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专题02 预备知识二：集合间的基本关系
1、理解集合之间的包含与相等的含义；
2、能识别给定集合的子集，了解空集含义
3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换
1、子集、空集与Venn图
1.1子集的定义：
一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的 子集，记作（或），读作“ 包含于 ”（或“包含”）。
1.2 Venn图：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示：
要点说明：
①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法；
②规定：空集是任何集合的子集；
③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；
④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；
⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合．
⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．
2、集合的相等
如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合 相等，记作。
要点说明：
①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；
　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；
③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。
④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
⑤集合中的关系与实数中的结论类比
实数 集合
包含两层含义：，或 AB包含两层含义：，或
若，且，则 若AB，且AB，则A＝B
若，，则 若AB，BC，则AC
3、真子集
真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
要点说明：
理解真子集的定义要注意一下几点：
①空集是任何非空集合的真子集；
②对于集合A，B，C，如果，，那么；
③若，则与有两种可能的关系：即或；
4、空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；
要点说明：
空集的性质：
①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；
③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。
④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；
对点特训一：判断集合子集（真子集）个数
典型例题
例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可.
【详解】易知集合有2个元素，
所以集合的子集个数是.
故选：D.
例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足的集合M的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据子集的概念可得集合的个数.
【详解】因为，所以集合可能为：，，，共4种情况.
故选：C
精练
1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据，求出集合中元素的个数，根据个元素的集合，其子集个数为个.
【详解】，，
当，时，，
当，或，时，，
当，时，，
，
中元素的个数是个，
的子集个数为个.
故选：A.
2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为 ．
【答案】8
【分析】首先计算出集合A，再根据子集个数的公式得出答案.
【详解】由题意可知，所以集合A的子集的个数为
故答案为：8
对点特训二：求集合子集（真子集）
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合，结合选项可得答案.
【详解】因为，所以的子集有，；
故选：D.
例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足 的集合有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.
【详解】因为，即有 ，
所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．
故选：AC.
精练
1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；
是集合的真子集，故C正确.
故选：C.
2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足 ，则这样的集合M可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据子集和真子集的概念进行求解.
【详解】因为 ，故或或，
ABC正确，D错误.
故选：ABC
对点特训三：判断集合的包含关系
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合，元素的特征可判断它们的包含关系.
【详解】因为，，
故
故选：B
例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意求出，进而，结合韦恩图即可求解.
【详解】由，得，即，
所以，即.
故选：B
精练
1．（2024·广东·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的元素特性，可得集合间的关系.
【详解】由集合，，得.
故选：D
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简集合，由元素与集合，集合与集合之间的关系即可判断.
【详解】
由已知，，从而 ，不是的子集.
故选：C.
对点特训四：根据集合的包含关系求参数
典型例题
例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据A是B的子集，分类讨论的值，然后检验是否符合题意.
【详解】由已知得,若,解得，
此时，符合题意;
若,解得,
此时,不符合题意;
若,解得,此时,不符合题意,
综上所述,.
故选:C.
例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得.
【详解】集合，，由，得，
所以的取值范围是.
故选：A
精练
1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择.
【详解】因为，故．
①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立；
②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立；
③当时，即，则，，故成立，故.
故选：C．
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ．
【答案】
【分析】
根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【详解】由题意，所以或，则或，
所以实数的取值集合为.
故答案为：.
对点特训五：判断两个集合是否相等
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样.
【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确；
B：和是不同元素，故B错误；
C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误；
D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误.
故选：A
例题2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
与集合相等的集合序号是 .
【答案】④
【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可.
【详解】对于①，因为，设，
则，
不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等；
对于②，令，则，
显然，但，即②与集合不相等；
对于③，当时，此时，即，
而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等；
对于④，令，
则，其中，
所以④与集合相等；
故答案为：④
精练
1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．整数，整数集
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可.
【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合；
B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；
C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合；
D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合；
故选：C.
2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可.
【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合；
对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合；
对于选项C，,所以是相等集合；
对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合.
故选：BC.
对点特训六：根据两个集合相等求参数
典型例题
例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．0 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】
分二次项系数是否为0结合韦达定理求解.
【详解】
由题意知：为方程的根，
当时，；
当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时.
故选:B.
例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据集合关系，可得，从而可求解.
【详解】由题意得，
则，解得.
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据集合相等的概念列式求解即可.
【详解】∵集合，
当且时，结合，解得，
经检验，不符合元素的互异性，舍去；
当且时，结合，解得，经检验，符合题意，
故.
故选：C.
2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 .
【答案】
【分析】根据集合，利用元素的互异性分类讨论求解.
【详解】①若，消去b得，
当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，
故，，即，此时集合B中的三个元素也相同，
∴舍去，即此时无解．
②若，消去得，同理，
∴，经检验满足题意
故答案为：
对点特训七：空集
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥其中不正确的是（ ）
A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
【答案】D
【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可.
【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对；
由空集的性质知，、、 ，③④错，⑤对；
由元素与集合关系知，，⑥对.
故选：D
例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解.
【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解，
则，解得，
所以a的取值范围值是.
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（ ）
（1） ；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据空集的定义，可得答案.
【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1） 正确；
对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误；
对于（3），，所以错误；
对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确．
所以正确的有：（1），（4）共2个．
故选：B．
2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ．
【答案】
【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当时，满足题意；
当时，应满足，解得；
综上可知，a的值的集合为．
故答案为：．
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解.
【详解】,
所以，，，故ABD错误,C正确,
故选：C
2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系.
【详解】由题意可得，所以.
故选：A
3．（2024·广东广州·一模）设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可.
【详解】易知，显然，且互不包含.
故选：A
5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，即可得出两集合之间的关系.
【详解】由题意， 在中，，，
∴，∴ ，
故选：B.
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合，与集合对比，结合子集的定义即可得答案．
【详解】集合,，，,，
．
故选：B．
7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【详解】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D
8．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解.
【详解】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以.
故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，只有当和时，，故，D正确.
故选：BD
10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合恰有两个子集，则的值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】AB
【分析】根据集合为单元素集，即可分类对讨论求解.
【详解】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素，
当时，，符合要求，
当时，，此时，符合要求，
故或，
故选：AB
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用建立不等关系，求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由于方程中项含参数，需要对其分两种情况和讨论即可.
【详解】由题意知，当时，，满足题意；
当时，方程的根是，由得：，即或，
解得或，
综上，的值为.
故答案是：.
四、解答题
13．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合
(1)若是空集，求的取值范围
(2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案.
（2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解；
【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意；
当即时解集为空集，
所以的取值范围是.
（2）当时，原方程可化为，得，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得.
所以当或时，集合A中只有一个元素．
14．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则.
(1)能否为单元素集合，为什么
(2)求出只含有两个元素的集合；
(3)满足题设条件的集合共有几个 能否列出来
【答案】(1)不为单元素集合，理由见解析；
(2)或或；
(3)共7个，，，，，，，.
【分析】（1）假设为单元素集合，其元素为，则得到方程，求出，不为正整数，得到结论；
（2）分析得到，则，故只需满足，从而由12的正整数公约数求出答案；
（3）在（2）的基础上进行求解.
【详解】（1）假设为单元素集合，其元素为，则，
故，解得或，均不是正整数，不满足，
故假设不成立，不为单元素集合；
（2）由题意得，则，
故只需满足，
其中能整除的正整数有，
令，即时，，此时集合，
令，即时，，此时集合，
令，即时，，此时集合，
令，即时，，此时集合，
令，即时，，此时集合，
令，即时，，此时集合，
综上：或或；
（3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现，
故满足条件的集合为，，，，，，，共7个.专题02 预备知识二：集合间的基本关系
1、理解集合之间的包含与相等的含义；
2、能识别给定集合的子集，了解空集含义
3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换
1、子集、空集与Venn图
1.1子集的定义：
一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的 子集，记作（或），读作“ 包含于 ”（或“包含”）。
1.2 Venn图：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示：
要点说明：
①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法；
②规定：空集是任何集合的子集；
③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；
④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；
⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合．
⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．
2、集合的相等
如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合 相等，记作。
要点说明：
①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；
　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；
③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。
④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
⑤集合中的关系与实数中的结论类比
实数 集合
包含两层含义：，或 AB包含两层含义：，或
若，且，则 若AB，且AB，则A＝B
若，，则 若AB，BC，则AC
3、真子集
真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
要点说明：
理解真子集的定义要注意一下几点：
①空集是任何非空集合的真子集；
②对于集合A，B，C，如果，，那么；
③若，则与有两种可能的关系：即或；
4、空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；
要点说明：
空集的性质：
①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；
③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。
④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；
对点特训一：判断集合子集（真子集）个数
典型例题
例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足的集合M的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
精练
1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为 ．
对点特训二：求集合子集（真子集）
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足 的集合有（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足 ，则这样的集合M可能为（ ）
A． B． C． D．
对点特训三：判断集合的包含关系
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，则 （ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（2024·广东·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
对点特训四：根据集合的包含关系求参数
典型例题
例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（ ）
A． B． C．1 D．3
例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（ ）
A． B．0 C． D．1
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ．
对点特训五：判断两个集合是否相等
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
例题2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
与集合相等的集合序号是 .
精练
1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．整数，整数集
B．，
C．，
D．，
2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（ ）
A．
B．
C．
D．
对点特训六：根据两个集合相等求参数
典型例题
例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．0 B．或 C． D．
例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ．
精练
1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 .
对点特训七：空集
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥其中不正确的是（ ）
A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 .
精练
1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（ ）
（1） ；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ．
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·一模）设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
8．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合恰有两个子集，则的值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ．
12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 .
四、解答题
13．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合
(1)若是空集，求的取值范围
(2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来
14．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则.
(1)能否为单元素集合，为什么
(2)求出只含有两个元素的集合；
(3)满足题设条件的集合共有几个 能否列出来

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