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专题11 预备知识十一：函数的单调性与最大（小）值
1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力
2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养
3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
3、常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值
对点特训一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减；证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果；
（2）利用（1）中结果，即可建立不等式组，即可求出结果.
【详解】（1）在上单调递减，证明如下：
任取，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递减.
（2）在上单调递减，
所以，可得，解得，
故实数m的取值范围是．
例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；
【答案】在上单调递增，证明见解析
【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明.
【详解】
在上单调递增，证明如下：设，
；
因为，，，，所以，
所以是在上单调递增.
精练
1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上是增函数.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式；
（2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性.
【详解】（1），；
（2）设，
，
，即
则函数在上是增函数
2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.
(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.
【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明；
【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下：
函数，任取，设，
则，
因为，，则，
故，即，
故函数在上单调递减；
对点特训二：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【分析】先求出定义域，然后由反比例函数的性质可得答案
【详解】的定义域为，
由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，
故选：D
例题2．（23-24高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．，
【答案】D
【分析】由对勾函数的单调性求解即可.
【详解】函数为对勾函数，
由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，.
不能选C，因为不满足减函数的定义.
故选：D.
例题3．（2024高一上·全国·专题练习）函数的单调增区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
【详解】
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图
的单调增区间是．
故选：C.
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（　　）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
【答案】D
【解析】略
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.
【详解】解：函数对称轴为，开口向上，
所以函数，的单调减区间为.
故选：D
3．（23-24高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线，
故函数的单调递减区间是.
故选：C．
对点特训三：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
例题2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得.
【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得
，即，解得.
故答案为：.
例题3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增；证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可；
（2）结合函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）在上单调递增，证明如下：
因为，，
任取，可知，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递增；
（2）由（1）知在上单调递增，
所以，可得，解得
故实数的范围是．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的取值范围是
【答案】（－∞，－1）∪（2，＋∞）
【解析】略
2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为不等式，即可求解.
【详解】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并证明；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明函数在上单调递增；
（2）由（1），根据可得，解之即可求解.
【详解】（1）函数在上单调递增.
证明：设，
则，
由，得，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（2）由（1）知函数在上单调递增，
又，
则，解得，
即实数a的取值范围为.
对点特训四：利用函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可.
【详解】因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又函数在上单调递减，所以，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出函数，的图象，根据一次函数和二次函数的单调性结合图象即可得出答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数，的图象如图，
当时，或1，
由图象可知，当时，函数在上单调递增.
故答案为：.
例题3．（23-24高一上·河北·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】分段函数在R上递减，需要满足在每一段上均单调递减，且分段处，左端点函数值大于等于右端点函数值.
【详解】由题意得，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：
精练
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围 .
【答案】
【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.
【详解】函数图象开口向上，对称轴为，
由函数在区间上单调递增，得，解得，
所以a的取值范围是
故答案为：
2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得.
【详解】由函数在R上是增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分段函数单调递增，在各段区间单调递增，且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.
【详解】函数在R上单调递增，
所以，解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：.
对点特训五：求函数最值（值域）
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】
作出函数的图象，根据图象即可求解.
【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，
从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，
即，
所以．
故答案为：2.
例题2．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别讨论和时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值，解不等式可得所求范围.
【详解】函数，可得时，，当且仅当时，取得最小值，
由时，，
若时，在递减，可得，
由于的最小值为，所以，解得；
若时，在处取得最小值与题意矛盾，故舍去；
综上得实数a的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，设，则函数的最大值是 ．
【答案】1
【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果.
【详解】令，解得；令，解得或；
所以，
当时，在上单调递增，则；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
且，，所以；
综上所述：函数的最大值为1.
故答案为：1.
2．（23-24高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性确定时的的范围，再根据函数的值域为列不等式即可求得的取值范围.
【详解】当时，，则函数在上递减，在上递增，
所以，则此时；
当时，，要使得的值域为，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
对点特训六：二次函数（含参数）最值问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ．
【答案】 4
【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值．
【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线，
对称轴是直线，因此减区间是，
在区间上，时，递增，时，递减，因此，
故答案为：；4.
例题2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的最小值是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】函数的开口向上，对称轴为，
所以当时取得最小值.
故答案为：
例题3．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最大值等于 ．
【答案】8
【分析】先求出二次函数对称轴，再结合定义域与二次函数增减性即可求出函数最值.
【详解】，函数对称轴为，开口向下，故在单减，.
故答案为：8
精练
1．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为 .
【答案】
【分析】二次函数在某区间的最值，结合图像的开口方向，对称轴，离对称轴的远近可得.
【详解】函数,其图像开口向下，对称轴为，
，离对称轴较远，则
故答案为：
2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数，求的最小值 .
【答案】5
【分析】二次函数的对称轴为，可得二次函数在区间上的增减性，从而求得的最小值.
【详解】因为，所以二次函数的对称轴为，而，所以二次函数在区间上随的增大而减小，所以当时，.
故答案为：5
3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函数，的值域是 .
【答案】
【分析】由二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为，
∴函数的最小值是2，又，，
∴函数的值域是.
故答案为：.
对点特训七：根据最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，
因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，否则当时，，不符合题意，
于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
例题2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意，令，则为其值域的一个子集，
当时，，令，解得，故当时，；
当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；
当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意.
综上，可得.
故选：D.
例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据为一次函数列式计算即可.
【详解】由题意知为一次函数，则
所以.
故答案为：.
例题4．（2024高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则
【答案】
【分析】根据函数值域，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】当时，显然不符合题意，
当时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为，
所以，解得，
故答案为：．
精练
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论，，三种情况，列式求的取值范围.
【详解】当时，，函数的值域是，满足条件，
当时，，解得：，
当，不满足条件，
综上可知，.
故选：A
2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可.
【详解】由，
而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又其在上的最小值为8，
所以，解得.
故选：C.
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意知当时，，
故要使函数的值域为，
需满足，解得，
故的取值范围是，
故选：D
4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的值域求得的正确答案.
【详解】当时，；
当时，，
要使的值域为，则需，
解得，所以的取值范围是.
故选：A
对点特训八：恒成立（能）成立问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【分析】设，由题意可得，求出二次函数最值即可求解.
【详解】设，开口向上，对称轴为直线，
若存在，使不等式成立，则只要即可，
函数在上单调递减，所以，所以，
所以实数的最大值为0.
故选：C
例题2．（23-24高一下·云南·阶段练习）设函数，其中.
(1)若命题“”为假命题，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，转化为命题“”为真命题，结合，即可求解；.
（2）根据题意，转化为在区间内恒成立，利用基本不等式求得的最小值为，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数，
由命题“”为假命题，即命题“”为真命题，
根据二次函数的性质，可得，解得或，
所以实数的取值范围为.
（2）解：由函数，可得，
因为函数在区间内恒成立，
即在区间内恒成立，
又因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；
（2）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为，
又由最小值为，可设，
又，即，解得，
所以函数的解析式为.
（2）因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设函数，，
则在区间上单调递减，
∴在区间上的最小值为，
∴，
故实数的取值范围为：.
例题4．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数.
(1)解不等式；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）讨论的取值范围确定不等式的解集；
（2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题求解.
【详解】（1），所以，令，
若，解得，
当时，，不等式的解集为，
当或时，，此时方程有两根，，且，
此时不等式的解集为，
综上：当时，不等式的解集为；
当或时，
（2）记函数，的值域为集合A，
，的值域为集合B；
则对任意的，总存在，使得成立；
因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，
，得；
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，因为，
所以，解得；
当时，的值域为，因为，
所以，解得；
综上：实数a的取值范围为.
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可.
【详解】当时，不等式恒成立，
所以当时，恒成立，则，
令，则在单调递增，
所以，所以.
故答案为：.
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数，其中.
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解；
（2）将问题转化为，再利用二次函数的性质得在上的最大值为或，从而得解；
【详解】（1）当时，则，，
由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1；
当时，的最大值为10；
所以在区间值域的为.
（2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”.
由（1）知时，，
由二次函数的性质知函数的图象开口向上，
所以在上的最大值为或，
则，即，解得，
故实数的取值范围为区间.
3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数.
(1)求；
(2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性；
(3)设，若在时有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时，在上是单调递增函数
(3)或
【分析】（1）直接代入求解即可.
（2）利用单调性定义法证明即可.
（3）根据与时的单调性，求解不等式在定区间上有解问题即可.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）当时，设，则，
，
显然，，
当有一个值为0时，因为，所以有；
当时，因为，所以有；
当时，，所以有；
当时，，所以有；
综上，当时，必有，
当时，在上是单调递增函数；
（3）由上知当时，在上是单调递增函数；
同理可证明：当时，在上是单调递减函数；
令，所以，可得，在时有解，等价于在时有解，
当时，由的单调性知，令，得；
当时，由的单调性知，令，得；
当时，无解；
综上，的取值范围这或.
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数．
(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；
(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理代入计算即可；
（2）将问题转化为对任意恒成立，求出得到关于的恒成立问题，继续转化为最值求解即可.
【详解】（1）若方程的两根分别是，得，得
又由韦达定理得，
因为
所以
所以，
解得；
（2）若对，都存在，使得对任意恒成立，
则对任意恒成立，
对于，，，
对称轴，
则，
对于，，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以在时恒成立，
所以
又，当取最小值，且最小值为
所以，
解得.
一、单选题
1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
故选：C
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性求出值域.
【详解】，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故在上的值域为.
故选：D
3．（23-24高一上·广东潮州·期中）下列函数在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数解析式，逐项判断在上的单调性即可.
【详解】函数，，在上都单调递增，ABC不是；
当时，，因此函数在上单调递减，D是.
故选：D
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的单调性判断.
【详解】因为函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，
，解得，所以的取值范围是.
故选：A.
5．（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数单调递增得，解一元二次不等式即可得解.
【详解】
因为函数在单调递增，且，
所以，即，解得.
故选：D.
6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，，若有最小值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析函数在上的单调性，根据函数的最小值求出的值，进而可得出函数的最大值.
【详解】因为函数在上单调递增，
则，则，故.
故选：A.
7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，结合二次函数与反比例函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数是上的减函数，
则满足，解得，所以a的取值范围为.
故选：D．
8．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得到对任意恒成立，根据开口方向和对称轴，得到，求出答案.
【详解】由不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
∵，对称轴，
∴只需即可，
可得．
即，
解得，
又，所以，
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，满足“，都有”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】结合单调性的定义，由题意可得函数在区间上单调递减，结合常见函数单调性即可判断求解.
【详解】，都有，
知是在上单调递减的函数，
对于A，在R上是增函数，不合题意；
对于B，在R上是减函数，符合题意；
对于C，为二次函数，其开口向下且对称轴为，
所以在上单调递减，符合题意；
对于D，由反比例函数的单调性可得是上的增函数，不合题意.
故选：BC
三、填空题
10．（23-24高一上·浙江·期中）已知是减函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用一次函数、二次函数的单调性，结合分段函数是减函数，列出不等式组求解即可.
【详解】由函数是减函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）函数，其中．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，f（x）的最小值为0，求a的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）直接解一元二次不等式；
（2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值即可.
【详解】（1）当时， 不等式，
即，解得或，
所以不等式的解集为或；
（2）易知的对称轴为，
①当时，函数在上单调递增，
则，得，符合题意；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得或（舍）；
③当时，函数在上单调递减，
则，解得，不符合题意，
综上所述，的值为或.
12．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函数．
(1)若的解集为，解关于x的不等式；
(2)若，对于，不等式恒成立，求实数c的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的解集用表示，再代入所解不等式并求解即得.
（2）利用给定的恒等式求出，再对不等式分离参数，构造函数并利用单调性求出最小值即得.
【详解】（1）由的解集为，得是方程的两个实根，且，
则，解得，，
不等式化为：，整理得，
解得，所以所求不等式的解集是.
（2）由，得，
整理得，则，解得，即，
不等式，
依题意，，，
令，
显然函数在上都递增，则函数在上递增，
当时，，因此，
所以实数c的取值范围是.专题11 预备知识十一：函数的单调性与最大（小）值
1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力
2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养
3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
3、常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值
对点特训一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；
精练
1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上是增函数.
2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.
(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.
对点特训二：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．和
例题2．（23-24高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．，
例题3．（2024高一上·全国·专题练习）函数的单调增区间是（　　）
A． B．
C． D．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（　　）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
对点特训三：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ．
例题3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的取值范围是
2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 .
3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并证明；
(2)若，求的取值范围．
对点特训四：利用函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为 ．
例题3．（23-24高一上·河北·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围 .
精练
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围 .
2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 ．
对点特训五：求函数最值（值域）
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ．
例题2．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是 .
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，设，则函数的最大值是 ．
2．（23-24高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是
对点特训六：二次函数（含参数）最值问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ．
例题2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的最小值是 .
例题3．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最大值等于 ．
精练
1．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为 .
2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数，求的最小值 .
3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函数，的值域是 .
对点特训七：根据最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ．
例题4．（2024高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则
精练
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
对点特训八：恒成立（能）成立问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．3
例题2．（23-24高一下·云南·阶段练习）设函数，其中.
(1)若命题“”为假命题，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.
例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围．
例题4．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数.
(1)解不等式；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数，其中.
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数.
(1)求；
(2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性；
(3)设，若在时有解，求的取值范围.
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数．
(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；
(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．
一、单选题
1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·广东潮州·期中）下列函数在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，，若有最小值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，满足“，都有”的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（23-24高一上·浙江·期中）已知是减函数，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）函数，其中．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，f（x）的最小值为0，求a的值．
12．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函数．
(1)若的解集为，解关于x的不等式；
(2)若，对于，不等式恒成立，求实数c的取值范围．

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