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专题1.3 集合的基本运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 并集的运算】 2
【题型2 根据并集结果求集合或参数】 2
【题型3 交集的运算】 2
【题型4 根据交集结果求集合或参数】 3
【题型5 补集的运算】 4
【题型6 交、并、补集的混合运算】 4
【题型7 集合混合运算中的求参问题】 5
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 5
【知识点1 并集与交集】
1．并集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
2.交集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
【题型1 并集的运算】
【例1】（2023·高一单元测试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型2 根据并集结果求集合或参数】
【例2】（2023·湖北荆门·校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知集合，若，则集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023春·江西景德镇·高二校考期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 交集的运算】
【例3】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式3-3】（2023·山东济宁·统考三模）若集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型4 根据交集结果求集合或参数】
【例4】（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【变式4-1】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知集合，，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4-2】（2023·广东·高三专题练习）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 补集与全集】
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
2．补集
定义 文字
语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合
A的所有元素组成的集合称为集合A相
对全集U的补集，简称为集合A的补集，
记作 UA
符号
语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形
语言
性质 (1)
(2)
【注】 UA的三层含义：
(1) UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
【题型5 补集的运算】
【例5】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】（2023·全国·校联考三模）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 交、并、补集的混合运算】
【例6】（2023春·天津南开·高二校考期末）集合，，则=（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023春·天津南开·高二统考期末）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2023春·江苏南通·高一统考期末）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知全集， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【题型7 集合混合运算中的求参问题】
【例7】（2022秋·广西钦州·高一校考期中）设全集，集合，若，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
【变式7-1】（2023·江苏无锡·江苏省校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2022秋·河南濮阳·高三校联考阶段练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022·云南·校考模拟预测）设集合，，，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【知识点3 Venn图表达集合的关系和运算】
如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】
【例8】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【变式8-1】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示（ ）

A． B．
C． D．
【变式8-3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．专题1.3 集合的基本运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 并集的运算】 2
【题型2 根据并集结果求集合或参数】 2
【题型3 交集的运算】 4
【题型4 根据交集结果求集合或参数】 5
【题型5 补集的运算】 7
【题型6 交、并、补集的混合运算】 8
【题型7 集合混合运算中的求参问题】 9
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 11
【知识点1 并集与交集】
1．并集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
2.交集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
【题型1 并集的运算】
【例1】（2023·高一单元测试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接利用并集的定义求解.
【解答过程】因为集合，
所以 .
故选：A.
【变式1-1】（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出集合，再由并集的定义求出.
【解答过程】由，又，
可知.
故选：D.
【变式1-2】（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由集合的包含关系判定即可.
【解答过程】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而说明中元素都在集合中，故.
故选：B.
【变式1-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】应用并运算求，即可得元素个数.
【解答过程】由题设，所以，故其中元素共有4个.
故选：B.
【题型2 根据并集结果求集合或参数】
【例2】（2023·湖北荆门·校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据并集的结果，分类讨论当、时集合A、B的情况，即可求解.
【解答过程】，
当即时，，不符合题意；
当即时，，此时.
所以.
故选：B.
【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用集合的并集运算求解.
【解答过程】因为集合，，且，
所以.
故选：D.
【变式2-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知集合，若，则集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据并集定义计算，选出正确答案.
【解答过程】，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2023春·江西景德镇·高二校考期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据，可得，再分和两种情况讨论即可.
【解答过程】因为，所以，
当，即时，，符合题意；
当时，
则，解得，
综上所述实数的取值范围为.
故选：C.
【题型3 交集的运算】
【例3】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.
【解答过程】由集合，
根据集合交集的概念与运算，可得.
故选：B.
【变式3-1】（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【解答过程】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解题思路】根据交集的运算可得.
【解答过程】由集合，得，故子集的个数为，
故选：C.
【变式3-3】（2023·山东济宁·统考三模）若集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】用列举法表示集合，再根据交集的定义求出，即可判断.
【解答过程】因为，
又，
所以，即集合中含有个元素.
故选：C.
【题型4 根据交集结果求集合或参数】
【例4】（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【解题思路】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.
【解答过程】由于，则.
若，则，此时符合题意.
若，则或2,
时，，此时不合题意；
时，符合题意，
因此或2，
故选:C.
【变式4-1】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知集合，，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据交集结果得到，或，检验后得到答案.
【解答过程】因为，所以，或，
当时，，满足集合元素的互异性，满足要求；
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，，与集合元素的互异性矛盾，舍去.
故选：A.
【变式4-2】（2023·广东·高三专题练习）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由求得，即可求.
【解答过程】由题意可知，，即，所以，
所以.
故选：D.
【变式4-3】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】化简集合，由条件可得，根据集合关系列不等式求的取值范围.
【解答过程】因为，
所以，即，
因为，所以，又，
所以，
故实数的取值范围是.
故选：A.
【知识点2 补集与全集】
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
2．补集
定义 文字
语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合
A的所有元素组成的集合称为集合A相
对全集U的补集，简称为集合A的补集，
记作 UA
符号
语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形
语言
性质 (1)
(2)
【注】 UA的三层含义：
(1) UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
【题型5 补集的运算】
【例5】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据补集的定义求解即可.
【解答过程】因为，，
所以.
故选：A.
【变式5-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先求出集合、，再根据补集的定义计算可得.
【解答过程】因为，，
所以.
故选：B.
【变式5-2】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】求出集合后,写出集合的真子集,数出个数即可.
【解答过程】解:由题知, ,
所以,
所以集合的真子集有:
,
共3个.
故选:B.
【变式5-3】（2023·全国·校联考三模）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据补集的概念结合元素与集合的关系即可得答案.
【解答过程】因为，所以.
又，所以.
所以，故ABD错误，C正确.
故选：C.
【题型6 交、并、补集的混合运算】
【例6】（2023春·天津南开·高二校考期末）集合，，则=（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由交集与补集的定义求解即可.
【解答过程】因为集合，所以，所以.
故选：B.
【变式6-1】（2023春·天津南开·高二统考期末）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】用列举法表示全集，再利用补集、交集的定义求解作答.
【解答过程】依题意，，而，，
则，
所以.
故选：A.
【变式6-2】（2023春·江苏南通·高一统考期末）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合的交并补运算即可求解.
【解答过程】,,,,
故选:C.
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知全集， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意画出图，即可得出答案.
【解答过程】由题意画出图如下，

可得：，，，.
故选：D.
【题型7 集合混合运算中的求参问题】
【例7】（2022秋·广西钦州·高一校考期中）设全集，集合，若，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
【解题思路】由可知，由此即可解出，则可求出，再由可知，由此即可求出答案.
【解答过程】因为
所以
所以解得：，
或
所以，
所以，
所以解得：或，
且解得：且
所以.
故选：B.
【变式7-1】（2023·江苏无锡·江苏省校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.
【解答过程】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
【变式7-2】（2022秋·河南濮阳·高三校联考阶段练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出集合A的补集，再由可求出实数m的取值范围
【解答过程】∵，∴，
∵，∴．
故选：C．
【变式7-3】（2022·云南·校考模拟预测）设集合，，，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据列不等式组，由此化简求得的最小值.
【解答过程】、，
由于，
所以，，
所以，即的最小值为.
故选：C.
【知识点3 Venn图表达集合的关系和运算】
如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】
【例8】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【解题思路】利用集合的交并补的定义，结合图即可求解.
【解答过程】因为或，或，
所以或或或，
或或或.
由题意可知阴影部分对于的集合为，
所以，
或.
故选：D.
【变式8-1】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【解题思路】根据集合间的运算分析判断.
【解答过程】因为表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ，
所以表示与集合A的公共部分，即为Ⅱ.
故选：B.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示（ ）

A． B．
C． D．
【解题思路】根据集合的运算判断各选项对应的区域，由此判断结论.
【解答过程】如图所示，对于A，对应的是区域1；
对于B，对应的是区域2；
对于C，对应的是区域3；
对于D，对应的是区域4．
故选：B．

【变式8-3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【解题思路】依题意图中阴影部分表示的集合为，根据交集、补集的定义计算可得.
【解答过程】因为，，
所以，图中阴影部分表示的集合为，
所以.
故选：C.

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