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专题08 预备知识八：二次函数与一元二次方程、不等式
1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义
2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性
3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养
知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根
()的解集
()的解集
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
对点特训一：一元二次不等式（不含参）的求解
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由不等式，可化为，解得，
故不等式的解集为.
故选：D.
例题2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）首先将式子因式分解，再解得即可.
【详解】（1）不等式，即，解得，
所以不等式的解集为.
（2）不等式，即，即，
解得，所以不等式的解集为.
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 （ ）
A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1}
【答案】D
【详解】
－x2－2x＋3≥0，即x2＋2x－3≤0 (x－1)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}.
2．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式.
(1);
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.
【详解】（1）不等式，即，解得，
所以不等式的解集为；
（2）不等式，即，解得或，
所以不等式的解集为；
对点特训二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：二次项系数不含参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：.
【答案】答案见解析
【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】不等式，即，
当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为；
当时，解得或，即不等式的解集为或；
当时，解得或，即不等式的解集为或；
综上可得：当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为或，
当时不等式的解集为或.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：．
（2）解关于实数的不等式：．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数即可求得（1）（2）中的不等式解集.
【详解】（1）易知方程的，
由得，解得，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为．
（2）对方程 ，
当时，
即时,不等式的解集为
当时，
即或时,
的根为，
不等式的解集为；
综上可得，时,不等式的解集为，
或时，不等式的解集为.
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案.
【详解】，
当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解，
则3个整数解分别为，故，解得，
当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解，
则3个整数解分别为，故，解得，
当时，不等式解集为，不合要求，
故实数的取值集合为或.
故选：D
2．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1),
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可知，进而求出实数的取值范围；
（2）根据和两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）若不等式的解集为R，
则，
解得，
即实数的取值范围,；
（2）不等式，
①当时，即时，不等式的解集为，
②当时，即或时，
由，解得或，
所以不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
角度2：二次项系数含参
典型例题
例题1．（多选）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集.
【详解】当时，；
当时，或，故A正确；
当时，，
若，则解集为空集；
若，则不等式的解为：，故D正确；
若，则不等式的解为：，故C正确.
故选：ACD
例题2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）答案见解析
【分析】（1）利用二次函数图象得出解得结果；
（2）分成，，，，五种情况讨论一元二次不等式的解集.
【详解】（1）∵R，为真命题，
则函数与x轴有交点，
∴，即，解得或．
∴实数的取值范围是或．
（2）当时，不等式等价于，即；
当时，原不等式化为，
当时，即时，解得或；
当时，即时，原不等式即为，解得；
当时，即时，解得或．
当时，原不等式化为， 解得．
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
精练
1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程）
可因式分解为 ．
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，合理分类讨论，即可求解.
【详解】由题意得：方程可分解为，
若时，不等式即为，解得，不等式的解集为；
若时，令，解得或，
当时，即时，由，解得，此时解集为；
当时，即时，由，解得，此时解集为；
当时，即或时，由，解得，此时解集为；
故答案为：；；；；；；；；；；.
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
对点特训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】AC
【分析】
根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
例题2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意得的两个根为，，且，
，，则，，
则，即，
即，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：D.
2．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ．
【答案】.
【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可.
【详解】因为不等式的解集为或，
所以，且和4为方程的两根，
故，得，
又，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
对点特训四：分式不等式的解法
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果.
【详解】不等式可以转化为.
等价于，∴，
∴，
∴不等式的解集为.
故选：A
例题2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合. 则 .
【答案】
【分析】根据集合交集的概念求解即可答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
精练
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知集合 则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】先化简集合A，进而求得.
【详解】或，
则
故选： A.
2．（23-24高三下·北京·开学考试）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】利用分式不等式的解法列不等式组求解即可.
【详解】等价于，
解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：
对点特训五：不等式恒成立问题
角度1：判别法
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出.
【详解】的解集为,
即恒成立，
当时，即，不符合题意，
当时，则’解得
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B
例题2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果.
【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立．
当时，需满足，
即，解得.
综上可知，实数a的取值范围是．
故选：C
精练
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
2．（多选）（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；
【详解】依题意，命题等价于恒成立，
所以，解得，即，故AB正确，CD错误.
故选：AB.
角度2：分离变量法
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】或，
【分析】首先确定函数的对称轴方程，然后由对称轴与区间的位置关系，列出不等关系，求解即可；不等关系对恒成立，构造函数，利用二次函数的性质求出，即可得到的取值范围.
【详解】函数的对称轴方程为，
因为函数在上是单调函数，
所以或，解得或，
所以，实数a的取值范围为；
由题意，当时，不等式对恒成立，
即 对恒成立，
令 ，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以当时， ，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：或，
例题2．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案.
（2）变换得到，计算函数的最小值得到答案.
【详解】（1）当时，有解，
即在上有解，
又，于是等价于，
故，又，
当且仅当即，即时等号成立，所以
所以实数的取值范围是
（2）当时，恒成立．
因为，且当时有最大值为，
所以等价于．
在区间上的最小值为，故只需即可，
所以实数的取值范围是．
精练
1．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“，使”是假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数.
(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式（其中）.
【答案】(1),．
(2)答案见解析.
【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解；
（2）分类讨论求解即可．
【详解】（1）不等式即为：，
当,时，可变形为：，
即,
又，当且仅当，即时，等号成立，
，即，
实数的取值范围是：,．
（2）不等式，
即，
等价于，
即，
当时，
当时，因为，解不等式得：；
当时，因为，不等式的解集为；
当时，因为，解不等式得：；
综上所述，不等式的解集为：
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
对点特训六：一元二次不等式的实际问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
【答案】(1)100
(2)存在，
【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；
（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元,
则 ,
整理得 , 解得 ,
因为 且 , 所以 , 故 ,
所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,
调整后的研发人员的人数最少为 100 人.
（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得 ,
整理得 ;
由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,
即 恒成立，
因为 ,
当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 ,
又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 .
例题2．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
【答案】(1)第年
(2)第年最大，为万元
【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.
（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）设利润为，则，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第年首次盈利.
（2）首先，
由（1）得平均利润万元，
当且仅当万元时等号成立，
第7年，平均利润最大，为12万元.
精练
1．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式求解.
【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为
．
因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，
所以，即，解得．
因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．
故选：C．
2．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
【答案】(1)
(2)存在
【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，即，解得，
又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得，
由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有，两边同除以，得到，整理得到，
故有，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
即存在这样的满足条件，使得其范围为.
一、单选题
1．（23-24高一下·云南·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案.
【详解】由，得，因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件，
故选：A．
2．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解.
【详解】由题意可知，不等式在R上有解，
∴，解得，
∴实数m的取值范围是.
故选：A.
3．（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】
将代入原不等式，可得，解之即可求解.
【详解】由题意知，当时，可变为，符合题意；
当时，由，得，
即，解得或且；
综上，实数a的取值范围为.
故选：D
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解.
【详解】由使得不等式成立是真命题，
即不等式在有解，
因为，当时，，
所以，即实数的取值范围为.
故选：C.
5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解.
【详解】由得，
其解集等价于，
解得.
故选：B
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】因为不等式的解集是空集，
所以不等式的解集是，
当即 时，
若 ，则 ， 舍；
若 ，则 ， ；
当时，则 ，解得 ，
综上所述 ，
所以条件是条件的充分不必要条件．
故选：A．
7．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知恒成立，
当时，恒成立，
当时需满足，即，求得，
所以实数的取值范围是
故选：C
8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，且和是一元二次方程的两根，
所以，解得
所以不等式可化为，即，
解得，则不等式的解集是．
故选：A
二、多选题
9．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式不同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断.
【详解】
由得，解得，
A：由得，不同；
B：由得，相同；
C：由得且，解得，不同；
D：由得，不同．
故选：ACD．
10．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】对进行分、和讨论即可.
【详解】当时，此时解集为；
当时，此时解集为；
当时，此时解集为；
故选：CD.
三、填空题
11．（2024·云南·模拟预测）已知集合，若且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合，结合集合交集 并集的定义，即可求解.
【详解】由得：，
所以，
因为且，
所以.
故答案为：.
12．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值．
【详解】，即，解集是，
所以，且是方程的两个实数根，
于是由韦达定理可得，
解得不符合题意，舍去）．
故答案为：．
四、解答题
13．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于的不等式的解集是．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）直接将代入不等式即可解出；
（2）使用二次函数知识将二次不等式化为两根式，然后比较系数得到方程组，再解出方程组即可.
【详解】（1）等价于原不等式对成立，即.
解得，所以的取值范围是.
（2）意味着，且.
展开并比较系数可知，故.
而，故，从而，解得，进而得到.
经验证当，时条件满足，所以，.
14．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）若，检验不等式是否恒成立，若，则，可求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，令，结合二次函数的性质可知，和时，可求的取值范围．
【详解】（1）要使恒成立，若，显然，满足题意；
若，则解得，
综上，的取值范围是．
（2）令．
当时，恒成立，则的根一个小于1，另一个大于2．
如图，得即解得，
的取值范围是．专题08 预备知识八：二次函数与一元二次方程、不等式
1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义
2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性
3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养
知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根
()的解集
()的解集
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
对点特训一：一元二次不等式（不含参）的求解
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集.
(1)
(2)
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 （ ）
A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1}
．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式.
(1);
(2)
对点特训二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：二次项系数不含参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：．
（2）解关于实数的不等式：．
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
角度2：二次项系数含参
典型例题
例题1．（多选）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集．
精练
1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程）
可因式分解为 ．
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
对点特训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
例题2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
精练
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ．
对点特训四：分式不等式的解法
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合. 则 .
精练
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知集合 则（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（23-24高三下·北京·开学考试）不等式的解集是 ．
对点特训五：不等式恒成立问题
角度1：判别法
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
例题2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
角度2：分离变量法
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
例题2．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
精练
1．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数.
(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式（其中）.
对点特训六：一元二次不等式的实际问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
例题2．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
精练
1．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
2．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
一、单选题
1．（23-24高一下·云南·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式不同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2024·云南·模拟预测）已知集合，若且，则实数的取值范围是 .
12．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ．
四、解答题
13．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于的不等式的解集是．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值．
14．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

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