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第十一章 三角形知识归纳与题型突破（题型清单）
一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
二、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
三、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
四、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等．
注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同．
重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
六、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
七、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
八、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
九、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
十、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
题型一　三角形的稳定性
例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．灵活性
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．
【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，
故选；C．
巩固训练
1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（ ）
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是：三角形的稳定性．
故选：B．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 .
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解．
【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有 ．
【答案】稳定性
【解析】略
题型二　判断三边是否能构成三角形
例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：)，其中能搭成三角形的是（ ）
A．4， 5， 10 B．5， 5， 10 C．5， 8， 10 D．5， 10， 15
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，长度是4，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本选项不符合题意；
B、，长度是5，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本选项不符合题意；
C、，长度是8，5，10的小木棒能搭成三角形，故本选项符合题意；
D、，长度是15，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
巩固训练
1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】题目主要考查了三角形三边关系，理解题意，熟练运用三角形三边关系是解题关键．根据“三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，依次判断即可．
【详解】解：A、，不能构成三角形；
B、，不能构成三角形；
C、，不能够组成三角形；
D、，能构成三角形．
故选：D．
2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】A．∵，故标注正确；
B．∵，故标注正确；
C．∵，故标注错误；
D．∵，故标注正确．
故选：C．
3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“”处，则第二刀可以剪在（ ）
A．“”处 B．“”处 C．“”处 D．“2”处
【答案】C
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，有理数与数轴，分别求出第二刀位置在四个选项中的位置时三段的长，再根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：A、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
B、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
C、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意；
D、第二刀剪在“2”处时，则剪成的三段的长分别为，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
题型三　已知三角形的两边长，求第三边的取值范围
例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得x的范围，然后再确定x的值即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
解得：，
∵第三边的长为奇数，
∴、5或7，
∴第三边的长的最大值为7．
故答案为：7．
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为 ．（请写出一个符合条件的答案）
【答案】5（不唯一）
【分析】本题考查三角形的三边关系（三角形的第三边小于两边之和大于且大于两边之差）．解题的关键是根据三角形的三边关系列出关于的一元一次不等式组，求解后即可得出符合条件的值即可．
【详解】解：设三角形第三边长为，
∵三角形两边长分别为3和4，
∴，
∴，
∴三角形第三边长为：5．
故答案为：5（不唯一）．
2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为 ．
【答案】13或15
【分析】根据三角形三边的关系确定出第三边的取值范围，再根据第三边为奇数结合三角形周长公式进行求解即可．
本题主要考查了三角形三边的关系的应用，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：∵一个三角形的两边长为2和6，设第三边长为x，
∴，即
∵第三边为奇数，
∴第三边长为5或7
当第三边长为5时，该三角形的周长是；
当第三边长为7时，该三角形的周长是；
综上所述，这个三角形的周长为13或15．
故答案为：13或15．
3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ．
【答案】19或20或21或22或23
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【详解】解：由三角形三边关系定理得：，
∴，
∵x为最长边且为整数，
∴，
∴x的值是7或8或9或10或11，
∵，，，，，
∴此三角形的周长为19或20或21或22或23．
故答案为：19或20或21或22或23．
4．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为
(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）
(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定，的值，从而得出的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为，第二条边长为，
∴第三条边长的取值范围是，
即，
∴第三条边长的取值范围是；
（2）∵，满足，第三条边长为整数，
∴，
∴，
∴，即，
则三角形的周长为：，
∵为整数，
∴可取最大值为，
此时这个三角形周长的最大值为，
∴这个三角形周长的最大值为．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
题型四　判断是否三角形的高线
例题：下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【详解】解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．
巩固训练
1．下面四个图形中，线段是的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A．线段是的高，选项不符合题意；
B．线段是的高，选项不符合题意；
C．线段是的高，选项不符合题意；
D．线段是的高，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．
2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在中，是钝角，下列图中作边上的高线，正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：在中，是钝角，边上的高线就是过点A作边的垂线得到的线段，如图，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．掌握定义是解题的关键．
3．如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（ ）
A．中，是边上的高 B．中，是边上的高
C．中，是边上的高 D．中，是边上的高
【答案】B
【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．
【详解】解：A、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意；
B、中，不是边上的高，故此选项错误，符合题意；
C、中，是边上的高故此选项正确，不符合题意；
D、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．
题型五　根据三角形的中线求面积
例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明，再证明即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，

为中点，
.
同理可得，，.
的面积为20，
.
，
.
故选B．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
巩固训练
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】如图，首先证明（设为λ），（设为μ）；进而证明，，得到，进而得到，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题
【详解】解：∵是的中线，
∴；
∴（设为λ），
（设为μ），
，
∴；
同理可证：，
即，；
∴选项（1）、（2）、（3）均成立，
选项（4）不成立，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

【答案】8
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】∵点F是的中点，的面积为，
∴．
∵点E是的中点，
∴，．
∴．
∴，
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理是等底同高的三角形面积相等．
3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，为的中线，点，分别在，上，且满足，．若四边形（图中阴影部分）的面积为16，则的面积为________．

【答案】36
【分析】根据三角形中线与面积的关系，等高模型进行求解即可．
【详解】设的面积为，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的中线，
∴，
∴，
则，
解得，
∴，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．
题型六　与平行线有关的三角形内角和问题
例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ．
【答案】/28度
【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，
首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
巩固训练
1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
【答案】
【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理．根据垂直的定义得出，即可判断①，根据角平分线的性质得出，根据，得出，即可判断，得出②正确；根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，即可判断③，根据三角形内角和定理可得，再根据，得到，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，平分，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的说法有①②③．
故答案为：①②③．
3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：
当与边平行时，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．
∴，
∴；
如图：
当与边平行时，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．
∴，
∴；
综上：边恰好与边平行，t的值为或
故答案为：10.5或28.5
题型七　与角平分线有关的三角形内角和问题
例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分，过点作．若，，则 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，角平分线的相关求解，先根据两直线平行同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，根据角平分线以及三角形内角和即可得出结果．
【详解】解：，，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
巩固训练
1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求得，从而可求，再根据三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
．
故答案为：．
2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ．
【答案】132
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线和三角形的内角和定理，推出，，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：、分别平分、，
，
、分别平分三角形的两个外角、
，
∴；
故答案为：．
3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，平分，于点．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟知三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质．
（1）由三角形内角和定理可求得的度数， 是角平分线，故；
（2）在中，可求得的度数，于是．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
；
（2）解：，
，
，
，
．
题型八　三角形的外角的定义及性质
例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则
【答案】50
【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可解题．
【详解】解：由三角形的外角性质得：，
，
，
故答案为：．
巩固训练
1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线，，，则 度．
【答案】46
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等，外角等于不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】解：，，
，即
故答案为：46．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ．
【答案】/52度
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．利用角平分线的定义结合三角形外角的性质，可得，由，利用三角形内角和定理可得，即可得到，即可求出的度数．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
，即，
,
故答案为：．
3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．

【答案】/110度
【分析】本题考查的是平行线的性质和外角和定理，对顶角角度相等，根据题意可知三角板的为，，再根据外角和定理及同位角和对顶角定理，即可得到答案．
【详解】解：∵角的直角三角板，，
∴，
又∵，根据平行线同位角相等得：，
∵与为对顶角，
∴，
故答案为：．

题型九　多边形的内角和与外角和
例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由 12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的 ．
【答案】/132度
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键．
根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】正五边形内角和为
正六边形内角和为
正五边形每个内角度数为，正六边形每个内角度数为
故答案为：
巩固训练
1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，和是四边形的外角，若，，则 ．
【答案】/195度
【分析】查看考查了多边形内角和，平角的定义，首先根据四边形内角和定理得到，然后利用平角的定义求解即可．
【详解】．∵四边形的内角和是
∴
∵，
∴
∵，
∴
故答案为：．
2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为 ．
【答案】5/五
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和的公式是解题的关键．
设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式和外角和为列方程求解即可得出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为
边形的内角和为，多边形的外角和为
解得
这个多边形的边数为
故答案为：．
3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则的度数为 ．
【答案】/23度
【分析】本题考查多边形的内角和，三角形外角的性质．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．先求出正五边形的每一个内角的度数，利用外角的性质，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可．
【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
题型十　在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积
例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．

(1)画出中边上的中线；
(2)画出中边上的高．
(3)直接写出的面积为_________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)6．
【分析】（1）取的中点，连接，即为所求；
（2）取格点，连接，即为所求；
（3）用直接利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图，即为所求；

（3）；
故答案为：6．
【点睛】本题考查格点画三角形的中线和高线，求三角形的面积．熟练掌握中线和高线的定义，是解题的关键．
巩固训练
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可；
（3）利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；

（2）如图，线段即为所求；
（3）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的高，中线的定义，属于中考常考题型．
2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．

(1)画出；
(2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________；
(3)画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图）
(4)图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）．
【答案】(1)作图见解析
(2)平行且相等
(3)作图见解析
(4)3
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出平移后的对应点．
（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质解答即可；
（3）找出的中点D，然后连接即可；
（4）过点A作的平行线，找出此平行线上的格点即可．
【详解】（1）如图，即为所求．

（2）连接，，根据平移性质可知，这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等．
（3）解：如图，即为所求．
（4）解：如图，过点A作的平行线，所经过的格点，，即为满足条件的点，共有3个．
故答案为：3．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将的点C平移至点得到．

(1)画出；
(2)线段和的关系是_______．
(3)借助方格画出边上的中线和高；
(4)四边形 面积为_______．
【答案】(1)见详解
(2)平行且相等
(3)见详解
(4)23
【分析】（1）观察发现，点是由C点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到的，因此只需将A点和B点也按相同的方式平移即可得到和，再顺次连接、、即可．
（2）根据“平移前后对应点的连线平行且相等”即可得解．
（3）根据三角形的中线，高线的定义画出图形即可；
（4）四边形的面积，利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：根据平移的性质可得：线段和平行且相等．
故答案为：平行且相等
（3）解：如（1）图，线段，即为所求；
（4）解：．
故答案为：23
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的中线，高线等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求三角形面积．中小学教育资源及组卷应用平台
第十一章 三角形知识归纳与题型突破（题型清单）
一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
二、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
三、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
四、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等．
注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同．
重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
六、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
七、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
八、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
九、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
十、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
题型一　三角形的稳定性
例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．灵活性
巩固训练
1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（ ）
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 .
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有 ．
题型二　判断三边是否能构成三角形
例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：)，其中能搭成三角形的是（ ）
A．4， 5， 10 B．5， 5， 10 C．5， 8， 10 D．5， 10， 15
巩固训练
1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“”处，则第二刀可以剪在（ ）
A．“”处 B．“”处 C．“”处 D．“2”处
题型三　已知三角形的两边长，求第三边的取值范围
例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为 ．（请写出一个符合条件的答案）
2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为 ．
3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ．
4．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为
(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）
(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值
题型四　判断是否三角形的高线
例题：下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．下面四个图形中，线段是的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在中，是钝角，下列图中作边上的高线，正确的是（ ）
A． B．C． D．
3．如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（ ）
A．中，是边上的高 B．中，是边上的高
C．中，是边上的高 D．中，是边上的高
题型五　根据三角形的中线求面积
例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
巩固训练
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，为的中线，点，分别在，上，且满足，．若四边形（图中阴影部分）的面积为16，则的面积为________．

题型六　与平行线有关的三角形内角和问题
例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号）
3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ．
题型七　与角平分线有关的三角形内角和问题
例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分，过点作．若，，则 ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，如果与的平分线交于点D，那么 度．
2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ．
3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，平分，于点．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
题型八　三角形的外角的定义及性质
例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则
巩固训练
1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线，，，则 度．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ．
3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．

题型九　多边形的内角和与外角和
例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由 12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的 ．
巩固训练
1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，和是四边形的外角，若，，则 ．
2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为 ．
3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则的度数为 ．
题型十　在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积
例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．

(1)画出中边上的中线；
(2)画出中边上的高．
(3)直接写出的面积为_________．
巩固训练
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．

(1)画出；
(2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________；
(3)画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图）
(4)图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将的点C平移至点得到．

(1)画出；
(2)线段和的关系是_______．
(3)借助方格画出边上的中线和高；
(4)四边形 面积为_______．

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