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专题1.2 集合间的基本关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 子集、真子集的概念】 2
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】 3
【题型3 判断两个集合是否相等】 5
【题型4 根据两个集合相等求参数】 6
【题型5 空集的判断及应用】 7
【题型6 Venn图表示集合的关系】 9
【题型7 集合间关系的判断】 11
【题型8 利用集合间的关系求参数】 12
【题型9 集合间关系中的新定义问题】 13
【知识点1 子集与真子集】
1．子集的概念
定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法
与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即；
(2)对于集合A,B,C，若，且，则
2．真子集的概念
定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集
记法 记作(或)
图示
结论 (1)且，则；
(2)，且，则
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，则AB.
【题型1 子集、真子集的概念】
【例1】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.
【解答过程】由于A是非空集合，所以，，，但是不是的真子集，故ACD正确，B错误，
故选：B.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【解题思路】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有个元素的集合的真子集的个数是个．
【解答过程】，集合A含有4个元素，真子集的个数是，
故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【解题思路】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【解答过程】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
【变式1-3】（2023·河南·统考模拟预测）已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
【解题思路】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.
【解答过程】因为，
所以集合的元素个数为，
因此集合的所有非空真子集的个数是，
故选：A.
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】
【例2】（2023·高一课时练习）满足的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用列举法求得集合的个数.
【解答过程】由于，
所以，共种可能.
故选：C.
【变式2-1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【解题思路】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】解：集合的非空子集有、、，
所以，
解得.
故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知非空集合M {1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.
【解答过程】∵a∈M，6-a∈M，M {1，2，3，4，5}，∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：
一个元素时，为{3}；
两个元素时，为{1，5}，{2，4}；
三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；
四个元素时，为{1，5，2，4}；
五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.
故选：C.
【变式2-3】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】由集合间的基本关系，对集合中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果.
【解答过程】根据题意可知，集合还应包含集合中除元素1，2之外的其他元素；
若集合中有三个元素，则可以是；
若集合中有四个元素，则可以是；
若集合中有五个元素，则可以是；即这样的集合的个数为7个.
故选：B.
【知识点2 集合相等与空集】
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B且B A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【题型3 判断两个集合是否相等】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.
【解答过程】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D.
【变式3-1】（2023秋·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用集合的意义及表示法逐项分析判断作答.
【解答过程】对于A，因，，即，A正确；
对于B，因集合的元素为有序数对，而的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；
对于C，因集合与都表示大于2的数形成的集合，即，C正确；
对于D，由列举法表示集合知正确，D正确.
故选：B.
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合和，那么（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用不等式的性质化简集合，再利用集合与集合间的关系可知，，从而得解.
【解答过程】由，得到，
所以，
又，所以，
故选：C.
【变式3-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
【解题思路】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.
【解答过程】对于集合，当时，，当时，，所以.
故选：C.
【题型4 根据两个集合相等求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考期末）已知实数集合若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.
【解答过程】由题意可知，两集合元素全部相等，
得到或又根据集合互异性，可知，
解得或（舍），所以
故选:A.
【变式4-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【解题思路】利用集合相等求解.
【解答过程】解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C.
【变式4-2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【解答过程】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【解题思路】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,由此求得p,q的值，进而求得集合B.
【解答过程】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选：.
【题型5 空集的判断及应用】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；
对于D中，不等式，解得，，不符合题意.
故选：C.
【变式5-1】（2023·全国·高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【解答过程】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解， .
故选:D.
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：
是的一个元素，故，①正确；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；
没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C.
【变式5-3】（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【解答过程】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
【题型6 Venn图表示集合的关系】
【例6】（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项.
【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N M，所以选B.
故选：B.
【变式6-1】（2023·高一课时练习）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求集合N,再判断集合间的关系
【解答过程】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.
故选：B.
【变式6-2】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由图可得，由选项即可判断.
【解答过程】解：由图可知：，
，
由选项可知：，
故选：D.
【变式6-3】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　)
①S∈U；②F T；③S T；④S F；⑤S∈F；⑥F U.
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
【解题思路】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．
【解答过程】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，
①S∈U，故错误；
②F T，故错误，
③S T，故正确；
④S F；故错误，
⑤S∈F，故错误，
⑥F U，故正确；
故选D．
【知识点3 集合间关系的性质】
集合间关系的性质：
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【题型7 集合间关系的判断】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．集合间没有包含关系
【解题思路】根据结合所表示点的几何意义，以及原点与集合的关系，即可求解.
【解答过程】由集合表示函数图象上所有的点的集合，
又由结合表示轴上方所有点的集合，
因为，但，所以集合与之间没有包含关系.
故选：D.
【变式7-1】（2023春·北京·高三校考开学考试）集合，若，则集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题可得A是B的子集，据此可得答案.
【解答过程】由题可得A是B的子集，
则满足题意.
故选：D.
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对于集合，令和，即得解.
【解答过程】，，，，
对于集合，当时，，；
当时，，．
，
故选：B．
【变式7-3】（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.
【解答过程】依题意，，，
，而，{偶数}，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，
所以.
故选：C.
【题型8 利用集合间的关系求参数】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）设集合，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解题思路】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【解答过程】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
【变式8-1】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合，若 ，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【解题思路】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【解答过程】解：由集合，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足 ；
当时，解得，要使得 ，则满足，可得，
所以实数的值为或.
故选：B.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．0
【解题思路】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求.
【解答过程】由知：，即，得，
∴.
故选：D.
【变式8-3】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】由集合的包含关系列不等式，即可得结果.
【解答过程】由题设，，又且，
所以，即.
故选：C.
【题型9 集合间关系中的新定义问题】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【解题思路】结合非空真子集个数()的算法即可.
【解答过程】，所以集合的非空真子集的个数为，
故选：B.
【变式9-1】（2022·江苏·高一专题练习）对于两个非空集合A，B，定义集合且，若，，则集合N－M的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】先根据题意求出，从而可求出其真子集个数
【解答过程】由题意，知集合，所以集合N－M的真子集个数为．
故选：C.
【变式9-2】（2022·高一单元测试）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解题思路】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数
【解答过程】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，
故选：B.
【变式9-3】（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据新定义，进行求解即可.
【解答过程】由题意，当 都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ；
若 都是正奇数，则由 ，可得 ，此时符合条件的数对为（ 满足条件的共8个；
若不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为 共5个；
故集合 中的元素个数是13，
所以集合的真子集的个数是
故选C．专题1.2 集合间的基本关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 子集、真子集的概念】 2
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】 2
【题型3 判断两个集合是否相等】 3
【题型4 根据两个集合相等求参数】 4
【题型5 空集的判断及应用】 4
【题型6 Venn图表示集合的关系】 4
【题型7 集合间关系的判断】 6
【题型8 利用集合间的关系求参数】 6
【题型9 集合间关系中的新定义问题】 7
【知识点1 子集与真子集】
1．子集的概念
定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法
与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即；
(2)对于集合A,B,C，若，且，则
2．真子集的概念
定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集
记法 记作(或)
图示
结论 (1)且，则；
(2)，且，则
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，则AB.
【题型1 子集、真子集的概念】
【例1】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【变式1-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【变式1-3】（2023·河南·统考模拟预测）已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6 B．7 C．14 D．15
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】
【例2】（2023·高一课时练习）满足的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知非空集合M {1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2-3】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【知识点2 集合相等与空集】
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B且B A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【题型3 判断两个集合是否相等】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023秋·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合和，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
【题型4 根据两个集合相等求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考期末）已知实数集合若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【变式4-2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【题型5 空集的判断及应用】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-3】（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 Venn图表示集合的关系】
【例6】（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023·高一课时练习）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　)
①S∈U；②F T；③S T；④S F；⑤S∈F；⑥F U.
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
【知识点3 集合间关系的性质】
集合间关系的性质：
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【题型7 集合间关系的判断】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）集合，集合，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．集合间没有包含关系
【变式7-1】（2023春·北京·高三校考开学考试）集合，若，则集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型8 利用集合间的关系求参数】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）设集合，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式8-1】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合，若 ，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．0
【变式8-3】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【题型9 集合间关系中的新定义问题】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【变式9-1】（2022·江苏·高一专题练习）对于两个非空集合A，B，定义集合且，若，，则集合N－M的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式9-2】（2022·高一单元测试）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【变式9-3】（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．

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