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江苏省常州市2024年中考数学一模试题
1．（2024·常州模拟）的倒数是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数为-4.
故答案为：B.
【分析】根据互为倒数的两数之积为1进行求解.
2．（2024·常州模拟）截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：664500=6.645×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，其表现形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，根据此即可求解.
3．（2024·常州模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、幂的乘方法则进行计算即可.
4．（2024·常州模拟）如图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，则该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察图形可知，主视图第一层为3个小正方形，第二层在左上角有1个小正方形，ABC不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据简单组合体的三视图进行判断即可.
5．（2024·常州模拟）一元二次方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-3，c=1，
∴b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】先求出b2-4ac的值，再根据一元二次方程根的判别式进行求解.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与判别式的关系：b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；b2-4ac<0时，方程没有实数根.
6．（2024·常州模拟）当时，代数式的值为6，那么当时，这个代数式的值是（　　）
A．1 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6，
∴8a+2b+1=6，
∴8a+2b=5，
∴当x=-2时，ax3+bx+1=-8a-2b+1=-(8a+2b)+1=-5+1=-4.
故答案为：D.
【分析】把x=2代入代数式，整理得8a+2b=5，再把x=-2代入代数式，整理得-(8a+2b)+1，最后整体代入求解即可.
7．（2024·常州模拟）如图，A、B、C、D、E、F为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；概率的意义；圆的对称性
【解析】【解答】解：∵A、B、C、D、E、F为的六等分点，
∴根据圆的对称性可知甲乙两位同学所画的三角形一定全等，
∴甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1.
故答案为：B.
【分析】根据圆的对称性、全等三角形的判定方法、概率的定义进行求解即可.
8．（2024·常州模拟）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：∵根据题意可知小丽的行驶情况为：加速行驶→匀速行驶→减速行驶到服务区→加油→加速行驶→匀速行驶，
∴ACD不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先根据题意得小丽的行驶情况，然后观察四个选项，横轴代表行驶时间，纵轴代表行驶速度，再根据行驶情况逐一判断即可.
9．（2024·常州模拟）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
10．（2024·常州模拟）要使有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴3x-1≥0，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0进行求解.
11．（2024·常州模拟）分解因式： 　 　．
【答案】 。
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 。
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可。
12．（2024·常州模拟）点关于直线对称的点的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图，
点P(2，-3)关于直线x=1对称的点的坐标为(0，-3).
故答案为：(0，-3).
【分析】将点P在平面直角坐标系中找出来，再观察坐标系进行求解.
13．（2024·常州模拟）已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，当x>0时，y随x的增大而减小，
∴m-5>0，
∴m>5.
故答案为：m>5.
【分析】根据反比例函数的增减性进行求解.
14．（2024·常州模拟）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积　 　.
【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为，
∴这个扇形的面积.
故答案为：π.
【分析】根据扇形的面积公式：（n是扇形圆心角度数数值，r是扇形半径）进行求解.
15．（2024·常州模拟）中，，，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，，
∴设BC=4x，AB=5x，
∴根据勾股定理得，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意设BC=4x，AB=5x，利用勾股定理求得AC=3x，最后利用三角函数的定义进行求解.
16．（2024·常州模拟）如图，是的直径，是的切线，交于点D，连结，若，则的大小为　 　.
【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AC是的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=26°，
∴∠AOC=180°-90°-26°=64°，
∴.
故答案为：32.
【分析】根据切线的性质得∠OAC的度数，再利用三角形内角和定理得∠AOC的度数，最后根据圆周角定理进行求解.
17．（2024·常州模拟）如图，正方形的边长为10，，，，则线段的长为　 　.
【答案】75
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AE于H，
∴∠FHB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为10，
∴AB=BC=10，∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形FHBC为矩形，
∴HF=BC=10，HB=CF，HF∥CB，
∵CF=2，GE∥CB，
∴HB=CF=2，GE∥HF，
∴AH=AB-HB=10-2=8，，
∴，
∵BE=5AB，
∴BE=5×10=50，
∴AE=AB+BE=10+50=60，
∴，
∴GE=75.
故答案为：75.
【分析】过点F作FH⊥AB于H，先根据正方形的性质证四边形FHBC为矩形，得HF=BC=10，HB=CF=2，HF∥CB，进而得AH=AB-HB=8，GE∥HF，接下来证得，从而有，然后由BE=5AB得AE=AB+BE=60，最后代入HF、AH、AE的值进行求解即可.
18．（2024·常州模拟）如图，正方形的边长为6，O为正方形对角线的中点，点E在边上，且，点F是边上的动点，连接，点G为的中点，连接、，当时，线段的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图， 连接BD，OE，OF，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为6，点O为对角线AC的中点，
∴O是BD中点，BC=6，∠ABC=90°，OB⊥OC，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴∠BOC=90°，
∵点G为EF的中点，BG=OG，
∴BG=EG=FG=OG，
∴∠GEO=∠GOE，∠GFO=∠GOF，
∵∠GEO+∠GOE+∠GFO+∠GOF=180°，
∴2（∠GOE+∠GOF）=2∠EOF=180°，
∴∠EOF=90°，
又∵∠BOC=90°，
∴∠BOE+∠BOF=∠BOF+∠COF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在和中，
，
∴，
∴BE=CF，
∵BE=2，
∴CF=2，
∴BF=BC-CF=6-2=4，
在中，根据勾股定理得.
故答案为：.
【分析】连接BD，OE，OF，根据正方形性质得O是BD中点，BC=6，∠ABC=90°，从而得OB=OC，OB⊥OC，∠OBE=∠OCF=45°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得BG=EG=FG=OG，接下来根据等腰三角形性质、三角形内角和定理求出∠EOF=90°，进而求得∠BOE=∠COF，据此证出，得BE=CF=2，从而有BF=BC-CF=4，最后利用勾股定理求出EF的长．
19．（2024·常州模拟）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
20．（2024·常州模拟）解方程和不等式
（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得，
检验：当x=2时，x-3≠0，
是原方程的解；
（2）解：∵，
∴解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的解法步骤进行解答；
（2）根据解一元一次不等式组的解法步骤进行解答.
21．（2024·常州模拟）为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩进行整理、描述和分析，如图1，将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标.
图1 图2
（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是　 　分.
（2）两次成绩均达到或高于90分的学生有　 　个
（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：，，，，，，，）
在的成绩分别是77，77，78，78，78，79，79，则这30位学生两次活动平均成绩的中位数是　 　.
（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.
【答案】（1）75
（2）7
（3）79
（4）解：（人），
答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人.
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）观察图1得，该生第二次成绩是75分，
故答案为：75；
（2）观察图1，横纵坐标都大于等于90的点有7个，
故答案为：7；
（3）∵75≤x<80的成绩分别是77，77，78，78，78，79，79，
且观察图2可知75分以下人数有2+5+2=9（人）
∴这30名学生两次活动平均成绩的中位数是，
故答案为：79.
【分析】（1）观察图1，依据”第一次成绩是70分“找到表示学生甲的点进行求解；
（2）观察图1，找出横纵坐标都大于等于90的点的个数即可求解；
（3）由中位数的定义即可求解；
（4）观察图2得到这30名学生两次活动平均成绩不低于90分的学生人数的比，再利用样本估计总体即可求解.
22．（2024·常州模拟） 2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀.
（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是　 　；
（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
　 3 6 7 9
3 （3，3） （3，6） （3，7） （3，9）
6 （6，3） （6，6） （6，7） （6，9）
7 （7，3） （7，6） （7，7） （7，9）
9 （9，3） （9，6） （9，7） （9，9）
共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种，
∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，共有4种等可能的情况，其中抽到这张牌是奇数的有3种，
∴抽到这张牌是奇数的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
　 3 6 7 9
3 （3，3） （3，6） （3，7） （3，9）
6 （6，3） （6，6） （6，7） （6，9）
7 （7，3） （7，6） （7，7） （7，9）
9 （9，3） （9，6） （9，7） （9，9）
共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种，
∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为.
【分析】（1）根据题意得出所有等可能的结果数，再得到其中抽到奇数的结果数，最后利用概率公式进行计算即可；
（2）根据列表法得出所有等可能的结果数，再观察表格得他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果数，最后利用概率公式进行求解.
23．（2024·常州模拟） 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
24．（2024·常州模拟） 《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两 ”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子
（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法 列出所有可能的购买方案。
【答案】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买m头牛，则购买只羊，
依题意得，
解得：，
为整数，
有3种方案：①购买7头牛，13只羊；②购买8头牛，12只羊；③购买9头牛，11只羊.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
25．（2024·常州模拟） 如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点A.
（1）求a和k的值
（2）过点B作轴，与双曲线交于点C，求的面积.
【答案】（1）解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，过A作AE⊥x轴于点E，
∴∠BDO=∠AEO=90°，
∴∠BOD+∠DBO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOE=90°，
∴∠DBO=∠AOE，
∴，
，
反比例函数的图像过点，
，
∴，
∴，
，，
∵，
，
，，
点A的坐标为，
∴.
（2）解： 设AE与OC相交于点F，
∵BC∥x轴，B(-2，1)，
，将代入中，得，
点C的坐标为，
所在的直线为，
∵A(2，4)，
∴点F的横坐标为2，将x=2代入，得，
∴，
，
.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；锐角三角函数的定义；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，过A作AE⊥x轴于点E，根据“一线三垂直”证出，根据相似三角形的性质得，由点B的坐标求出BD、OD的值，再通过三角函数的定义得相似比的值，从而求出OE、AE的值，得点A的坐标，即可求k的值；
（2）设AE与OC相交于点F，由BC∥x轴，得点C(8，1)，从而求直线OC的解析式，得，进而求出AF的长，根据，利用三角形面积公式代入数值进行求解即可.
26．（2024·常州模拟）定义：若实数a、b、、满足、（k为常数，，则在平面直角坐标系中，称点为的“k值友好点”.例如，点是点的“k值友好点”.
（1）在，，，四点中，点　 　是点的“k值友好点”.
（2）设点是点的“k值友好点”
①当时，求k的值.
②若点A坐标为，当时，请直接写出点Q的坐标以及k的值.
【答案】（1）；
（2）解：①，
，
，
，
点是点的“k值友好点”，
，，
，
根据两点距离公式得：，
，
整理得：，
，即k的值为1；
②时，；
时，.
【知识点】坐标系中的两点距离公式；圆与四边形的综合
【解析】【解答】（1）设点（x，y）是点P（1，-1）的“k值友好点”，
∴x=k+2，y=-k+2，
∴x+y=4，
∴点（1，3）是点P（1，-1）的“k值友好点”.
故答案为：（1，3）；
（2）②∵设点是点的“k值友好点”，
由①：，，
∴x+y=4，即y=4-x，
∴点Q在直线y=4-x上.
以AP为对角线构造正方形ABPC，再分别以点B、C为圆心，AB为半径作圆，作直线y=4-x交两圆于点Q1、Q2，如图：
∴∠AQ1P=∠AQ2P=45°，
∴Q1、Q2是符合条件的点Q，
∵A(6，4)，P(1，-1)，
∴AB=BP=PC=AC=BQ1=CQ2=5，
∴B(1，4)，C(6，-1)，
∵Q(x，y)，
∴当点Q在Q1时，有，
∵y=4-x，
∴，
解得x1=-3，x2=4（舍去），
∴y=4-(-3)=7，
∴点Q的坐标为(-3，7)，
∵Q是P的“k值友好点"，
∴-3=k+2，
∴k=-5，
当点Q在Q2时，有，
∵y=4-x，
∴，
解得x1=9，x2=2（舍去），
∴y=4-9=-5，
∴点Q的坐标为(9，-5)，
∵Q是P的“k值友好点"，
∴9=k+2，
∴k=7，
综上所述，时，，时，.
【分析】（1）设点（x，y）是点P（1，-1）的“k值友好点”，根据“k值友好点”的定义得x=k+2，y=-k+2，进而有x+y=4，最后通过x，y的关系即可判断出符合题意的点；
（2）根据点P的坐标求出OP的值，得，然后根据“k值友好点”的定义得x=k+2，
y=-k+2，从而有，接下来利用两点距离公式求出PQ的值，进而列出关于k的方程，最后解方程求出k的值即可；
（3）以AP为对角线构造正方形ABPC，再分别以点B、C为圆心，AB为半径作圆，作直线y=4-x交两圆于点Q1、Q2，利用两点距离公式列出关于x的方程，解方程求出点Q的坐标，得k的值.
27．（2024·常州模拟） 如图，抛物线，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右侧），交y轴于点C，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.
（1）求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式.
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，与相交于点P.
①作轴，垂足为E，当时，求点P的横坐标.
②请求出的最大值.
【答案】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为
抛物线与抛物线关于原点成中心对称
抛物线的表达式为，即
令，则
，，，
令，则，
所在直线为
（2）解：①设点P为，，
轴，，，
，
点P在第一象限，点P的横坐标为.
②过点B、点D作y轴的平行线，分别交直线于点M、点N.
，
将代入得，
，，
要最大，就是要最大
设，则
最大为，即最大为.
【知识点】二次函数的最值；坐标系中的两点距离公式；线段的比；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求抛物线C1的顶点，再根据两抛物线图像关于原点成中心对称得抛物线C2的表达式，令x=0，y=0求出点A、B、C的坐标，从而得直线AC的函数表达式；
（2） ①设点 点P为， 利用两点距离公式得关于x的方程 ，解方程求出x的值，即可求解；
② 过点B、点D作y轴的平行线，分别交直线于点M、点N，由平行线分线段成比例定理得，可知取得最大值时，DN最大，设， 则 ，
从而得，最后利用二次函数求最值的方法得DN的最大值，即可求解.
28．（2024·常州模拟） 如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，D是边的中点，E是线段上的动点（不与点A、点D重合），边关于对称的线段为，连接.
（1）当为等腰直角三角形时，的大小为　 　.
（2）图2，延长，交射线于点G.
①请问的大小是否变化 如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由.
②若，则的面积最大为_▲_，此时_▲_.
【答案】（1）15
（2）解：①∠G的大小不变，∠G=30°，
设∠ABE=x，
∵∠ABC=120°，
∴∠EBC=120°-x，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴∠EBF=∠EBC=120°-x，BF=BC
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=120°-x-x=120°-2x，
∵AB=BC，
∴AB=BF，
∴，
又∵∠BAF是外角，
∴∠G=∠BAF-∠ABE=30°+x-x=30°；
②，
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：（1）根据题意得AB=BC=BF，
∵为等腰直角三角形，
∴∠ABF=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABF+∠ABC=90°+120°=210°，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴，
∴∠ABE=∠EBF-∠ABF=105°-90°=15°，
故答案为：15°；
（2）②∵∠G=30°，AB=BC=BF=4，
∴点G在以BF为弦，该弦所对圆周角为30°的圆弧上运动，
如图，作，连接BO，FO，过点O作OH⊥BF于H，延长HO交于G'，
∵BO=FO，
∴OH垂直平分BF，
∴G'F=G'B，∠OHF=90°，，FH=BH=2，
∴当点G运动到点G'时，的面积最大，
∵∠G=∠BG'F=30°，
∴∠FG'O=∠BG'O=15°，
∵OG'=OF，
∴∠OFG'=∠FG'O=15°，
∴∠FOH=30°，
∴OF=2FH=OG'=4，
∴，
∴，
∴，
∴的面积最大为，
此时点E位置如图所示，过点E作EM⊥AB于M，
∴∠EMB=∠AME=90°，
∵GF=GB，∠G=30°，
∴∠F=∠GBF=75°，
∵AB=BF，
∴∠F=∠FAB=75°，
∴∠ABF=30°，
∴∠EBM=45°，
∴∠MEB=45°=∠EBM，
∴MB=ME，
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠MAE=30°，
∴AE=2ME，
∴，
∴，
∵AB=4，
∴，
∴，
∴.
故答案为：；.
【分析】（1）根据题意得∠ABF=90°，从而有∠ABF+∠ABC=210°，再由轴对称的性质得∠EBF的度数，即可求解；
（2） ①设∠ABE=x，然后求出∠EBC的度数，再根据轴对称的性质得∠EBF=∠EBC，BF=BC=AB，接下来根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAF的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠G的度数；
②根据题意可知点G在以BF为弦，该弦所对圆周角为30°的圆弧上运动，先作，连接BO，FO，过点O作OH⊥BF于H，延长HO交于G'.根据等腰三角形的三线合一可知OH垂直平分BF，得G'F=G'B，此时若G与G'重合，则的面积最大.接下来求出∠FHO=30°，利用含30°的直角三角形的性质得OF的长，再利用勾股定理求出OH的长，进而求出G'H的长，最后利用三角形面积公式进行求解即可；
过点E作EM⊥AB于M，先利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠MEB=∠EBM，得MB=ME，接下来求∠MAE=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质得AE=2ME，进而利用勾股定理得，然后有，求得ME的值即可求出AE的值.
1 / 1江苏省常州市2024年中考数学一模试题
1．（2024·常州模拟）的倒数是（　　）
A．4 B． C． D．
2．（2024·常州模拟）截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·常州模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·常州模拟）如图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，则该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·常州模拟）一元二次方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
6．（2024·常州模拟）当时，代数式的值为6，那么当时，这个代数式的值是（　　）
A．1 B． C．6 D．
7．（2024·常州模拟）如图，A、B、C、D、E、F为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（　　）
A． B．1 C． D．
8．（2024·常州模拟）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·常州模拟）4的算术平方根是　 　．
10．（2024·常州模拟）要使有意义，则x的取值范围是　 　.
11．（2024·常州模拟）分解因式： 　 　．
12．（2024·常州模拟）点关于直线对称的点的坐标是　 　.
13．（2024·常州模拟）已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　.
14．（2024·常州模拟）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积　 　.
15．（2024·常州模拟）中，，，则的值是　 　.
16．（2024·常州模拟）如图，是的直径，是的切线，交于点D，连结，若，则的大小为　 　.
17．（2024·常州模拟）如图，正方形的边长为10，，，，则线段的长为　 　.
18．（2024·常州模拟）如图，正方形的边长为6，O为正方形对角线的中点，点E在边上，且，点F是边上的动点，连接，点G为的中点，连接、，当时，线段的长为　 　.
19．（2024·常州模拟）计算
（1）
（2）
20．（2024·常州模拟）解方程和不等式
（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．（2024·常州模拟）为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩进行整理、描述和分析，如图1，将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标.
图1 图2
（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是　 　分.
（2）两次成绩均达到或高于90分的学生有　 　个
（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：，，，，，，，）
在的成绩分别是77，77，78，78，78，79，79，则这30位学生两次活动平均成绩的中位数是　 　.
（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.
22．（2024·常州模拟） 2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀.
（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是　 　；
（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.
23．（2024·常州模拟） 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
24．（2024·常州模拟） 《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两 ”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子
（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法 列出所有可能的购买方案。
25．（2024·常州模拟） 如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点A.
（1）求a和k的值
（2）过点B作轴，与双曲线交于点C，求的面积.
26．（2024·常州模拟）定义：若实数a、b、、满足、（k为常数，，则在平面直角坐标系中，称点为的“k值友好点”.例如，点是点的“k值友好点”.
（1）在，，，四点中，点　 　是点的“k值友好点”.
（2）设点是点的“k值友好点”
①当时，求k的值.
②若点A坐标为，当时，请直接写出点Q的坐标以及k的值.
27．（2024·常州模拟） 如图，抛物线，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右侧），交y轴于点C，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.
（1）求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式.
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，与相交于点P.
①作轴，垂足为E，当时，求点P的横坐标.
②请求出的最大值.
28．（2024·常州模拟） 如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，D是边的中点，E是线段上的动点（不与点A、点D重合），边关于对称的线段为，连接.
（1）当为等腰直角三角形时，的大小为　 　.
（2）图2，延长，交射线于点G.
①请问的大小是否变化 如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由.
②若，则的面积最大为_▲_，此时_▲_.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数为-4.
故答案为：B.
【分析】根据互为倒数的两数之积为1进行求解.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：664500=6.645×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，其表现形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，根据此即可求解.
3．【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、幂的乘方法则进行计算即可.
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察图形可知，主视图第一层为3个小正方形，第二层在左上角有1个小正方形，ABC不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据简单组合体的三视图进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=-3，c=1，
∴b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】先求出b2-4ac的值，再根据一元二次方程根的判别式进行求解.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与判别式的关系：b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；b2-4ac<0时，方程没有实数根.
6．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6，
∴8a+2b+1=6，
∴8a+2b=5，
∴当x=-2时，ax3+bx+1=-8a-2b+1=-(8a+2b)+1=-5+1=-4.
故答案为：D.
【分析】把x=2代入代数式，整理得8a+2b=5，再把x=-2代入代数式，整理得-(8a+2b)+1，最后整体代入求解即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；概率的意义；圆的对称性
【解析】【解答】解：∵A、B、C、D、E、F为的六等分点，
∴根据圆的对称性可知甲乙两位同学所画的三角形一定全等，
∴甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1.
故答案为：B.
【分析】根据圆的对称性、全等三角形的判定方法、概率的定义进行求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：∵根据题意可知小丽的行驶情况为：加速行驶→匀速行驶→减速行驶到服务区→加油→加速行驶→匀速行驶，
∴ACD不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先根据题意得小丽的行驶情况，然后观察四个选项，横轴代表行驶时间，纵轴代表行驶速度，再根据行驶情况逐一判断即可.
9．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
10．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴3x-1≥0，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0进行求解.
11．【答案】 。
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 。
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可。
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图，
点P(2，-3)关于直线x=1对称的点的坐标为(0，-3).
故答案为：(0，-3).
【分析】将点P在平面直角坐标系中找出来，再观察坐标系进行求解.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，当x>0时，y随x的增大而减小，
∴m-5>0，
∴m>5.
故答案为：m>5.
【分析】根据反比例函数的增减性进行求解.
14．【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为，
∴这个扇形的面积.
故答案为：π.
【分析】根据扇形的面积公式：（n是扇形圆心角度数数值，r是扇形半径）进行求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，，
∴设BC=4x，AB=5x，
∴根据勾股定理得，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意设BC=4x，AB=5x，利用勾股定理求得AC=3x，最后利用三角函数的定义进行求解.
16．【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AC是的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=26°，
∴∠AOC=180°-90°-26°=64°，
∴.
故答案为：32.
【分析】根据切线的性质得∠OAC的度数，再利用三角形内角和定理得∠AOC的度数，最后根据圆周角定理进行求解.
17．【答案】75
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH⊥AE于H，
∴∠FHB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为10，
∴AB=BC=10，∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形FHBC为矩形，
∴HF=BC=10，HB=CF，HF∥CB，
∵CF=2，GE∥CB，
∴HB=CF=2，GE∥HF，
∴AH=AB-HB=10-2=8，，
∴，
∵BE=5AB，
∴BE=5×10=50，
∴AE=AB+BE=10+50=60，
∴，
∴GE=75.
故答案为：75.
【分析】过点F作FH⊥AB于H，先根据正方形的性质证四边形FHBC为矩形，得HF=BC=10，HB=CF=2，HF∥CB，进而得AH=AB-HB=8，GE∥HF，接下来证得，从而有，然后由BE=5AB得AE=AB+BE=60，最后代入HF、AH、AE的值进行求解即可.
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图， 连接BD，OE，OF，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为6，点O为对角线AC的中点，
∴O是BD中点，BC=6，∠ABC=90°，OB⊥OC，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴∠BOC=90°，
∵点G为EF的中点，BG=OG，
∴BG=EG=FG=OG，
∴∠GEO=∠GOE，∠GFO=∠GOF，
∵∠GEO+∠GOE+∠GFO+∠GOF=180°，
∴2（∠GOE+∠GOF）=2∠EOF=180°，
∴∠EOF=90°，
又∵∠BOC=90°，
∴∠BOE+∠BOF=∠BOF+∠COF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在和中，
，
∴，
∴BE=CF，
∵BE=2，
∴CF=2，
∴BF=BC-CF=6-2=4，
在中，根据勾股定理得.
故答案为：.
【分析】连接BD，OE，OF，根据正方形性质得O是BD中点，BC=6，∠ABC=90°，从而得OB=OC，OB⊥OC，∠OBE=∠OCF=45°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得BG=EG=FG=OG，接下来根据等腰三角形性质、三角形内角和定理求出∠EOF=90°，进而求得∠BOE=∠COF，据此证出，得BE=CF=2，从而有BF=BC-CF=4，最后利用勾股定理求出EF的长．
19．【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得，
检验：当x=2时，x-3≠0，
是原方程的解；
（2）解：∵，
∴解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的解法步骤进行解答；
（2）根据解一元一次不等式组的解法步骤进行解答.
21．【答案】（1）75
（2）7
（3）79
（4）解：（人），
答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人.
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）观察图1得，该生第二次成绩是75分，
故答案为：75；
（2）观察图1，横纵坐标都大于等于90的点有7个，
故答案为：7；
（3）∵75≤x<80的成绩分别是77，77，78，78，78，79，79，
且观察图2可知75分以下人数有2+5+2=9（人）
∴这30名学生两次活动平均成绩的中位数是，
故答案为：79.
【分析】（1）观察图1，依据”第一次成绩是70分“找到表示学生甲的点进行求解；
（2）观察图1，找出横纵坐标都大于等于90的点的个数即可求解；
（3）由中位数的定义即可求解；
（4）观察图2得到这30名学生两次活动平均成绩不低于90分的学生人数的比，再利用样本估计总体即可求解.
22．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
　 3 6 7 9
3 （3，3） （3，6） （3，7） （3，9）
6 （6，3） （6，6） （6，7） （6，9）
7 （7，3） （7，6） （7，7） （7，9）
9 （9，3） （9，6） （9，7） （9，9）
共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种，
∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，共有4种等可能的情况，其中抽到这张牌是奇数的有3种，
∴抽到这张牌是奇数的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
　 3 6 7 9
3 （3，3） （3，6） （3，7） （3，9）
6 （6，3） （6，6） （6，7） （6，9）
7 （7，3） （7，6） （7，7） （7，9）
9 （9，3） （9，6） （9，7） （9，9）
共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种，
∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为.
【分析】（1）根据题意得出所有等可能的结果数，再得到其中抽到奇数的结果数，最后利用概率公式进行计算即可；
（2）根据列表法得出所有等可能的结果数，再观察表格得他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果数，最后利用概率公式进行求解.
23．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
24．【答案】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买m头牛，则购买只羊，
依题意得，
解得：，
为整数，
有3种方案：①购买7头牛，13只羊；②购买8头牛，12只羊；③购买9头牛，11只羊.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
25．【答案】（1）解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，过A作AE⊥x轴于点E，
∴∠BDO=∠AEO=90°，
∴∠BOD+∠DBO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOE=90°，
∴∠DBO=∠AOE，
∴，
，
反比例函数的图像过点，
，
∴，
∴，
，，
∵，
，
，，
点A的坐标为，
∴.
（2）解： 设AE与OC相交于点F，
∵BC∥x轴，B(-2，1)，
，将代入中，得，
点C的坐标为，
所在的直线为，
∵A(2，4)，
∴点F的横坐标为2，将x=2代入，得，
∴，
，
.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；锐角三角函数的定义；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，过A作AE⊥x轴于点E，根据“一线三垂直”证出，根据相似三角形的性质得，由点B的坐标求出BD、OD的值，再通过三角函数的定义得相似比的值，从而求出OE、AE的值，得点A的坐标，即可求k的值；
（2）设AE与OC相交于点F，由BC∥x轴，得点C(8，1)，从而求直线OC的解析式，得，进而求出AF的长，根据，利用三角形面积公式代入数值进行求解即可.
26．【答案】（1）；
（2）解：①，
，
，
，
点是点的“k值友好点”，
，，
，
根据两点距离公式得：，
，
整理得：，
，即k的值为1；
②时，；
时，.
【知识点】坐标系中的两点距离公式；圆与四边形的综合
【解析】【解答】（1）设点（x，y）是点P（1，-1）的“k值友好点”，
∴x=k+2，y=-k+2，
∴x+y=4，
∴点（1，3）是点P（1，-1）的“k值友好点”.
故答案为：（1，3）；
（2）②∵设点是点的“k值友好点”，
由①：，，
∴x+y=4，即y=4-x，
∴点Q在直线y=4-x上.
以AP为对角线构造正方形ABPC，再分别以点B、C为圆心，AB为半径作圆，作直线y=4-x交两圆于点Q1、Q2，如图：
∴∠AQ1P=∠AQ2P=45°，
∴Q1、Q2是符合条件的点Q，
∵A(6，4)，P(1，-1)，
∴AB=BP=PC=AC=BQ1=CQ2=5，
∴B(1，4)，C(6，-1)，
∵Q(x，y)，
∴当点Q在Q1时，有，
∵y=4-x，
∴，
解得x1=-3，x2=4（舍去），
∴y=4-(-3)=7，
∴点Q的坐标为(-3，7)，
∵Q是P的“k值友好点"，
∴-3=k+2，
∴k=-5，
当点Q在Q2时，有，
∵y=4-x，
∴，
解得x1=9，x2=2（舍去），
∴y=4-9=-5，
∴点Q的坐标为(9，-5)，
∵Q是P的“k值友好点"，
∴9=k+2，
∴k=7，
综上所述，时，，时，.
【分析】（1）设点（x，y）是点P（1，-1）的“k值友好点”，根据“k值友好点”的定义得x=k+2，y=-k+2，进而有x+y=4，最后通过x，y的关系即可判断出符合题意的点；
（2）根据点P的坐标求出OP的值，得，然后根据“k值友好点”的定义得x=k+2，
y=-k+2，从而有，接下来利用两点距离公式求出PQ的值，进而列出关于k的方程，最后解方程求出k的值即可；
（3）以AP为对角线构造正方形ABPC，再分别以点B、C为圆心，AB为半径作圆，作直线y=4-x交两圆于点Q1、Q2，利用两点距离公式列出关于x的方程，解方程求出点Q的坐标，得k的值.
27．【答案】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为
抛物线与抛物线关于原点成中心对称
抛物线的表达式为，即
令，则
，，，
令，则，
所在直线为
（2）解：①设点P为，，
轴，，，
，
点P在第一象限，点P的横坐标为.
②过点B、点D作y轴的平行线，分别交直线于点M、点N.
，
将代入得，
，，
要最大，就是要最大
设，则
最大为，即最大为.
【知识点】二次函数的最值；坐标系中的两点距离公式；线段的比；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求抛物线C1的顶点，再根据两抛物线图像关于原点成中心对称得抛物线C2的表达式，令x=0，y=0求出点A、B、C的坐标，从而得直线AC的函数表达式；
（2） ①设点 点P为， 利用两点距离公式得关于x的方程 ，解方程求出x的值，即可求解；
② 过点B、点D作y轴的平行线，分别交直线于点M、点N，由平行线分线段成比例定理得，可知取得最大值时，DN最大，设， 则 ，
从而得，最后利用二次函数求最值的方法得DN的最大值，即可求解.
28．【答案】（1）15
（2）解：①∠G的大小不变，∠G=30°，
设∠ABE=x，
∵∠ABC=120°，
∴∠EBC=120°-x，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴∠EBF=∠EBC=120°-x，BF=BC
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=120°-x-x=120°-2x，
∵AB=BC，
∴AB=BF，
∴，
又∵∠BAF是外角，
∴∠G=∠BAF-∠ABE=30°+x-x=30°；
②，
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：（1）根据题意得AB=BC=BF，
∵为等腰直角三角形，
∴∠ABF=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABF+∠ABC=90°+120°=210°，
∵边BC关于BE对称的线段为BF，
∴，
∴∠ABE=∠EBF-∠ABF=105°-90°=15°，
故答案为：15°；
（2）②∵∠G=30°，AB=BC=BF=4，
∴点G在以BF为弦，该弦所对圆周角为30°的圆弧上运动，
如图，作，连接BO，FO，过点O作OH⊥BF于H，延长HO交于G'，
∵BO=FO，
∴OH垂直平分BF，
∴G'F=G'B，∠OHF=90°，，FH=BH=2，
∴当点G运动到点G'时，的面积最大，
∵∠G=∠BG'F=30°，
∴∠FG'O=∠BG'O=15°，
∵OG'=OF，
∴∠OFG'=∠FG'O=15°，
∴∠FOH=30°，
∴OF=2FH=OG'=4，
∴，
∴，
∴，
∴的面积最大为，
此时点E位置如图所示，过点E作EM⊥AB于M，
∴∠EMB=∠AME=90°，
∵GF=GB，∠G=30°，
∴∠F=∠GBF=75°，
∵AB=BF，
∴∠F=∠FAB=75°，
∴∠ABF=30°，
∴∠EBM=45°，
∴∠MEB=45°=∠EBM，
∴MB=ME，
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠MAE=30°，
∴AE=2ME，
∴，
∴，
∵AB=4，
∴，
∴，
∴.
故答案为：；.
【分析】（1）根据题意得∠ABF=90°，从而有∠ABF+∠ABC=210°，再由轴对称的性质得∠EBF的度数，即可求解；
（2） ①设∠ABE=x，然后求出∠EBC的度数，再根据轴对称的性质得∠EBF=∠EBC，BF=BC=AB，接下来根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAF的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠G的度数；
②根据题意可知点G在以BF为弦，该弦所对圆周角为30°的圆弧上运动，先作，连接BO，FO，过点O作OH⊥BF于H，延长HO交于G'.根据等腰三角形的三线合一可知OH垂直平分BF，得G'F=G'B，此时若G与G'重合，则的面积最大.接下来求出∠FHO=30°，利用含30°的直角三角形的性质得OF的长，再利用勾股定理求出OH的长，进而求出G'H的长，最后利用三角形面积公式进行求解即可；
过点E作EM⊥AB于M，先利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠MEB=∠EBM，得MB=ME，接下来求∠MAE=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质得AE=2ME，进而利用勾股定理得，然后有，求得ME的值即可求出AE的值.
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