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专题2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 不等关系的建立】 1
【题型2 利用作差法比较大小】 3
【题型3 利用作商法比较大小】 4
【题型4 利用作差法比较大小的应用】 5
【题型5 利用不等式的性质判断正误】 8
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】 10
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】 12
【知识点1 不等关系】
1．不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【题型1 不等关系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
C．某变量x至少为a可表示为“x>a”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【解题思路】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案.
【解答过程】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误；
对于B，变量y不超过a可表示为，B正确；
对于C，变量x至少为a可表示为，C错误；
对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.
故选：B.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题设条件可得关于的不等式，求解后可得正确的选项.
【解答过程】由，得，即，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据工资预算以及工人工资列出不等式.
【解答过程】依题意，请工人满足的关系式是，
即.
故选：D.
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案.
【解答过程】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．
故选：B．
【知识点2 比较大小】
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
【题型2 利用作差法比较大小】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M【解题思路】平方后作差比较大小即可.
【解答过程】，
∴M故选：B.
【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小无法判断
【解题思路】根据作差法比较大小即可.
【解答过程】因为，
所以，故.
故选：A.
【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用作差法判断即可.
【解答过程】因为，则，所以，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用作差法判断即可.
【解答过程】因为，
所以，
当且仅当时取等号,
，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即，
．
故选：A.
【题型3 利用作商法比较大小】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【解题思路】应用作商法比较的大小关系即可.
【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设，，则（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.
【解答过程】，
，
则
.
故，当且仅当时，取等号，
故选：D.
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若，则、、、中最小的是 .
【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可.
【解答过程】因为，所以，，
因为，，所以，
即
故答案为：.
【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为 ≥ ．
【解题思路】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.
【解答过程】因为， 则
由
所以，
故答案为：.
【题型4 利用作差法比较大小的应用】
【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．
【解题思路】设该单位员工有n人()，全票价为x元，再用及表示出选甲、乙车需花的总费用，然后作差比较即可得解.
【解答过程】设该单位员工有n人()，全票价为元，坐甲车需花元，坐乙车需花元，
则，，
因为，
因为，
所以当时，；当时，；当时，．
因此，当单位去参观的人数为5人时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠；少于5人时，选乙租车公司更优惠．
【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？
【解题思路】根据平均价格的计算公式，分别计算出甲和乙所买股票的平均每股价格，再用作差法进行比较即可求得答案.
【解答过程】甲所买股票的平均每股价格：，
乙所买股票的平均每股价格：，
作差得，，
即，故甲买入的方式比较合算.
【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，．
(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；
(2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．
【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解；
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.
【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，
所以，所以，所以.
所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，
则.
因为，所以.
又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.
【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
＝.
∵a，b，m为正实数，且，，
∴，即.
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且，求证： (其中).
证明：，且b＞a＞0，d＞c＞0，
，即，
，
即，
，
即
（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证： (其中b＞a＞0，m＞0).
证明：，
.
【知识点3 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1　如果a＝b，那么b＝a；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由不等式的性质可判断A；由特值法可判断BCD.
【解答过程】对于A，，由不等式的性质可得，故A正确；
对于B，，取，所以，故B不正确；
对于C，，若，则，故C不正确；
对于D，，取，故D不正确.
故选：A.
【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用不等式的性质，逐项判断作答.
【解答过程】由，得，A正确；
由，得，则，B错误；
由，得，C错误；
由，得，即，D错误.
故选：A.
【变式5-2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则．
【解题思路】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分三种情况讨论即可判断大小.
【解答过程】A选项，，故A错误；
B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误；
C选项，当时，；
当时，，
当时，，
综上，故C正确；
D选项，，故D错误.
故选：C.
【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解题思路】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D.
【解答过程】A选项，当时，，故A错误；
B选项，当，，，时，，，故B错误；
C选项，当，，，时，，故C错误；
D选项，若，，则，即，故D正确．
故选：D.
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【解答过程】（1）证明：，，
，，
又因为，即，
所以.
（2）证明：，，；
又，，；
.
【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
【解题思路】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明+ +，对不等式两边同时平方后只需证明 ，再平方即可证明.
【解答过程】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以 ，
即 ；所以 ，即 ．
（2）要证，
只需证 ，
即证；
即证 ，
即证；即证，显然成立；
所以．
【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
【解题思路】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.
【解答过程】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，成立；
因为，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【解题思路】（1）可知，而，即可得证；
（2）可知，而，即可得证；
【解答过程】（1）证明： ，
，
又，
；
（2）证明：，
，
又，
．
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知－1【解题思路】由不等式的基本性质求解即可.
【解答过程】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
则，所以，即.
又∵－1∴，即，
∴3x＋2y的取值范围为.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是？
【解题思路】根据题意以整体，结合不等式的性质分析运算.
【解答过程】设，
由题意可得，解得，
所以，
由，可得，
所以，即，
故的取值范围是.
【变式7-2】（2023·全国·高一假期作业）实数、满足，.
(1)求实数、的取值范围；
(2)求的取值范围．
【解题思路】（1）由，根据不等式的性质计算可得；
（2）求出，再利用不等式的性质得解.
【解答过程】（1）解：由，，
则，所以，所以，即，
即实数的取值范围为．
因为，
由，
所以，所以，
所以，
∴，
即实数的取值范围为．
（2）解：设，
则，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范围为．
【变式7-3】（2023·高一课时练习）已知实数分别满足，，.
（1）分别求与的取值范围；
（2）若试分别求及的取值范围.
【解题思路】（1）根据不等式的性质即可求出与的取值范围；
（2）根据不等式的性质结合即可求解.
【解答过程】（1），,
,
, .
（2）由条件则.
又因为，
从而可得；
由 .
，
又因为，
从而.专题2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 不等关系的建立】 1
【题型2 利用作差法比较大小】 2
【题型3 利用作商法比较大小】 2
【题型4 利用作差法比较大小的应用】 3
【题型5 利用不等式的性质判断正误】 4
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】 5
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】 6
【知识点1 不等关系】
1．不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【题型1 不等关系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
C．某变量x至少为a可表示为“x>a”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 比较大小】
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
【题型2 利用作差法比较大小】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小无法判断
【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 利用作商法比较大小】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若，则、、、中最小的是 .
【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为 ．
【题型4 利用作差法比较大小的应用】
【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．
【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？
【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，．
(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；
(2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．
【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【知识点3 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1　如果a＝b，那么b＝a；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则．
【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【题型7 利用不等式的性质求取值范围】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知－1【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是？
【变式7-2】（2023·全国·高一假期作业）实数、满足，.
(1)求实数、的取值范围；
(2)求的取值范围．
【变式7-3】（2023·高一课时练习）已知实数分别满足，，.
（1）分别求与的取值范围；
（2）若试分别求及的取值范围.

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