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专题06 预备知识六：等式性质与不等式性质
1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于
符号语言
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
可乘性 注意c的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同为正数
对点特训一：比较两个代数式的大小
角度1：由不等式比较数（式）的大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数、满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（23-24高一上·广东·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
精练
1．（2024高二下·山东）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：利用作差法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
例题2．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
例题3．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
精练
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
角度3：利用作商法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
例题2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小.
精练
1．（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ．
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小
3．（23-24高一·全国·课后作业）若，求证：．
对点特训二：利用不等式的性质证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）（1）比较与的大小．
（2）已知，求证：；
例题2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小：与；
（2）若，，求证：.
精练
1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若，，求证：.
2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：.
对点特训三：利用不等式的性质求取值范围
典型例题
例题1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 .
例题3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
精练
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 .
一．单选题
1．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
6．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较
8．（2024高三·全国·专题练习）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·海南·阶段练习）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ．
12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ．
四、解答题
13．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）（1）已知，比较与的大小；
（2）设x，y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．
14．（21-22高一上·湖北十堰·阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.专题06 预备知识六：等式性质与不等式性质
1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于
符号语言
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
可乘性 注意c的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同为正数
对点特训一：比较两个代数式的大小
角度1：由不等式比较数（式）的大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数、满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的基本性质可得出、、的大小关系.
【详解】因为，由不等式的基本性质可得，，故.
故选：C.
例题2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由不等式的性质即可判断ABC，举反例即可判断D.
【详解】因为，所以，，，故ABC正确，
取，则，故D错误.
故选；ABC.
例题3．（多选）（23-24高一上·广东·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】综合运用不等式的性质和作差法即可做出判断.
【详解】对于选项A，当时，不等式显然不成立，A错误；
对于选项B，由糖水不等式可得B正确；
对于选项C，因为，所以，则，C正确；
对于选项D，因为，所以，所以，D正确.
故选：BCD.
精练
1．（2024高二下·山东）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质可解.
【详解】由，可得，
又因为，所以.
故选：B
2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质判断A，举反例排除BCD，从而得解.
【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；
对于B，取，，则，故B错误；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，取，，则， 故D错误.
故选：A.
3．（多选）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.
【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误；
对于B，由，得，而，因此，B正确；
对于C，取，，C错误；
对于D，由，得，因此，D正确.
故选：BD
角度2：利用作差法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】由作差法比较大小.
【详解】已知.则，
所以，
，因此，.
故选:C.
例题2．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可．
【详解】由题意可得，，，，
，，
，
．
故选：C．
例题3．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法分析判断.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
精练
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论.
【详解】由于，则成立，等价于成立，
充分性：若，且，则，则，
所以成立，满足充分性；
必要性：若，则成立，
其中，且，
则可得成立，即成立，满足必要性；
故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用作差法比较大小即可证明.
【详解】
，
因为，所以，
所以.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
角度3：利用作商法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.
【详解】∵，即.
又，
.
故答案为：>.
例题2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.
【详解】（方法1）因为，所以.
所以.
因为，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
精练
1．（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ．
【答案】≥
【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.
【详解】因为， 则
由
所以
故答案为：
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】，
，
，
.
3．（23-24高一·全国·课后作业）若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
对点特训二：利用不等式的性质证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）（1）比较与的大小．
（2）已知，求证：；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差比较法来比较大小；
（2）利用不等式的性质进行证明.
【详解】（1）
，
所以.
（2）因为，所以，所以，
所以，即.
例题2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小：与；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】利用作差法结合不等式的性质即得.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，，
所以，
故.
精练
1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若，，求证：.
【答案】证明见解析．
【分析】利用作差法即可证明．
【详解】∵，，
∴，
∴．
2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明；
（2）利用作差法证明即可.
【详解】（1），即，
，则.
（2），
，
，
则，
对点特训三：利用不等式的性质求取值范围
典型例题
例题1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：D.
例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故答案为：.
例题3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.
（2）先求出的范围，从而可求的取值范围.
（3）根据可求的取值范围．
【详解】（1）因为，所以,则．
（2）因为，所以，
所以，所以.
（3）已知，
因为，所以
精练
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又，
所以，
所以，
即的取值范围是.
因为所以，
即，
所以的取值范围是
答案：,
3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由不等式的加法性质可求.
【详解】由，，，
则，，，
又，所以,
所以的取值范围为.
故答案为：.
一．单选题
1．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.
【详解】对于A， ，而，A不成立；
对于B，，而，B不成立；
对于C，，因为，所以，，即，C不成立；
对于D，，因为，所以，即，D成立.
故选：D
2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C
3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，显然不能得出，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D
4．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为，当时，有，则成立，即充分性成立；
当时，，即成立，而，即不成立，进而必要性不成立.
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，如果，那么，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
6．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充要条件的概念即可求解.
【详解】当时，或，则，即充分性成立；
当时，，则，即必要性成立；
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较
【答案】A
【分析】
根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.
【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且，
则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，
小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元．
因为，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．
故选：A.
8．（2024高三·全国·专题练习）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对A、D，可借助特殊值法举出反例即可得；对B、C，借助不等式的基本性质即可得.
【详解】对A，令，，有，故A错误；
对B，由，故，故B错误；
对C，，
即只需，，由，故，故C正确；
对D，令，有，故D错误.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高一下·海南·阶段练习）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】由
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，当时，可得，所以B不正确；
对于C中，由，因为的符号不确定，无法比较大小，
所以C不正确；
对于D中，由A知，且，根据不等式的性质，可得，所以D正确.
故选：AD.
10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
【答案】AD
【分析】
根据不等式的性质逐个选项推导即可.
【详解】对A，如果，，则，那么，故A正确；
对B，如果，那么，则，故B错误；
对C，若，，则，故C错误；
对D，如果，，，则，故，
则，，故D正确；
故选：AD
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ．
【答案】a＜b
【详解】
解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.
【考查意图】
作差比较法比较大小．
12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ．
【答案】7
【分析】先得到，根据得到答案.
【详解】因为，，所以，
设，
故，所以，
，
由于，
故，
即.
故答案为：7
四、解答题
13．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）（1）已知，比较与的大小；
（2）设x，y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】作差法比较大小.
【详解】（1），所以
（2），
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
故
14．（21-22高一上·湖北十堰·阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据不等式的性质求解
（2）由待定系数法配凑后求解
【详解】（1），
又，
，
又，
（2）设，得
即
而，

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