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专题1.6 集合与常用逻辑用语全章六类必考压轴题
【人教A版（2019）】
1．（2023·河北衡水·衡水市校考三模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据并集及补集运算求解即可.
【解答过程】由已知得，全集，
故 ．
故选：C.
2．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由可知集合中的元素，再由即可求得集合.
【解答过程】由知，
又因为，
所以 .
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为 ．
【解题思路】由给定条件求出集合M，再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得．
【解答过程】由题意，集合，
则Venn图中阴影部分表示的集合是．
故答案为：.
4．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知集合,,求：
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；
（2）由A与B，求出两集合的并集，找出并集的补集即可．
【解答过程】（1）解：因为,，
所以；
（2）解：因为,,
所以，
所以或．
5．（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）设集合．求：
(1)；
(2)；
(3)
【解题思路】由集合的交并补混合运算直接得出答案.
【解答过程】（1）由集合交集的定义，
；
（2）由集合并集和补集的定义，
，
或；
（3）由集合补集和交集的定义，
或，
或，
或.
1．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.
【解答过程】由于，所以，
所以实数m的取值集合为.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.
【解答过程】因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
3．（2023·高一单元测试）已知，，且 ，则a的取值范围为 ．
【解题思路】求得集合，根据 ，分和两种情况讨论，即可求解.
【解答过程】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足 ，
当时，要使得 ，则或，
当时，可得，即，此时，满足 ；
当时，可得，即，此时，不满足 ，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
4．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.
【解答过程】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
5．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少
(2)若，则实数a的取值范围是多少
(3)若B A，则实数a的取值范围是多少
【解题思路】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【解答过程】（1）因为集合，，
所以.
（2）因为，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B A，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.
1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据并集定义，结合数轴即可得到实数的取值范围.
【解答过程】因为,所以，解得．
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）设集合或，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求得，再结合集合及，运算即可得解.
【解答过程】由集合或，则，
又集合且，则，
故选：B.
3．（2022秋·高一课时练习）已知，，且，则的值等于 ．
【解题思路】根据，可得，即可解得p的值，进而可求得集合，又根据，可得，即，即可解得q的值，即可得答案.
【解答过程】因为，
所以，则，解得，
所以，解得，
又因为，
所以，即，
所以，解得，
所以，
故答案为：.
4．（2023·全国·高一假期作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若U＝R，，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）题意说明，代入中方程求得值并检验是否满足题意；
（2）题意说明，由集合的包含关系求解；
（3）题意说明，，只要中元素1和2不是集合中方程的解，即可得出结论，说明集合中方程可以无实数解．
【解答过程】（1），或，
∴,
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3．
当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上可得，a的值为－1或－3．
（2）∵A∪B＝A，∴B A．
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，，满足条件；
②当，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．
综上可知，a的取值范围是a≤－3．
（3）∵，∴，∴．
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当，即a<－3时，，满足条件．
②当，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．
③当，即a>－3时，只需且即可．
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；
将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得，∴a≠－1，a≠－3且，
综上，a的取值范围是且且．
5．（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知，.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解题思路】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；
选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；
选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合.
【解答过程】（1）解：当时，，
又因为，故.
（2）解：若选①，当时，，则，满足，
当时，，若，则或，解得或.
综上所述，；
若选②，，则.
当时，，满足；
当时，，因为，则或，解得或.
综上所述，；
若选③，当时，，满足；
当时，则，因为，则或，解得或.
综上所述，.
1．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知集合，集合.
(1)若，求，；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）代入若再求解交集并集即可；
（2）根据必要条件满足的集合包含关系，列出区间端点满足的不等式求解即可.
【解答过程】（1）若则，，故，
（2），若是的必要条件，则或为空集.
当时，解得；
当为空集时，即.
综上有.
2．（2023·全国·高一专题练习）设，已知集合，．
(1)当时，求实数的范围；
(2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【解题思路】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.
【解答过程】（1）由题可得，则；
（2）由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得
综上：.
3．（2023秋·安徽芜湖·高一校考期末）设全集是，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)条件，条件，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）分和讨论，特别是时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；
（2）根据q是p的充分不必要条件得到 ，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.
【解答过程】（1）若,
当时，，解得，
当时，，解得，
综合得，
（2）条件，条件，若q是p的充分不必要条件，
则 ，且等号不能同时成立，
解得.
4．（2023春·江西上饶·高二阶段练习）已知集合，，.
(1)若，求集合；
(2)在，两个集合中任选一个，补充在下面问题中，，___________，求使p是q的必要不充分条件的的取值范围.
【解题思路】（1）将代入集合，求得，利用集合的运算法则即可；
（2）若选集合：先计算出，根据条件得出集合是集合的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案。
若选集合：先计算出，根据条件得出集合是集合的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案。
【解答过程】（1）解（1）当时，可化为，
解得， ，
又，
.
（2）（2）若选集合B：
由，得，
，∴
由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集.
，解得，m的取值范围为.
若选集合：
由，得，
由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，
，解得，m的取值范围为.
5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）化简集合与之后求二者的并集（2）先判断集合与的关系，再求的取值范围
【解答过程】（1）当时，集合，，
所以；
（2）若选择①A∪B＝B，则，
因为，所以，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
若选择②，““是“”的充分不必要条件，则 ，
因为，所以， 又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
若选择③，，
因为，，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是．
1．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合二次函数的性质来求得的取值范围.
【解答过程】依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B.
2．（2023春·四川宜宾·高二校考期末）已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【解题思路】利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.
【解答过程】因为命题p：为真命题，
所以解得，
结合选项可得实数a的值不能是，
故选:D.
3．（2023·高一课时练习）已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ．
【解题思路】先根据命题的真假求出的范围，取交集可得答案.
【解答过程】当为真时，；
当为真时，，即；
因为命题p和都是真命题，所以且或.
故答案为：.
4．（2023·高一课时练习）命题：“，”，命题：“，”，若和中至少有一个是假命题，求实数的取值范围．
【解题思路】先求出和均为真命题时的实数的取值范围，再利用补集求出符合题意的实数的取值范围．
【解答过程】若是真命题，则对于恒成立，所以，
若是真命题，则关于的方程有实数根，
所以，即，
若和同时为真命题，则，所以，
所以当和中至少有一个是假命题时，有．
5．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知命题p存在实数，使成立．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题任意实数，使恒成立，如果命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由存在实数，使成立得△，得实数的取值范围；
（2）由对勾函数单调性得，得，由已知得假假，两范围的补集取交集即可．
【解答过程】（1）：存在实数，使成立△或，
实数的取值范围为，，；
（2）：任意实数，，使恒成立，
，，，，
命题“或”为假命题，假假，
，，，，
实数的取值范围．
1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
【解题思路】首先判断出，对列不等式计算求解可得的取值范围.
【解答过程】由于命题：“，”是真命题，
所以，
，则 解得
综上，的取值范围是.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.
【解答过程】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；
（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案
【解答过程】解：（1）①当B为空集时，成立.
②当B不是空集时，∵，，∴
综上①②，.
（2），使得，∴B为非空集合且.
当时，无解或，，
∴.
4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【解答过程】（1）因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
5．（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设全集，集合，非空集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若命题“，”是真命题，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；
（2）首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可；
【解答过程】（1）解：不等式，化简得．
∴
当时，集合，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∵命题“，”是真命题，
∴，
∴，解得：．
∴实数a的取值范围是．专题1.6 集合与常用逻辑用语全章六类必考压轴题
【人教A版（2019）】
1．（2023·河北衡水·衡水市校考三模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集，，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为 ．
4．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知集合,,求：
(1)；
(2)．
5．（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）设集合．求：
(1)；
(2)；
(3)
1．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高一单元测试）已知，，且 ，则a的取值范围为 ．
4．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
5．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少
(2)若，则实数a的取值范围是多少
(3)若B A，则实数a的取值范围是多少
1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合满足，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设集合或，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·高一课时练习）已知，，且，则的值等于_____．
4．（2023·全国·高一假期作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若U＝R，，求实数a的取值范围．
5．（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知，.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
1．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知集合，集合.
(1)若，求，；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围.
2．（2023·全国·高一专题练习）设，已知集合，．
(1)当时，求实数的范围；
(2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
3．（2023秋·安徽芜湖·高一校考期末）设全集是，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)条件，条件，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
4．（2023春·江西上饶·高二阶段练习）已知集合，，.
(1)若，求集合；
(2)在，两个集合中任选一个，补充在下面问题中，，___________，求使p是q的必要不充分条件的的取值范围.
5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
1．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川宜宾·高二校考期末）已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
3．（2023·高一课时练习）已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ．
4．（2023·高一课时练习）命题：“，”，命题：“，”，若和中至少有一个是假命题，求实数的取值范围．
5．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知命题p存在实数，使成立．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题任意实数，使恒成立，如果命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．
1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
5．（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设全集，集合，非空集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若命题“，”是真命题，求实数a的取值范围．

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