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专题05 预备知识五：全称量词与存在量词
1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词
2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性
3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系
全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
对点特训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.
【详解】对于A，因为，所以，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，当时，，C正确；
由可得均为无理数，故D错误，
故选:C.
例题2．（23-24高三下·全国·自主招生）下列哪些命题是真命题？
（1）是的充要条件
（2）
（3），使得
（4）若为无理数，则为无理数
【答案】（1）（2）（3）
【分析】逐一判断命题的真假即可.
【详解】对（1）显然是成立的，故（1）是真命题；
对（2）当时，，，故（2）是真命题；
对（3）取，其中是不大于的最大整数，即的整数部分，则，
令，则，故（3）为真命题；
对（4）取，，可以验证（4）是假命题.
故答案为：（1）（2）（3）
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（ ）
①，；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.
【详解】，，①正确；当时，，②错误；
当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误，
所以正确命题的个数为2.
故选：B
2．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】A. 解不等式判断；B.解方程判断； C. 解方程判断； D. 由判断.
【详解】A. 由，得，故错误；
B.由得：或，故正确；
C. 由得：，故错误；
D. 由，故正确；
故选：AC
对点特训二：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：
命题的否定为：为．
故选：C．
例题2．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题，
则其否定为.
故选:B
精练
1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：D
2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定.
【详解】将原命题的任意量词换成存在量词，结论中的“”换成“”就得到原命题的否定为：
，，
从而A正确.
故选：A
对点特训三：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求实数a的取值范围.
【详解】由题可知，，则有，
因为，所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，
故选:C.
例题2．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解.
【详解】因为为真命题，
所以，解得.
故选：A.
例题3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】综合应用含量词命题的否定和真假的判断即可求得结果.
【详解】若命题是假命题，则命题是真命题.
因为，
所以，
只需，
即，
故选：D.
例题4．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得：，为真命题，从而得，求解即可.
【详解】∵为假命题，
∴：，为真命题，
∴，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：
例题5．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案.
【详解】因为，为假命题，所以有解，
所以，解得或.
故答案为：或
例题6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题中条件可得方程无实数解，则，解出即可.
【详解】由题意可知方程无实数解，
所以，解得，
故实数m的取值范围为.
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围.
【详解】若命题“”是真命题，
则当时，不等式为对恒成立；
当时，要使得不等式恒成立，则，解得
综上，的取值范围为.
故选：D.
2．（23-24高三上·宁夏银川·期中）“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据全称量词命题为真求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若，恒成立，
当时恒成立，
当时，解得，
综上可得，
所以“，恒成立”是“”的充要条件.
故选：C
3．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得.
【详解】由题意得，又，此时，故.
故选：A.
4．（23-24高三上·天津南开·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
所以 ，
故 “”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意得有解，再根据一元二次方程根的判别式即可得解.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以命题“，使”是真命题，
即方程有解，
所以，得，
故实数的一个可能取值为（满足即可）．
故答案为：（答案不唯一）.
6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围.
【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”，
∴.
故答案为：
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据命题“，”的否定是“，”直接得出结果.
【详解】命题“，”的否定是“，”．
故选：C．
2．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据题目条件，结合含有量词的命题的否定即可求解．
【详解】命题“，”的否定是，．
故选：A．
3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（ ）
①，；②，；③至少有一个实数，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.
【详解】①由，可得或，为真命题；
②由，为假命题；
③当时，为真命题.
故选：C
4．（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，有 D．，有
【答案】C
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判定方法逐项判断即得.
【详解】对于A，当时，，A是假命题；
对于B，当时，，B是假命题；
对于C，当时，满足，C是真命题；
对于D，当且仅当时，，因此不存在，使得，D是假命题.
故选：C
5．（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解.
【详解】对于A，当时，，为真命题，故A错误；
对于B，因为，所以，则，为真命题，故B错误；
对于C，当时，，为假命题，故C正确；
对于D，由，得，为真命题，故D错误.
故选：C.
6．（22-23高二下·山西运城·阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．，使 B．，
C．， D．，使
【答案】B
【分析】
对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断.
【详解】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误，
对于B，因为时，，所以，所以B正确，
对于C，当时，，所以C错误，
对于D，由，得，所以D错误，
故选：B
7．（23-24高一上·辽宁·期末）已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围.
【详解】“，方程有解”是真命题，故，解得：，
故选：B
8．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.
【详解】因为命题p：为真命题，
所以解得，
结合选项可得实数a的值不能是，
故选:D.
二、多选题
9．（23-24高一上·江西·期中）命题，是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.
【详解】由，，得，.
由于命题p是假命题，所以是真命题，所以在时恒成立，则，解得.
故选：BCD.
10．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（ ）
A． B．
C．0 D．
【答案】BC
【分析】根据题意，求得当命题为真命题时，的取值范围，即可得到结果.
【详解】若命题为真命题，则，解得，则当命题为假命题时，.
故选：BC
三、填空题
11．（23-24高一上·四川成都·开学考试）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】或.
【分析】根据命题为假，得到，解得答案.
【详解】命题“，”是假命题，故，
解得或.
故答案为：或.
12．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知命题，.若为真命题，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，命题，，是真命题，
所以，
解得，所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；
（2）根据题意可得 ，结合得到，解得即可．
【详解】（1）因为命题：，为假命题，
所以命题的否定为：，，为真命题，
且，解得．
∴．
（2）由解得，即，
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
又，所以，解得，
所以实数的取值集合为．
14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，.
(1)若“命题，”是真命题，求的取值范围；
(2)若“命题，”是真命题，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解不等式求集合A、B，再根据题意判定两集合的关系计算范围即可；
（2）根据题意判定两集合的关系计算范围即可.
【详解】（1）由题意可知，即,
若“命题，”是真命题，则，
所以，
故的取值范围为：；
（2）若“命题，”是真命题，则，
结合上问可知：
或，
所以或，
所以.
故的取值范围为：专题05 预备知识五：全称量词与存在量词
1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词
2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性
3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系
全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
对点特训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高三下·全国·自主招生）下列哪些命题是真命题？
（1）是的充要条件
（2）
（3），使得
（4）若为无理数，则为无理数
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（ ）
①，；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
对点特训二：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练
1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
对点特训三：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围为 .
例题5．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是 .
例题6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 .
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·宁夏银川·期中）“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·天津南开·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 .
6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ．
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（ ）
①，；②，；③至少有一个实数，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，有 D．，有
5．（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·山西运城·阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．，使 B．，
C．， D．，使
7．（23-24高一上·辽宁·期末）已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知命题p：为真命题，则实数a的值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、多选题
9．（23-24高一上·江西·期中）命题，是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（ ）
A． B．
C．0 D．
三、填空题
11．（23-24高一上·四川成都·开学考试）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
12．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知命题，.若为真命题，则实数的取值范围 .
四、解答题
13．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合．
14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，.
(1)若“命题，”是真命题，求的取值范围；
(2)若“命题，”是真命题，求的取值范围.

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