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专题2.2 基本不等式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 对基本不等式的理解】 1
【题型2 由基本不等式比较大小】 2
【题型3 利用基本不等式证明不等式】 2
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 4
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 4
【题型6 基本不等式的恒成立问题】 4
【题型7 基本不等式的有解问题】 5
【题型8 基本不等式的实际应用】 5
【知识点1 两个不等式】
1. 两个不等式
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<.
【题型1 对基本不等式的理解】
【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 由基本不等式比较大小】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若，，且，则，，，中最大的一个是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 利用基本不等式证明不等式】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知，，且，求证：.
【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
(1)若，则；
(2)若，则．
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知，，且，证明.
(1)；
(2)
【知识点2 基本不等式与最值】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设，则函数的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最大值为2
D．若，则的最大值为
【题型6 基本不等式的恒成立问题】
【例6】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 基本不等式的有解问题】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
【变式7-2】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数，满足，且有解，则的取值范围是 ．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是 .
【题型8 基本不等式的实际应用】
【例8】（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；

【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
【变式8-2】（2023春·广东汕头·高一统考期末）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．
(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大 最大利润为多少万元
【变式8-3】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．专题2.2 基本不等式【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 对基本不等式的理解】 1
【题型2 由基本不等式比较大小】 3
【题型3 利用基本不等式证明不等式】 4
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 6
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 7
【题型6 基本不等式的恒成立问题】 9
【题型7 基本不等式的有解问题】 11
【题型8 基本不等式的实际应用】 13
【知识点1 两个不等式】
1. 两个不等式
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<.
【题型1 对基本不等式的理解】
【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【解题思路】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【解答过程】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.
故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【解答过程】由基本不等式可知，当且仅当，
即时等号成立，
故选：.
【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【解题思路】根据基本不等式可知，当成立时，则，可知、同号，据此可得出结论.
【解答过程】由基本不等式可知，要使得成立，则，所以，、同号，所以①③④均可以.
故选：C.
【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为，，且，
由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；
由基本不等式知，则，
即（当且仅当时取等号），B正确；
由题得，
由已知，故，所以，
故，C正确；
由基本不等式可得，
即（当且仅当时取等号），D错误.
故选：D.
【题型2 由基本不等式比较大小】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【解题思路】由基本不等式可得，通过配方结合可得即可选得答案.
【解答过程】，当且仅当时等号成立，
，当时等号成立，
所以.
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.
【解答过程】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.
故选：C.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用基本不等式计算出.
【解答过程】因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.
故选：B.
【变式2-3】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若，，且，则，，，中最大的一个是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先利用均值不等式比较与的大小和与的大小，然后结合不等式的性质即可确定四个表达式中最大的一个.
【解答过程】 ，，且，
，，，，
.
故选：D.
【题型3 利用基本不等式证明不等式】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知，，且，求证：.
【解题思路】利用把化为，展开利用基本不等式求最值即可证明.
【解答过程】因为，，，
所以
，当且仅当，即时等号成立.
故原题得证.
【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
(1)若，则；
(2)若，则．
【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）讨论和两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.
【解答过程】（1）证明：因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
（2）证明：因为，当时，，
当且仅当时等号成立．
当时，，
当且仅当时等号成立．
综上，若，则成立，当且仅当时等号成立．
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
【解题思路】（1）利用基本不等式证明即可；
（2）由利用基本不等式求最值即可.
【解答过程】（1）因为a，b，c都是正数，所以
，当且仅当时，等号成立，
所以；
（2），
当且仅当时等号成立.
∴.
【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知，，且，证明.
(1)；
(2)
【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式，证明不等式；
（2）首先将不等式左边变形为，再利用基本不等式证明.
【解答过程】（1），
因为，，则，则，当时等号成立，
所以；
（2）
而，当时等号成立，
所以.
【知识点2 基本不等式与最值】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设，则函数的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【解题思路】先化简为，再利用基本不等式即可求解.
【解答过程】，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【解题思路】直接根据基本不等式即可得结果.
【解答过程】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，即函数的最小值为，
故选：B.
【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【解题思路】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【解答过程】当时，
,
即，故.
故选:A.
【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可.
【解答过程】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以的最大值为2.
故选：D.
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】用表示后，根据基本不等式可求出结果.
【解答过程】因为，
由，得，
所以 ，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：D.
【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】根据基本不等式的变形形式直接求解.
【解答过程】由题意得，，即，
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由，得到，再利用“1”的代换求解.
【解答过程】解：因为，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：C.
【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最大值为2
D．若，则的最大值为
【解题思路】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若，则，展开后使用基本不等式即可判断B.
【解答过程】∵，∴，∴，故A正确；
若，则，
当且仅当时等号成立，故B正确；
若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：D.
【题型6 基本不等式的恒成立问题】
【例6】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【解题思路】将已知转化为对，不等式恒成立，利用基本不等式可知恒成立，即可得到答案.
【解答过程】对，不等式恒成立，可化为恒成立，
利用基本不等式知，当且仅当，即时等号成立
，即恒成立，即实数m的最大值不存在.
故选：D.
【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解题思路】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【解答过程】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，可算出，再将最小值代入，即可求解.
【解答过程】不等式恒成立
，，且
当且仅当，即，时取等号
，即
解得
故实数的取值范围是
故选：A.
【变式6-3】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合条件，由可得，然后由可得答案.
【解答过程】因为，所以，
所以由可得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时取等号，
故选：B．
【题型7 基本不等式的有解问题】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【解答过程】解：因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以的取值范围是．
故选：C.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）
【解题思路】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可
【解答过程】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，
因为有解，所以，即，
解得或，
故选：A.
【变式7-2】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数，满足，且有解，则的取值范围是 ．
【解题思路】根据已知表示出，若有解，则，表示出，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.
【解答过程】由题知，因为，
所以，，
若有解，则即可，
因为，都是正数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故答案为：.
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是 .
【解题思路】不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可.
【解答过程】由已知得：，
，
当且仅当时取等号；
由题意：，
即，
解得：或，
故答案为：.
【题型8 基本不等式的实际应用】
【例8】（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；

【解题思路】设污水池的长为米，总造价为元，宽为米，得到函数求解.
【解答过程】设污水池的长为米，总造价为元，则宽为米．
，
当且仅当，即时等号成立．
所以设计污水池长为30米，宽为米时，总造价最低为56000元．
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）
【解答过程】由题意所示 ，，
∵，∴ ，
∴ ，
函数的对称轴为，
∴当时，面积取得最大值，为 ，
（或者：由于，所以，当且仅当，即时取等号.）
∴矩形面积最大为48平方米．
【变式8-2】（2023春·广东汕头·高一统考期末）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．
(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大 最大利润为多少万元
【解题思路】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式；
（2）利用基本不等式求最值.
【解答过程】（1），；
（2），
，
，
当即宣传费用为万元时，利润最大为万元．
【变式8-3】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【解答过程】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．

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