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专题04 预备知识四：充分条件与必要条件
1、初步理解充分条件、必要条件的含义
2、通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系
3、体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
2、集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
3、充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
对点特性一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项.
【详解】由，解得或，
因为为或的真子集，
则“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
例题2．（23-24高一上·浙江·期中）设或，或，则是的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据条件的充分性必要性判断即可.
【详解】取，此时条件成立，条件不成立，所以，不是的充分条件；
对任意或者，都满足或者，所以，是的必要条件，
故是的必要不充分条件，
故选：B
精练
1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系即可判断.
【详解】因为，
所以是的充分而不必要条件.
故选：A.
2．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先解不等式，再结合充分、必要条件的概念即可判断.
【详解】由可得或，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
对点特训二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.
【详解】，因为是的充分不必要条件，所以.
故选：C.
例题2．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
【详解】因为，则，
因为，则，
即是的充分而不必要条件，
所以，
故选：B
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
因为“”是“”充分不必要条件，
所以真包含于，所以（等号不能同时取得），解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可．
【详解】由题，， ，
当时，有，符合题意；
当时，有，此时，所以或，所以.
综上，实数的所有可能的取值组成的集合为.
故选：A.
对点特训三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
角度1：“是”标志词
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为，所以或，
易得“”是“或”的充分不必要条件，
故选：A.
例题2．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙；
若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同，
所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件.
故选：A
精练
1．（2024·山东·二模）已知，若集合，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，可得或，再由充分不必要条件的定义即可得答案.
【详解】因为，
则或，
所以，
由推不出.
故选:A．
2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可解得且，即可判断得出结论.
【详解】“”等价于“且”，
只知道时无法保证，但且时必然有，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
角度2：“的”标志词
典型例题
例题1．（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可.
【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C.
故选：ABC
例题2．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.
【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以是的一个真子集，
则，即实数a的取值范围是.
精练
1．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意；
由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件；
选项C和D都为的既不充分也不必要条件.
故选：A.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1【答案】
【详解】
解析：由题意得（，） （m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤.
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【详解】若，则，即充分性成立；
若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·广东梅州·二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义求解
【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，
所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项.
【详解】由，解得或，
因为为或的真子集，
则“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
4．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系即可判断.
【详解】因为，
所以是的充分而不必要条件.
故选：A.
5．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分条件是，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
6．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可解得且，即可判断得出结论.
【详解】“”等价于“且”，
只知道时无法保证，但且时必然有，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．（23-24高一上·浙江温州·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据 ，利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：因为 ，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
8．（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件与必要条件的性质即可得.
【详解】当时，，
当时，有、，可使，但不符合甲，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】AD
【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，
则或，解得或，
所以AD选项符合，BC选项不符合.
故选：AD
10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据必要条件的定义求解.
【详解】“”成立的必要条件即不能比范围小，
观察选项，BCD符合，
故选：BCD.
三、填空题
11．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
根据题意结合充分、必要条件分析求解.
【详解】由题意可知：是的真子集，
可得，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
12．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为
【答案】
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
【详解】由，
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
所以有，等号不同时成立，解得.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·云南大理·开学考试）已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可；
（2）利用集合间的基本关系计算即可.
【详解】（1）∵是的必要不充分条件，
∴是A的真子集.
①当时，，
②当时，∴，解得.
∴实数的取值范围为.
（2）由，
则①当时，，
②当时，可得或，
解得或.
∴实数的取值范围为.
14．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
(1)当时，求和；
(2)若________，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出集合，再求出，进而可得集合；
（2）分情况处理，若选择①，考虑的情形即可，要分和两种情况分析；若选择②，考虑且的情形即可；若选择③，考虑的情形即可，要分和两种情况分析.
【详解】（1）当时，集合，
所以，
又因为，所以.
（2）若选择①，，则，
当时，，解得：，
当时，又，
所以，得，
所以实数a的取值范围是．
若选择②，““是“”的充分不必要条件，
则且，
因为，
或，解得：，
由于无解，不成立，
所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分）
若选择③，，
当时，，解得：，
当时，又，则，
解得：或，
所以实数a的取值范围是．专题04 预备知识四：充分条件与必要条件
1、初步理解充分条件、必要条件的含义
2、通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系
3、体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
2、集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
3、充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
对点特性一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（23-24高一上·浙江·期中）设或，或，则是的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
精练
1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
对点特训二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
对点特训三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
角度1：“是”标志词
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
精练
1．（2024·山东·二模）已知，若集合，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
角度2：“的”标志词
典型例题
例题1．（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
例题2．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
精练
1．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（ ）
A． B．
C．， D．，
2．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·广东梅州·二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（23-24高一上·浙江温州·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多选题
9．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．
12．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为
四、解答题
13．（23-24高一下·云南大理·开学考试）已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
14．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
(1)当时，求和；
(2)若________，求实数的取值范围．

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