资源简介

专题1.4 充分条件与必要条件【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 命题的概念】 1
【题型2 判断命题的真假】 2
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 5
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 6
【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 8
【题型6 充要条件的证明】 9
【知识点1 命题】
命题及相关概念
【题型1 命题的概念】
【例1】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（　　）
A．
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．
D．今天是星期天
【解题思路】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可
【解答过程】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误，
对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误，
对于C，是命题，且是真命题，所以C正确，
对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误，
故选：C.
【变式1-1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【解题思路】根据命题的定义进行判断.
【解答过程】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B.
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【解题思路】根据命题的定义即可求解.
【解答过程】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据命题的定义逐个分析判断即可.
【解答过程】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，
①不能判断真假，不是命题；
③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；
④是祈使句，不是命题；
⑤是感叹句，不是命题．
故选：A.
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（　　）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解题思路】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【解答过程】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B.
【变式2-1】（2022秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【解题思路】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断.
【解答过程】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误；
B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误；
C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误；
D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确，
故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【解答过程】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;
故选：C．
【变式2-3】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【解题思路】通过解方程组的知识求得正确答案.
【解答过程】由得，则，，所以，
则，解得，
所以关于的方程组有唯一解.
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
【知识点2 充分、必要与充要条件】
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题
推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p q 由条件p不能推出结论q，记作：
条件关系 p是q的充分条件
q是p的必要条件 p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，记作p q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p q，那么p与q互为充要条件．
【注】：“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p q，又有q p，则p是q的充要条件，记为p q.
(2)如果p 且q ，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p q且q ，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p 且q p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解题思路】根据分数不等式求解答范围，即可根据集合间的关系求解.
【解答过程】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解题思路】由求得或，然后即可得出答案.
【解答过程】由可得，解得或.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解题思路】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答过程】为充要条件．
故选：C.
【变式3-3】（2020秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：① 是的充要条件；② 是的充分不必要条件；③ 是的必要不充分条件；④ 是的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【解答过程】因为是的充分不必要条件，所以， ，
因为是的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，
所以是的充要条件；命题①正确，
因为，，，所以，
若，则，，，故，与 矛盾，
所以 ，
所以是的充分不必要条件，命题②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【例4】（2023·高一课时练习）关于x的方程有实根的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据一元一次方程的求解即可判断，由充分条件的定义即可求解.
【解答过程】由，要使方程有实根，则，
故是方程有实根的一个充分条件，
故选：B.
【变式4-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.
【解答过程】由，推不出，排除AB；
由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
【变式4-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【解题思路】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.
【解答过程】对于A，因为或 或，故错误；
对于B，因为或 或，故正确；
对于C，因为或 或，故错误；
对于D，因为不是或的真子集，故错误.
故选：B.
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【解答过程】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即.
所以A选项, 是充分不必要条件，A正确；
B选项中，不可推导出，B不正确；
C选项中，不可推导出，故C不正确；
D选项中，不可推导出，故D不正确.
故选：A.
【题型5 由充分条件、必要条件求参数】
【例5】（2023春·湖南长沙·高二校联考期中）已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.
【解答过程】，即或，又是的充分不必要条件，
所以，即的取值范围是.
故选:A.
【变式5-1】（2022秋·青海西宁·高一校考阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解.
【解答过程】解：一元二次方程有两个不相等的正实根，
设两根分别为：，
故，
解得：，
故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是.
故选：B.
【变式5-2】（2022·高一单元测试）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【解题思路】根据题意确定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到关于a的等式，求得答案.
【解答过程】p：，即或，q：∵，∴，
由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件，
则，或，解得，或，
故选：D.
【变式5-3】（2022秋·山东潍坊·高一校考阶段练习）若“-1A． B．
C． D．
【解题思路】先化简不等式为m-1【解答过程】不等式-1由题意得“所以，且，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：B.
【题型6 充要条件的证明】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【解题思路】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
【解答过程】解：先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
【解题思路】根据充要条件的定义进行证明即可．
【解答过程】（1）必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
（2）充分性：由及，
得，即.
综上所述，的充要条件是.
【变式6-2】（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【解题思路】利用充分性和必要性的定义证明即可.
【解答过程】充分性：
若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式对任意实数恒成立，
分别将，，代入可得，
解得，必要性成立，
故等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【变式6-3】（2023·江苏·高一假期作业）设，求证成立的充要条件是．
【解题思路】分为充分性和必要性两种情况来进行证明即可，充分性：若，则成立；必要性：若，则；证明过程结合去绝对值的方法和的性质即可得证
【解答过程】①充分性：若，则有和两种情况，当时，不妨设，则，
，∴等式成立．
当时，，或，，
当，时，，，∴等式成立，
当，时，，，∴等式成立．
综上，当时，成立．
②必要性：若且，则，
即，
∴，∴．
综上可知，是等式成立的充要条件．专题1.4 充分条件与必要条件【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 命题的概念】 1
【题型2 判断命题的真假】 2
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 3
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 4
【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 4
【题型6 充要条件的证明】 5
【知识点1 命题】
命题及相关概念
【题型1 命题的概念】
【例1】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（　　）
A．
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．
D．今天是星期天
【变式1-1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【变式1-3】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（　　）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【变式2-1】（2022秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【知识点2 充分、必要与充要条件】
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题
推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p q 由条件p不能推出结论q，记作：
条件关系 p是q的充分条件
q是p的必要条件 p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，记作p q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p q，那么p与q互为充要条件．
【注】：“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p q，又有q p，则p是q的充要条件，记为p q.
(2)如果p 且q ，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p q且q ，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p 且q p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式3-3】（2020秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：① 是的充要条件；② 是的充分不必要条件；③ 是的必要不充分条件；④ 是的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【例4】（2023·高一课时练习）关于x的方程有实根的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 由充分条件、必要条件求参数】
【例5】（2023春·湖南长沙·高二校联考期中）已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2022秋·青海西宁·高一校考阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【变式5-2】（2022·高一单元测试）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式5-3】（2022秋·山东潍坊·高一校考阶段练习）若“-1A． B．
C． D．
【题型6 充要条件的证明】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
【变式6-2】（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【变式6-3】（2023·江苏·高一假期作业）设，求证成立的充要条件是．

展开更多......

收起↑