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专题1.1 集合的概念【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 集合概念的理解】 1
【题型2 判断是否为同一集合】 3
【题型3 集合中元素特性的求参问题】 4
【题型4 判断元素与集合的关系】 6
【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 7
【题型6 确定集合中的元素】 8
【题型7 用列举法表示集合】 10
【题型8 用描述法表示集合】 12
【题型9 集合中的新定义问题】 13
【知识点1 集合的概念】
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【题型1 集合概念的理解】
【例1】（2022·高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流
【解题思路】根据集合的知识可选出答案.
【解答过程】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；
接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；
未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；
地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；
故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④
【解题思路】根据集合的概念及性质依次判断即可得到答案.
【解答过程】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合.
对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，
对③，方程，，方程无实根，集合为空集，
对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，
故选：B.
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解题思路】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【解答过程】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
【变式1-3】（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若，则
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.
【解答过程】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；
②自然数集N中最小的元素是0，正确；
③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确，
④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，
故选：C．
【题型2 判断是否为同一集合】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解题思路】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；
【解答过程】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误；
B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确；
C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误；
故选：B.
【变式2-1】（2023·高三课时练习）设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）.
【解答过程】对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，则
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同
故选：B.
【变式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解题思路】根据集合元素的性质可判断.
【解答过程】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；
对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；
对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；
对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确．
故选：B．
【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【解题思路】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案
【解答过程】集合中的元素具有无序性，故A正确；
是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合，集合，故C错误；
集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.
故选：A.
【题型3 集合中元素特性的求参问题】
【例3】（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【解答过程】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D.
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）数集中的x不能取的数值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用集合中的元素具有互异性的性质列出关于x的不等式，解之即可得到x不能取的数值的集合．
【解答过程】由解得；由解得．
∴x不能取的值的集合为．
故选：C．
【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）在集合中，的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解题思路】首先排除不可以取的值，可得时不符题意，当时满足题意，即可得解.
【解答过程】首先确定不可以取的值，由可得或，
由可得，
当可得，
所以的值不能取-1，，，3，
当时有可以取，
故选：A.
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【解答过程】因为，所以.
当时，，得；
当时，则.
故实数x的取值集合为.
故选：B.
【知识点2 元素与集合的关系】
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
【注】符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法
【题型4 判断元素与集合的关系】
【例4】（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（　　）
①；② ；③；④.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解题思路】判断数所在数域，得到正确答案.
【解答过程】为实数，①正确；是无理数，，②正确；
是自然数，③正确；，④错误，
故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.
【解答过程】由题意知集合，
故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，
故选：A.
【变式4-2】（2023春·福建龙岩·高一校考开学考试）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【解题思路】根据数的分类一一判断即可.
【解答过程】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；
是无理数，所以，所以②错误；
不是正整数，所以，所以③正确；
，所以④正确；
是无理数，所以，所以⑤正确；
，所以⑥错误.
故选:A.
【变式4-3】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据元素与集合的关系求解.
【解答过程】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
【题型5 根据元素与集合的关系求参数】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【解题思路】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.
【解答过程】∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．
故选：D．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【解题思路】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.
【解答过程】，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.
【解答过程】由题意可得，解得，
故选：C.
【变式5-3】（2022秋·高一单元测试）已知集合，，则集合中所有的元素之和为（ ）
A．0 B．2 C． D．
【解题思路】根据集合的定义求出集合后可得结论．
【解答过程】，，
①当时，，
时，，；
时，，满足条件；
②当时，，，满足条件；
③当时，，，满足条件；
④当时，，，满足条件．
从而得到，
所以集合中所有元素之和为．
故选：D．
【题型6 确定集合中的元素】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【解题思路】根据元素与集合的关系判断．
【解答过程】集合有两个元素：和，
故选：B.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【解题思路】根据的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数．
【解答过程】当时，有，6个元素；
当时，有，5个元素；
当时，有，4个元素；
当时，有，3个元素；
当时，有，2个元素；
当时，有，1个元素，
综上，一共有21个元素．
故选：B．
【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．不存在
【解题思路】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.
【解答过程】因为关于x的方程的解集只有一个元素，
所以，解得.
故选：C.
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·高二校考阶段练习）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【解题思路】根据题意列式求得的值，即可得出答案.
【解答过程】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
【知识点3 集合的表示法】
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【题型7 用列举法表示集合】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.
（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【解题思路】（1）直接将大于1且小于6的整数，写出集合；
（2）求得方程x2－9＝0的实数根，得到集合；
（3）联立y＝x＋3与y＝－2x＋6，求得交点，得到集合.
【解答过程】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
（2）方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}.
（3）由,得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，
所以D＝{(1，4)}.
【变式7-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．
【解题思路】当时化方程为．由判别式为0得，当时，当时，验证有唯一实数解，由此能求出结果．
【解答过程】当时，化方程为．
方程有唯一实数根，
由判别式为零可得，得，
此时的解为，符合题意．
当时，有唯一实数解．
当时，有唯一实数解．
，，．
【变式7-2】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
【解题思路】根据题意求得元素，在用列举法即可表示（1）（2）（3）.
【解答过程】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，
所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，
所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}.
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，
故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}.
【变式7-3】（2023·江苏·高一假期作业）若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【解题思路】集合A={x∣}中只有一个元素，即方程只有一个解，再讨论当时，当时方程的解的个数，再求集合即可.
【解答过程】解：由集合A={x∣}中只有一个元素，
即方程只有一个解，
①当时，方程为，解得，即；
②当时，方程只有一个解，则，即，
即方程为，解得，即，
综合①②可得：实数k的值为0或1，当时，；当，.
【题型8 用描述法表示集合】
【例8】（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【解题思路】利用集合的描述法即得.
【解答过程】（1）
奇数组成的集合为；
（2）
平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为.
【变式8-1】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【解题思路】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质.
【解答过程】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；
（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；
（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．
【变式8-2】（2022秋·陕西安康·高一校考阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【解题思路】根据题意逐项代入分析即可求解.
【解答过程】（1）方程的解集为.
（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.
（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，.
（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．
【变式8-3】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；
（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【解题思路】根据描述法的表示形式，（1），（3）表示的是点集，都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而可表示出集合，对于（2），（4）都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而表示出这个集合
【解答过程】（1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
（3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.
（4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
【题型9 集合中的新定义问题】
【例9】（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【解题思路】由集合的新定义计算即可.
【解答过程】由题设知，
所有元素之和为，
故选：A.
【变式9-1】（2023·江苏·高一假期作业）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解题思路】根据定义结合已知条件，对分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解
【解答过程】（1）m，n都是正偶数时：
m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法；
∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素；
（2）m，n都为正奇数时：
m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法；
∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素；
（3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时：
当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素；
∴集合M的元素个数是3+4+2=9．
故选：B．
【变式9-2】（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义若则中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【解题思路】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可.
【解答过程】因为且，
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
综上可知：，所以集合中元素个数为5，
故选：D.
【变式9-3】（2022·上海·高一专题练习）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ）．
A．77 B．49 C．45 D．30
【解题思路】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数.
【解答过程】集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示．
集合中有25个元素（即25个点），即下图中正方形内部及正方形边上的整点．
所以或或或或或或，共7个值；
所以或或或或或或，共7个值，
所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）．
故选C.专题1.1 集合的概念【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 集合概念的理解】 1
【题型2 判断是否为同一集合】 2
【题型3 集合中元素特性的求参问题】 3
【题型4 判断元素与集合的关系】 3
【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 4
【题型6 确定集合中的元素】 4
【题型7 用列举法表示集合】 5
【题型8 用描述法表示集合】 6
【题型9 集合中的新定义问题】 7
【知识点1 集合的概念】
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【题型1 集合概念的理解】
【例1】（2022·高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若，则
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 判断是否为同一集合】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式2-1】（2023·高三课时练习）设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【题型3 集合中元素特性的求参问题】
【例3】（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）数集中的x不能取的数值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）在集合中，的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 元素与集合的关系】
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
【注】符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法
【题型4 判断元素与集合的关系】
【例4】（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（　　）
①；② ；③；④.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023春·福建龙岩·高一校考开学考试）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【变式4-3】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 根据元素与集合的关系求参数】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022秋·高一单元测试）已知集合，，则集合中所有的元素之和为（ ）
A．0 B．2 C． D．
【题型6 确定集合中的元素】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．不存在
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·高二校考阶段练习）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【知识点3 集合的表示法】
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【题型7 用列举法表示集合】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.
（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【变式7-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．
【变式7-2】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
【变式7-3】（2023·江苏·高一假期作业）若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【题型8 用描述法表示集合】
【例8】（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【变式8-1】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【变式8-2】（2022秋·陕西安康·高一校考阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【变式8-3】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；
（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【题型9 集合中的新定义问题】
【例9】（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【变式9-1】（2023·江苏·高一假期作业）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式9-2】（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义若则中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【变式9-3】（2022·上海·高一专题练习）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ）．
A．77 B．49 C．45 D．30

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