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专题03 预备知识三：集合的基本运算
1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集
2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质
3、根据并、交集运算的性质求参数问题
1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，
记作，即．
2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，
记作，即．
3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，
即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频结论
（1）．
（2）,．
对点特训一：交集
角度1：交集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·山东聊城·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·全国·模拟预测）若集合，则集合的真子集的个数为 ．
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
角度2：根据交集的结果求集合或参数
典型例题
例题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合..若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
精练
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合，若的子集有4个，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 .
角度3：根据交集的结果求元素个数
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（23-24高一上·广东珠海·期中）设，，若，写出由实数所有可能值组成的集合 .
精练
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
2．（23-24高三上·山西临汾·期中）设集合，，则满足且的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
对点特训二：并集
角度1：并集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若集合或，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
精练
1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
角度2：根据并集的结果求集合或参数
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）设集合．若，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合．
(1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；
(2)若，求实数a的取值范围．
精练
1．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知集合，，且，则实数n的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，.
(1)若，求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
角度3：根据并集的结果求元素个数
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知集合，则满足的实数的个数为（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（2024·辽宁沈阳·三模）设集合，则满足的集合B的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合，若，满足条件的集合B有 个．
对点特训三：补集
角度1：补集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（2024·全国·二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
角度2：根据补集运算确定集合或参数
典型例题
例题1．（23-24高一·全国·课后作业）设集合，全集,若,则有（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合
(1)若，求；
(2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
精练
1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 .
2．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值
对点特训四：集合的并交补
角度1：并交补混合运算
典型例题
例题1．（2024·天津·二模）设集合，则（ ）．
A． B． C． D．
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
精练
1．（2024·吉林延边·一模）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，
(1)求集合中的所有整数；
(2)若，求实数的取值范围.
例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，集合．
(1)求和；
(2)设，若，求实数a的取值范围．
例题3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
精练
1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，若且，求实数的取值范围.
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
3．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围.
对点特训五：图
典型例题
例题1．（2024·广西南宁·一模）已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ）

A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）全集，集合的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·宁夏银川·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，为除以3余1的整数的集合，则的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·上海松江·二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
8．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（ ）
A．集合的真子集有个 B．
C． D．，
10．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若．则m的取值范围是 ．
12．（2024·海南·模拟预测）已知集合，若，则 .
四、解答题
13．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知集合，
(1)当时，求；
(2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围．
14．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；
②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值．专题03 预备知识三：集合的基本运算
1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集
2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质
3、根据并、交集运算的性质求参数问题
1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，
记作，即．
2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，
记作，即．
3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，
即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频结论
（1）．
（2）,．
对点特训一：交集
角度1：交集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·山东聊城·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由交集的定义求解.
【详解】集合，则.
故选：D
例题2．（2024·全国·模拟预测）若集合，则集合的真子集的个数为 ．
【答案】3
【分析】根据交集运算求出，然后由n元集合的真子集个数为可得.
【详解】因为，
所以，所以集合的真子集的个数为．
故答案为：3
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合交集运算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
角度2：根据交集的结果求集合或参数
典型例题
例题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合..若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可.
【详解】集合..
，
.
故选：C
例题2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
【答案】或，
【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解.
【详解】集合，集合，且，
若，则，即，此时满足，即满足题意；
若，则，即，此时若要使得，
则还需或，解得或，
注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为： 或，.
精练
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合，若的子集有4个，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，得到中有2个元素，且这两个元素为和，即可求解.
【详解】由集合，
因为，且的子集有4个，可得中有2个元素，
则这两个元素为和，所以.
故选：C.
2．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 .
【答案】2
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解．
【详解】集合，集合，，则是的子集，
当时，等式不成立，舍去，
当时，解得，此时，，满足题意，
故．
故答案为：2．
角度3：根据交集的结果求元素个数
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【详解】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），
若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述，或.
故选：B
例题2．（23-24高一上·广东珠海·期中）设，，若，写出由实数所有可能值组成的集合 .
【答案】
【分析】分和讨论即可.
【详解】由解得或，则，
因为，所以，
当时，，满足题意；
当时，，则有或，解得或.
综上，实数所有可能值组成的集合为.
故答案为：
精练
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定集合A中可能的元素即可得解.
【详解】由，，得集合A中必有1，可能有2或3，
因此集合A可视为与的子集的并集，而的子集有4个，
所以满足条件的集合的个数为4.
故选：C
2．（23-24高三上·山西临汾·期中）设集合，，则满足且的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出满足条件的集合，可得出结果.
【详解】已知集合，，则满足且的集合有：、、、，共个.
故选：B.
对点特训二：并集
角度1：并集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合，根据并集的定义写出.
【详解】，
.
故选：D.
例题2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若集合或，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
运用集合的并集的定义，借助于数轴表示即得.
【详解】由或可知，
.
故选：C.
精练
1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的运算可得答案．
【详解】因为，，
所以.
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解.
【详解】由题，，，
则.
故选：D.
角度2：根据并集的结果求集合或参数
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）设集合．若，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据，以及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】因为，所以，所以．
由，得或；
由得，所以．此时符合题意，
故选：B．
例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合．
(1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由判别式为0可得；
（2）由得，然后对分类讨论可得；
【详解】（1）集合B元素个数为1．，
即，解得：；
（2）∵，∴
对集合B讨论：
当时，即时，，满足条件；
当时，即，此时，满足条件；
当时，要满足条件，必有，
由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数a的取值范围是
精练
1．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知集合，，且，则实数n的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．
【答案】C
【分析】由题意得，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.
【详解】由题意，所以，而，即，
所以或，解得或满足题意.
故选：C.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，.
(1)若，求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值；
（2）由题意得出，求得值后，再代入检验．
【详解】（1）由题可得，由，得.
从而2，3是方程的两个根，即，解得.
（2）因为，.
因为，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.
角度3：根据并集的结果求元素个数
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解.
【详解】由于，，，所以或,
故选：B
例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知集合，则满足的实数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，得，则可得或，求出后，再根据集合中的元素具有互异性判断即可.
【详解】因为，所以，
因为，
所以或，
当时，，此时集合中有两个1，所以不合题意，舍去，
当时，得或，
当时，集合和集合中均有两个1，所以不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
综上，，
所以满足的实数的个数为1，
故选：B
精练
1．（2024·辽宁沈阳·三模）设集合，则满足的集合B的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】B
【分析】根据集合交运算的结果，结合集合的元素，直接求解即可.
【详解】，又，则的元素必有，
故可以为如下个集合中的任意一个：
.
故选：B.
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合，若，满足条件的集合B有 个．
【答案】4
【分析】利用并集的概念分类讨论即可.
【详解】根据题意可知：若集合B有一个元素，则，
若集合B有两个元素，则或，
若集合B有三个元素，则，综上满足条件的B有4个.
故答案为：4.
对点特训三：补集
角度1：补集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由补集和交集的定义求解.
【详解】集合，
，，.
故选：C
例题2．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】因为全集，集合，
所以.
故选：B.
精练
1．（2024·全国·二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】全集，，则，而，
所以.
故选：B
2．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】由题意得，
阴影部分表示的集合为．
故选：C.
角度2：根据补集运算确定集合或参数
典型例题
例题1．（23-24高一·全国·课后作业）设集合，全集,若,则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式得到，再求出，利用数轴法即可得到.
【详解】由，解得，故
因为，，所以，
又因为，由数轴法得.
故选：C.
例题2．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合
(1)若，求；
(2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的概念求出答案；
（2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案.
【详解】（1）时，，
故；
（2）选①，，则，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是；
选②，，故，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是；
选③，，故，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是.
精练
1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先得到，从而由交集为空集得到的取值范围.
【详解】由题意得，故，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：
2．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值
【答案】
【分析】根据补集运算求解即可.
【详解】由题意可知：，
则，解得，
所以实数的值为.
对点特训四：集合的并交补
角度1：并交补混合运算
典型例题
例题1．（2024·天津·二模）设集合，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用交集与并集的概念计算即可.
【详解】易知，所以.
故选：C
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，
因为，，，
所以，则.
故选：A．
精练
1．（2024·吉林延边·一模）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示，
，所以.
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据Venn图结合交、并、补集的定义可得.
【详解】如图，因为，且，所以．
故选:B．

角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，
(1)求集合中的所有整数；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，0，1，2，3；
(2).
【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数；
（2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围.
【详解】（1）不等式，解得，得
∴集合中的所有整数为，0，1，2，3；
（2）∵，∴，
①当时，，即，成立；
②当时，由，有，解得，
所以实数的取值范围为.
例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，集合．
(1)求和；
(2)设，若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案；
（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）由题意，可得，
所以，．
（2）因为，若，
所以解得，所以a的取值范围是．
例题3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据集合运算的定义计算；
（2）由已知得，再由集合包含的关系得出不等式，从而得出结论．
【详解】（1）由已有，或，
∴；
（2）∵，∴，
若，则，则，满足题意；
若，则，解得，∴，
综上，的取值范围是．
精练
1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，若且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.
（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得.
【详解】（1），且，所以.
若，此时，解得；
若，此时，且，解得，
则实数的取值范围是.
（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数.
或，，要使中至少存在一个整数，
则，解得，则实数的取值范围是.
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.
（2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，∴.
（2），则是的子集，，
当，即时，，满足题意；
当时，或解得：
综上得的取值范围是：.
3．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可.
【详解】∵.
假设，则
①，有，解得；
②，有，a无实数解；
③，有，解得；
④，有，a无实数解.
∴时，，
即满足的实数a的取值范围是
对点特训五：图
典型例题
例题1．（2024·广西南宁·一模）已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形所表示的含义再结合交集和补集的定义即可.
【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，
又，所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是.
故选：C.
例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）全集，集合的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，得到阴影部分表示的集合.
【详解】图中阴影部分表示的集合为中元素去掉的元素后的集合，
，故图中阴影部分表示的集合为.
故选：B
精练
1．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.
【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.
故选：D.
2．（2024·宁夏银川·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求集合A，结合集合间的运算分析求解.
【详解】由题意可得：，
可得，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】易知，结合交集的概念与运算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，共3个元素.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，为除以3余1的整数的集合，则的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】求出集合B，由交集运算可得.
【详解】由于除以3余1的数可以写成，，故．
又，所以，
所以的元素个数是4．
故选：D．
3．（2024·上海松江·二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根据交集概念求解.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D.
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
【详解】因为中恰有三个元素，所以或或，
结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.
故选：D．
5．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由并集和补集的定义求解即可.
【详解】因为，
故，所以.
故选：D.
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.
【详解】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．
故选：C
8．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用并集及补集的定义即可求解.
【详解】因为，
所以或，
所以.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（ ）
A．集合的真子集有个 B．
C． D．，
【答案】BCD
【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个判断A，依题意可得，即可判断B，根据，判断C，由判断D.
【详解】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确；
对于B：因为且，所以，则，故B错误；
对于C：因为，
显然，，所以不是的子集，故C错误；
对于D：依题意，
所以，显然，故D错误.
故选：BCD
10．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以阴影部分可表示为，A对；
且，阴影部分可表示为，而，故C错误；
且，阴影部分可表示为，D对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求.
故选：AD.
三、填空题
11．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若．则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，再列出不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，所以，故，
所以且，
所以，解得.
故答案为：.
12．（2024·海南·模拟预测）已知集合，若，则 .
【答案】2
【分析】根据交集结果可知，结合子集关系分析求解.
【详解】因为，可得，
可知，且，所以.
故答案为：2.
四、解答题
13．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知集合，
(1)当时，求；
(2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）选条件①或②，都有，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，所以，或，
当时，，
因此，.
（2）解：选条件①或②，都有，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上：，因此，实数的取值范围为.
14．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；
②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值．
【答案】(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由见解析
(2)
【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；
（2）分别设，，以及时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值，
即可求解.
【详解】（1）①因为，且，
所以不是的3元完美子集；
②因为，且，
而，
是的3元完美子集．
（2）不妨设．
若，则，且，
则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾；
若，则，而，符合题意，
此时，即,
此时．
若，则，于是，，若存在3元完美子集，
则或，即，所以．
综上，的最小值是12．
【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义.

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