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衔接点04 一元二次方程
1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根
3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。
1、一元二次方程根的判别式
一元二次方程（均为常数）的判别式.
（1）时，（）有两个不相等的实数根；
（2）时，（）有两个相等的实数根；
（3）时，（）没有实数根.
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方
式+正数”的形式.
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程有两个根分别是，则：
，，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果的两个根分别为，则：
，这一关系式也被称为韦达定理.
对点特训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数
典型例题
例题1．（2024·安徽·三模）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴原方程有两个相等的实数根，
故选：B．
例题2．（2024·四川泸州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．判断出判别式的值，可得结论．
【详解】解：对于一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
精练
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程，将作为一个整体，解方程，再根据根的判别式，进行判断，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
当时，，方程由两个相等的实数根；
当时，，方程没有实数根；
故选A．
对点特训二：根据根的个数求参数
典型例题
例题1．（2024·北京大兴·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：A．
例题2．（2024·上海静安·二模）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，而且
解得：且；
故答案为：且．
精练
1．（2024·四川广安·二模）若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程的定义，掌握分类讨论思想是关键．由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解，
则且，
解得：且，
当方程为一元一次方程时，
方程有解，则，
综上：当时，方程有实数根．
∴四个数中,不符合要求的值是2，
故选：A．
2．（2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据“关于的一元二次方程有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
对点特训三：解一元二次方程
角度1：直接开平方法
典型例题
例题1．（23-24七年级下·河北保定·期中）若，则等于（ ）
A．4 B． C． D．或4
【答案】D
【分析】用直接开方法求解即可，
本题考查了，直接开方法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握直接开方法．
【详解】解：∵
∴
∴或，
∴或，
故选：．
例题2．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1),
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）先移项，再开平方即可得到答案；
（2）直接开平方即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
则,；
（2）解：，
或，
解得，．
精练
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，
方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；
【详解】解：
或，
解得或．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求满足下列各式x的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及利用立方根解方程．
（1）直接利用开平方法解一元二次方程即可．
（2）根据立方根得定义求出的值，然后再求x的值即可．
【详解】（1）解：，
整理得：
，
∴，．
（2）
∴，
解得：．
角度2：配方法
典型例题
例题1．（安徽省蚌埠市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）用配方法解方程时，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解；
，
故选：A．
例题2．（2024·甘肃陇南·一模）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可．
【详解】解：，
，
解得．
精练
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案．
【详解】解：，
，
配方得，即，
故选：A．
2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．
【详解】解：移项得，，
配方得，，
即，
，
，．
∴方程的解为，．
角度3：因式分解法
典型例题
例题1．（23-24九年级下·四川眉山·期中）方程的解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．利用因式分解法求解即可．
【详解】解:
或，
，
故答案是: ，．
例题2．（23-24八年级下·安徽池州·期中）（1）解方程：
（2）解方程：
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）因式分解法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）
，
则，
或；
解得，；
（2）∵，
∴，
即或；
解得，．
精练
1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用适当的方法解下列方程．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴
∴或
解得：
（2）解：
∴
∴
∴
∴或
解得：
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键：
（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
等号两边开平方，得或，
解得，；
（2）解：，
∴或
，．
角度4：利用求根公式求解
典型例题
例题1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)．
【答案】(1)．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，
，
解得．
例题2．（2024·陕西西安·三模）解方程：．
【答案】，．
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先将所给的一元二次方程整理后，分别找到二次项系数、一次项系数、常数项，利用一元二次方程的求根公式计算即可．
【详解】解：方程整理得：，
则，，,
∵，
∴，
解得：，．
精练
1．（23-24八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程
(1)（公式法）．
【答案】()
【详解】（1）解：，
，
，
解得．
2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）解方程．
(1)；
【答案】(1)，
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，．
角度5：换元法求解
典型例题
例题1．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合题意，舍去）
原方程的解是．
请模仿上面的方法解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可．
【详解】解：令，则原方程化为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
解得．
例题2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
【答案】(1)，
(2)，；
【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
（1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可；
（2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可．
【详解】（1）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
故原方程的解为：，，
故答案为：，．
（2）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得：，；
当时，，即，
，
方程无解；
故原方程的解为：，．
精练
1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若，则的值为___________；
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)或或或
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整．
（1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可；
（2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程．
【详解】（1）解：设，
原方程为：，即，
，
，
或，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：设，
原方程为：，即，
，
或，
当时，，
，
或；
当时，，
，
或；
综上，或或或．
2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)方程的两根分别是和，理由见详解
【分析】
本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想，
（1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可
（2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可．
【详解】（1）
解：令，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
综上，原方程的解为，，
（2）
一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别是和．
对点特训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）设、是方程的两个实数根，则 ．
【答案】2023
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由进行求解即可．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
例题2．（23-24九年级下·江西九江·期中）已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于的方程的两根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
精练
1．（23-24八年级下·江西宜春·期中）关于x的方程的两个实数根互为相反数，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是根与系数的关系．，是一元二次方程的两根时，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．
【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则
，即，
当时，方程无解，故舍去．
，
故答案为：
2．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得．
【详解】解：设方程的另一根为，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
解得，
即方程的另一根为，
故答案为：．
对点特训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值
典型例题
例题1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查根与系数的关系，完全平方公式变形．根据题意先将通分得，再计算和的值，代入通分式子即可．
【详解】解：∵，
∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
例题2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∵，
∴，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵，，，
∴，
解得，
故m的值为．
精练
1．（2024·湖南岳阳·一模）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程根与系数的关系：．
由根与系数的关系可得：，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是，
，
，
故答案为：8．
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程．
(1)如果方程有实数根，求的取值范围；
(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式是解题的关键．
（1）由题意知，计算求解即可；
（2）由题意知，，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得，；
（2）解：由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴的值为．
对点特训六：根的判别式和韦达定理综合应用
典型例题
例题1．（2024·天津和平·一模）已知，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求一元二次方程的根；
(3)若，则的值为______．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据题意，由一元二次方程根的判别式，解不等式即可得到答案；
（2）将代入原方程得到，因式分解法解一元二次方程即可得到答案；
（3）根据题意，由一元二次方程根与系数的关系直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，因式分解得，
或，解得，；
（3）解：，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的判别式、解不等式、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程性质与解法是解决问题的关键．
例题2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式，若存在实数n，当时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是________， _______．
(2)已知代数式，
① 若，求b的值；
② 若，b为整数，求所有整数b的和．
【答案】(1)0，3；3
(2)①1；②4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系；
（1）根据新定义得出关于x的一元二次方程，解方程可得代数式的不变值，再根据最大不变值与最小不变值的差记作A计算即可；
（2）①根据可知，关于x的一元二次方程只有一个实数根，即，据此可求b的值；
②根据题意得出关于x的一元二次方程，设方程的两根为，利用根与系数的关系求出，可得，然后根据，得出关于b的不等式组，解不等式组求出所有符合条件的b的值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：，
∴代数式的不变值是0，3；
∴，
故答案为：0，3；3；
（2）①由题意得，即，
∵，
∴关于x的一元二次方程只有一个实数根，
∴，
解得：；
②由题意得，即
设方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，b为整数，
∴当时，可得，
解得：；
当时，可得，
解得：；
∴所有整数b的值为，0，2，3，
∴所有整数b的和为．
精练
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
【答案】（1）结论正确，理由见解析；（2）结论正确，理由见解析；实践探究：
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
（1）将代入，即可判断；
（2）将代入，即可判断；
实践探究：由可推出是方程的根，设方程的另外一个根是，根据根与系数的关系可得：，进而得到；将代入可推出是方程的一个根，设方程的另外一个根为，根据根与系数的关系可得，进而得到，即可求解．
【详解】解：（1）结论正确，理由如下：
令代入得，符合题意；
（2）结论正确，理由如下：
令代入得：，即，符合题意；
实践探究：
∵
，
是方程的根．
设方程的另外一个根是，则，
；
又，
是方程的一个根，
设方程的另外一个根为，
则，
，
．
2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程．
(1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式．
【答案】(1)方程是连根方程
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键．
（1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可；
（2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可；
（3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴是连根方程．
（2）
解：∵方程（是常数）是“连根方程”，
设的两个根为，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为：，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴．
一、单选题
1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：A、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；
B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
C、∵，∴方程没有实数根，不合题意；
D、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意．
故选：B．
2．（2024·河南濮阳·一模）已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】解：
∵
∴即
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以，可得结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024，
∴，
∴，
∴，
∴是方程一定有实数根．
故选：D
4．（2024·重庆·二模）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握每两队之间都进行一场比赛的意义是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选C．
5．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2 B．和2 C．2和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程计算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一个根即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
原方程可化为，
设方程的另一个根为，则，
．
故选：B．
6．（2024·湖南常德·一模）某种商品原价是200元，经两次降价后的价格是160元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该商品平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数 的值可能是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于的不等式是解答此题的关键．若一元二次方程没有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即且，
，且
故选：D．
8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴，
∴所以的最小值为，
故选：B．
二、填空题
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x的方程的一个根是1，则另一个根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握的两根为，则有成为解题的关键．
设关于x的方程的两根分别为1和a，然后根据根与系数的关系列关于a的方程求解即可．
【详解】解：设关于x的方程的两根分别为1和a，
则有：，即：．
故答案为：．
10．（23-24八年级下·北京·期中）关于x的方程的一个根为，则另一个根是 ；关于x的方程的两个根分别为、5，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，即；根据根与系数的关系可得，即，据此可得答案．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：设方程的另一个根为，
∴，
∴；
∵关于x的方程的两个根分别为、5，
∴，即，
∴，
故答案为：；．
三、解答题
11．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)下列方程是“差积方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．
【答案】(1)①②
(2)或，
(3)
【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解．
本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：①，
即，
解得：，
，
是差积方程；
②，
即，
解得，
，
是差积方程；
③，
即，
解得：，，故③不是差积方程；
故答案为：①②；
（2）解：，
即，
解得：，，
是差积方程，
，
即或．
解得：或，
（3）解：，
解得：，
，
是差积方程，
，
即，
即．
12．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元
(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用：
（1）设设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【详解】（1）解：设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，

两边同乘得：，
解得：，
经检验：为该分式方程的解，且符合题意．
答：甲种灯笼26元，乙种灯笼35元；
（2）解：①，
故y与x的函数解析式为
②，
∴函数在对称轴时有最大值．
∵销售部门规定其销售单价不高于每对65元
，
∴乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大．衔接点04 一元二次方程
1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根
3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。
1、一元二次方程根的判别式
一元二次方程（均为常数）的判别式.
（1）时，（）有两个不相等的实数根；
（2）时，（）有两个相等的实数根；
（3）时，（）没有实数根.
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方
式+正数”的形式.
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程有两个根分别是，则：
，，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果的两个根分别为，则：
，这一关系式也被称为韦达定理.
对点特训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数
典型例题
例题1．（2024·安徽·三模）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
例题2．（2024·四川泸州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
精练
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
对点特训二：根据根的个数求参数
典型例题
例题1．（2024·北京大兴·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·上海静安·二模）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是 ．
精练
1．（2024·四川广安·二模）若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
对点特训三：解一元二次方程
角度1：直接开平方法
典型例题
例题1．（23-24七年级下·河北保定·期中）若，则等于（ ）
A．4 B． C． D．或4
例题2．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值：
(1)；
(2)．
精练
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求满足下列各式x的值
(1)；
(2)．
角度2：配方法
典型例题
例题1．（安徽省蚌埠市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）用配方法解方程时，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·甘肃陇南·一模）解方程：．
精练
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：
角度3：因式分解法
典型例题
例题1．（23-24九年级下·四川眉山·期中）方程的解为 ．
例题2．（23-24八年级下·安徽池州·期中）（1）解方程：
（2）解方程：
精练
1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用适当的方法解下列方程．
(1)．
(2)．
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
角度4：利用求根公式求解
典型例题
例题1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)．
例题2．（2024·陕西西安·三模）解方程：．
精练
1．（23-24八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程
(1)（公式法）．
2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）解方程．
(1)；
角度5：换元法求解
典型例题
例题1．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合题意，舍去）
原方程的解是．
请模仿上面的方法解方程：
例题2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
精练
1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若，则的值为___________；
(2)解方程：．
2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
对点特训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）设、是方程的两个实数根，则 ．
例题2．（23-24九年级下·江西九江·期中）已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ．
精练
1．（23-24八年级下·江西宜春·期中）关于x的方程的两个实数根互为相反数，则k的值是 ．
2．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根为 ．
对点特训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值
典型例题
例题1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
例题2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.
精练
1．（2024·湖南岳阳·一模）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程．
(1)如果方程有实数根，求的取值范围；
(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．
对点特训六：根的判别式和韦达定理综合应用
典型例题
例题1．（2024·天津和平·一模）已知，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求一元二次方程的根；
(3)若，则的值为______．
例题2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式，若存在实数n，当时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是________， _______．
(2)已知代数式，
① 若，求b的值；
② 若，b为整数，求所有整数b的和．
精练
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程．
(1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式．
一、单选题
1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南濮阳·一模）已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
4．（2024·重庆·二模）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2 B．和2 C．2和 D．和
6．（2024·湖南常德·一模）某种商品原价是200元，经两次降价后的价格是160元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数 的值可能是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
二、填空题
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x的方程的一个根是1，则另一个根是 ．
10．（23-24八年级下·北京·期中）关于x的方程的一个根为，则另一个根是 ；关于x的方程的两个根分别为、5，则的值为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)下列方程是“差积方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．
12．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？

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