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第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·重庆北碚·高二校考阶段练习）命题：的否定是（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（　　）
A．3 B．2
C．1 D．0
3．（5分）（2023·全国·高三对口高考）下面有四个命题：
①；
②若，则；
③若不属于，则a属于；
④若，则
其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则有4个元素
D．若，则
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要而不充分条件
10．（5分）（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .
14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设命题；命题，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 ．
15．（5分）（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是 .
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有 个元素.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·高一课时练习）已知集合.
（1）若中只有一个元素，求及；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
18．（12分）（2023·高一课时练习）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围.
19．（12分）（2022秋·吉林四平·高三校考阶段练习）已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”．
(1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
20．（12分）（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
21．（12分）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
22．（12分）（2023春·北京顺义·高二校考阶段练习）设A是非空实数集，且．若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质．
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质；
(3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·重庆北碚·高二校考阶段练习）命题：的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用全称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论
【解答过程】解：命题：的否定是,
故选：B.
2．（5分）（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（　　）
A．3 B．2
C．1 D．0
【解题思路】对于①，通过解方程求出的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即可判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误.
【解答过程】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．
集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确．
联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），
∴所求集合为且，故③不正确．
故选：D.
3．（5分）（2023·全国·高三对口高考）下面有四个命题：
①；
②若，则；
③若不属于，则a属于；
④若，则
其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④.
【解答过程】①由子集概念知正确；
②因为，所以，故错误；
③当时，，，故错误；
④因为，所以，故错误.
故选：B.
4．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【解题思路】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【解答过程】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
5．（5分）（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.
【解答过程】的定义域为A，
所以，
所以或，
①当时，,
满足，
所以符合题意；
②当时，
，
所以若，
则有或，
所以或（舍）
③当时，
，
所以若，
则有或（舍），
，
综上所述，，
故选：B.
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知，命题：，为真命题，分、两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数的取值范围.
【解答过程】由题意可知，命题：，为真命题.
①当时，则，不合乎题意；
②当时，则，令，
则，
所以，当时，，则.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则有4个元素
D．若，则
【解题思路】首先解方程得到：或 ,针对a分类讨论即可.
【解答过程】（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
综上可知A，B，C，不正确，D正确
故选：D.
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【解题思路】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【解答过程】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要而不充分条件
【解题思路】对于ACD，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误.
【解答过程】对于A，即为或，
因为可得推出或，或推不出，
故“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
对于B，命题“”的否定是“”，故B正确.
对于C，当且时，有，
取，满足，但且不成立，
故“且”是“”的充分而不必要条件，故C错误.
对于D，取，，此时，故不成立，
当时，必有，
故“”是“”的必要而不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
10．（5分）（2023春·河北承德·高三校考阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.
【解答过程】 为假命题,
为真命题，
可得，
又为真命题，
可得，
所以，
故选：AB.
11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.
【解答过程】由题意集合，，
因为，所以当时，，即 ；
当时，有 ，解得，
故,则M的一个真子集可以是或，
故选：BC.
12．（5分）（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
【解题思路】根据定义，得到，对四个选项一一验证.
【解答过程】根据定义.
对于A：若,则,,,,∴,故A正确;
对于B：若,则,,,,∴,故B正确;
对于C：若 ,则,,则.故C错;
对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .
【解题思路】问题等价于有解，即或，解得答案.
【解答过程】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：.
14．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设命题；命题，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【解题思路】根据题意，得到是的必要不充分条件，进行求解即可.
【解答过程】,
,
因为是的必要而不充分条件，
是的必要不充分条件,
,
实数的取值范围是,
故答案为.
15．（5分）（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是 ②④ .
【解题思路】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；
【解答过程】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；
②设，则，所以集合P是幸运集，故正确；
③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；
④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；
故答案为：②④.
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有 个元素.
【解题思路】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.
【解答过程】解：由题可知，，有4个元素，
若取，则，此时，包含7个元素，
具体如下：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，
若，则，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍去；
若，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，
若，则，故，故，
即，故，
此时，即中有7个元素.
故答案为：7.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·高一课时练习）已知集合.
（1）若中只有一个元素，求及；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【解题思路】（1）分和两种情况讨论，当中只有一个元素时，求的取值；
（2）讨论集合或有一个元素时，的取值范围.
【解答过程】（1）当时，，解得： ，
所以中只有一个元素，即，
当时，，解得：，
，解得：，此时
综上可知时，时.
（2）当集合时，，解得：
由（1）可知集合有1个元素时，或，
综上可知：或，
即.
18．（12分）（2023·高一课时练习）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围.
【解题思路】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；
(2)，则是的子集，列出不等式组求解即可.
【解答过程】（1）①若，则，即，此时；
②若，则，解得.
综合①②，得实数的取值范围是.
（2）（2）若，则，解得，
所以实数的取值范围是.
19．（12分）（2022秋·吉林四平·高三校考阶段练习）已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”．
(1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果.
（2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.
【解答过程】（1）当时，由，
得，即：若为真命题，则；
若为真命题，即恒成立，
则当时，满足题意；
当时，，解得，
故．
故若为假命题，为真命题，
则，解得，
即实数的取值范围为．
（2）对于，且．
对于，，则：或．
因为是的充分不必要条件，
所以，解得．
故的取值范围是.
20．（12分）（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
【解题思路】(1)取化简，化简，再根据交集的定义求；
(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.
【解答过程】（1）由题意得，.
当时，，
∴；
（2）选择①.
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时， ，此时，不满足，舍去.
综上，实数a的取值范围为.
选择②.
当时，，满足；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，.
综上，实数a的取值范围为.
选择③.
当时，，，∴，满足题意；
当时，，，要使，则，解得；
当时，，，此时，，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
21．（12分）（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）利用集合的交并补运算即可得解；
（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.
【解答过程】（1）当时，，而，
所以，则或.
（2）选①：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选②：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选③：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为.
22．（12分）（2023春·北京顺义·高二校考阶段练习）设A是非空实数集，且．若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质．
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质；
(3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据题意直接写出即可；
（2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可．
（3）由题意可知，且不是单元素集，令，且， 若，则，这与矛盾；
若，则，，这与矛盾，综上可得到结论．
【解答过程】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合；
（2）若集合A具有性质，不妨设，
由非空数集A具有性质，有．
①若，易知此时集合A具有性质．
②若实数集A只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得：，此时集合A具有性质．
③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有，由于集合A具有性质，
所以有，这说明集合A具有性质；
（3）不存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质，
由于非空实数集A具有性质，令集合，
依题意不妨设，，
因为集合B具有性质，所以，
若，则，，
因为非空实数集A具有性质，故，这与矛盾，
故集合B不是单元素集，
令，且，
①若，可得，即，这与矛盾；
②若，由于，，所以，因此，这与矛盾，
综上可得：不存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质．

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