，
，当且仅当时相等，
，此时，
故答案为：.
15.【小问1详解】
16.解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，
解得a＝0.006，
∴众数的估计值为＝75．
（2）由频率分布直方图鉴得师生对食堂服务质量评分的平均分为：
＝45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10＝76.2，
∵76.2＞75，
∴食堂不需要内部整顿．
（3）由频率分布直方图可知，“差评”的概率为0.04+0.06＝0.1，“中评”的概率为0.22+0.28＝0.5，“好评”的概率为0.22+0.18＝0.4，
则本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率
P=1-
17.解：（1）在△BCD中，，由余弦定理得：
BC2＝CD2+BD2﹣2CD BDcos∠BDC，即BD2﹣4BD+4＝0，解得BD＝2，
在△ADC中，AD＝BD＝2，∠ADC＝135°，由余弦定理得：
AC2＝AD2+CD2﹣2AD CDcos∠ADC，
所以；
（2）设∠BCD＝θ（0＜θ＜π），
在△BCD中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
在△ADC中，由余弦定理得：＝，
当且仅当，即时取“＝”，此时AC＝6，
所以当时，线段AC长取最大值6．
18.【答案】解：取AC中点H，连接FH，HB，
，，，，
，，
四边形EBHF为平行四边形，
，平面ABC，平面ABC，
平面
为直二面角，，，
为二面角的平面角，，，
平面AED，，
平面AED，平面ACD，
平面平面
连接FC，易得为等腰直角三角形，F为斜边AD上的中点，
，
由知，，
平面ACD，CE在平面ACD的射影为CF，
为EC与平面ACD所成角，在中，
19.【小问1详解】
根据柏拉图多面体满足性质：，
正十二面体有个面，即，则，
设正十二面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，即，
所以，所以，
所以，即，
由，得，
当，即时，，符合题意，
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
综上所述，，，
此时，
即正十二面体共有条棱，个顶点；
【小问2详解】
设正方体的棱长为，则，
几何体所有棱长为，是正八面体，
所以，
所以；
小问3详解】
假多面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，
代入可得，即，
当时，，
这与矛盾，
所以中至少有一个等于，
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正八面体，正二十面体；
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正六面体，正十二面体
综上所述，柏拉图多面体只有种.
【点睛】关键点点睛：假多面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，根据每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，得出，代入得，是解决第三问得关键.

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