资源简介

专题14 预备知识十四：函数的应用（一）
1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型）
2、能建立函数模型解决实际问题
3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
知识点一：常见几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 (，为常数，)
二次函数模型 (，，为常数，)
分段函数模型
幂函数模型 (，，为常数，)
知识点二：对钩函数（耐克函数）
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数；
①定义域：；
②是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，；
2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图：
①定义域：；
②（）是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，；
对点特训一：一次函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
例题2．（23-24高一上·吉林长春·期中）某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．
（2）按购买总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．
2．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，是某辆汽车的行驶情况记录，根据图中数据回答下列问题.
（1）汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟？期间的最大速度是多少？汽车有几个时间点的时速为20千米/小时？
（2）写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式，并算出这段时间中，在多少分钟时的速度为20千米/小时.
对点特训二：二次函数模型
例题1．（23-24高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元．
(1)该甜品店第几年开始盈利？
(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：
①当年平均盈利最大时卖出；
②当盈利总额达到最大时卖出；
试问哪一方案较为划算？说明理由．
例题2．（23-24高一上·广东佛山·期末）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．
(1)当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？
(2)当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？
精练
1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10
日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160
请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值.
2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低 一万套的最低成本为多少
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元
对点特训三：分式函数模型（基本不等式工具）
典型例题
例题1．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
例题2．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？
对点特训四：分段函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式；
(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．
(2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
精练
1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
(1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大 最大利润是多少
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.
(1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？
(2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值.
对点特训五：对钩函数及其应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元. 在动员户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先户从事种植的所有农户年总收入.
(1)求的取值范围；
(2)要使从事乡村旅游的这户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求的最大值.
（参考数据：，，）
例题2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设.（公共通道DE所占面积忽略不计）
（1）令，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.
精练
1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
2．（23-24高一上·北京通州·期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度（千米/时）（）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为万元（）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为.
(1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用表示成速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课后作业）某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ）
A．30 B．40
C．50 D．60
2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一·全国·课后作业）在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·宁夏银川·期中）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
5．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（ ）
A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·山西·期末）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
三、填空题
10．（2024·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车.
四、解答题
11．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
12．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？专题14 预备知识十四：函数的应用（一）
1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型）
2、能建立函数模型解决实际问题
3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
知识点一：常见几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 (，为常数，)
二次函数模型 (，，为常数，)
分段函数模型
幂函数模型 (，，为常数，)
知识点二：对钩函数（耐克函数）
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数；
①定义域：；
②是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，；
2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图：
①定义域：；
②（）是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，；
对点特训一：一次函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元
(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元
【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值．
【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．
得，解得，
所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元．
（2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，
则，
因为，所以w随a增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
即，解得，
所有当时，w最大，此时，，
答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．
例题2．（23-24高一上·吉林长春·期中）某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).
【答案】(1)
(2)
(3)第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元
【分析】（1）根据图象为两条线段，设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据散点图猜想销售量Q为时间t的一次函数，设出函数解析式，利用待定系数法求解检验即可；
（3）先根据日销售金额＝每件的销售价格×日销售量列出日销售金额函数，再利用二次函数性质分别求各段最值，最后比较两个最值取较大者即可.
【详解】（1）根据图象，设，
当时，代入点，求得；
当时，代入点，求得，
所以每件的销售价格P与时间t的函数关系式为.
（2）描出实数对的对应点(如图)，
.
从图中可以发现，点(5,35)，(10,30)，(20,20)，(30,10)基本上分布在一条直线上，
设这条直线为l：，代入点(5,35)，(30,10)，求得，
所以直线l为，
通过检验可知：点(10,30)，(20,20)也在直线l上，
所以日销售量Q与时间t的函数关系式为．
（3）设日销售金额为(元)，则，
若当时，则当时，；
若时，则当时，；
由于，所以，
故这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．
（2）按购买总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．
【答案】优惠办法（1）：，优惠办法（2）：；选择优惠办法（2）.
【分析】根据已知条件写出两种优惠办法对应解析式，再将代入解析式求，比较不同优惠下的大小，选择优惠办法．
【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为；
由优惠办法（2）可得函数解析式为．
当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款（元）；采用（2）应付款（元）．
由于，故选择优惠办法（2）．
2．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，是某辆汽车的行驶情况记录，根据图中数据回答下列问题.
（1）汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟？期间的最大速度是多少？汽车有几个时间点的时速为20千米/小时？
（2）写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式，并算出这段时间中，在多少分钟时的速度为20千米/小时.
【答案】（1）共行驶了22分钟，期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；（2）函数关系式，发12分钟时车速为20千米/小时.
【分析】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶时间，以及最大速度和车速为20千米/小时的时间点，得到答案；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，设为，根据表中的数据列出方程组，即可求得速度与时间的函数关系式，进而得到答案.
【详解】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶了分钟，
期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，速度与时间是一次函数关系，
设为，
由图表中的数据，可得当时，，当时，，
代入得，解得，
所以速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式：，其中
当时，即，解得，即出发12分钟时车速为20千米/小时.
【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式的求解，以及函数的图象的识别与应用，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题.
对点特训二：二次函数模型
例题1．（23-24高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元．
(1)该甜品店第几年开始盈利？
(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：
①当年平均盈利最大时卖出；
②当盈利总额达到最大时卖出；
试问哪一方案较为划算？说明理由．
【答案】(1)第四年，理由见解析
(2)两个方案一样，理由见解析
【分析】（1）表达出年后所得总利润，解不等式，求出答案；
（2）设方案①的年平均利润为，表达出，由对勾函数单调性求出最大值，再求出方案②的总利润，比较后得到结论.
【详解】（1）设该甜品店年后所得总利润为万元，
则，
若开始盈利即，
∴，解得，
∴第四年开始盈利．
（2）方案①：设年平均利润为，
则，
由对勾函数性质可得在上单调递增，上为单调递减．
又，，
时，，4年总利润为3万元，
时，，5年总利润为4万元，故选择第5年卖出，
方案②：，，
即时总利润最大为4万元，
故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在即第5年总利润达到最大值4万元，
加上卖设备的2万元，一共6万元利润．
例题2．（23-24高一上·广东佛山·期末）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．
(1)当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？
(2)当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？
【答案】(1)元，元，元.
(2)元，元.
【分析】根据题意列出景区营业额和景区门票的关系，再通过解不等式得出答案.
【详解】（1）设景区降价后的门票日均营业额为万元，景区门票价格下降了元，
因为优惠后的最终门票价格不低于80元，所以，即，
由题意得，
当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，
则，即，
即，解得，
又因为，所以，，
所以景区门票价格可以为元，元，元.
（2）由（1）知，
，
因为，
所以当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，
只要时门票日均营业额不低于520万元即可，
即，
即，
即，解得，
又因为，所以，，
所以景区门票价格可以为元，元.
精练
1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10
日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160
请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值.
【答案】当定价为8.5元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210元.
【分析】设定价为元，日均销售利润为元，则，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件，
售价每增加1元，日销售量就减少40件.
设定价为元，日均销售利润为元，
则，
故当时，有最大值.
所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元.
2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低 一万套的最低成本为多少
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元
【答案】(1)每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元
(2)该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元
【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果；
（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果.
【详解】（1）设平均每套的成本为元，
由题有，
当且仅当，即时，取等号，
所以企业每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元.
（2）设月利润为万元，
则有，
由题知，整理得到，解得，
所以，该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元.
对点特训三：分式函数模型（基本不等式工具）
典型例题
例题1．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；
（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：设矩形花园的长为，
因为矩形花园的总面积为，所以，可得，
又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）解：由（1）知，，
则
，当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
例题2．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【答案】(1)
(2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元
【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得；
（2）利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，
∴.
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，
∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【答案】(1)40
(2)102万平方米，售价为30欧元.
分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得；
（2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得.
【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，
则有，
解得：，
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.
（2），
整理得：，
除以得：，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，
才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，
此时的售价为30欧元/平方米.
2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1)，；
(2)投入3万元，最大利润为21万元.
【分析】（1）当时，求得，由题意中变量之间的关系列出函数即可.
（2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）依题意，当时，，则，解得，即，
又每件产品的销售价格为元，
因此，
所以，.
（2）由（1）知，，
由，得，当且仅当，即时取等号，
因此当时，，
所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元.
对点特训四：分段函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式；
(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)施肥量为时，单株年利润最大为元
【分析】（1）利用利润=单株产量售价成本，结合分段函数即可得解；
（2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出和时对应的，从而得解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
故；
（2）当时，开口向上，其对称轴为，
所以其最大值为，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，施肥量为时，单株年利润最大为元.
例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．
(2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论即可求解；
（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，利用二次函数的性质及基本不等式即可求解．
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以
（2）当时，，当时，
取得最大值2925万元；
当时，．
因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值2830万元．
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元．
精练
1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
(1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大 最大利润是多少
【答案】(1)；
(2)当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.
【分析】（1）根据给定的函数关系，直接求出的解析式.
（2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数的最大值，再比较大小即可.
【详解】（1）依题意，，又，
所以.
（2）当时，，其图象开口向上，对称轴为，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为；
当时，
，
当且仅当时，即时等号成立，
而，则当时，，
所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.
(1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？
(2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值.
【答案】(1)7天；
(2)2.
【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的净化剂的有效时间即可.
（2）由题设，将问题化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.
【详解】（1）因为一次投放4个单位的净化剂，
所以水中释放的浓度为，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天.
（2）设从第一次投放起，经过天后浓度为．
因为，则，，
所以，即，令，，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2.
对点特训五：对钩函数及其应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元. 在动员户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先户从事种植的所有农户年总收入.
(1)求的取值范围；
(2)要使从事乡村旅游的这户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求的最大值.
（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）由题意可得，解出即可；
（2）分别表示出从事乡村旅游的户农民年总收入、户从事种植业的农户总年收入，然后建立不等式求解即可.
【详解】（1）依题意得，
整理得，解得，
又，
所以的取值范围为.
（2）从事乡村旅游的户农民年总收入为万元， 户从事种植业的农户总年收入为
依题意得恒成立，
即恒成立，
所以恒成立.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，最小，又，所以或者. …
当时，，
当时，，
所以，所以的最大值为
例题2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设.（公共通道DE所占面积忽略不计）
（1）令，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.
【答案】（1），；（2）当时，造价最小为元；当或时，造价最大为元.
【分析】（1）由已知条件得，再根据三角形的面积公式可求得答案；
（2）在中，利用余弦定理得.设函数，运用函数的单调性可求得造价的最小值和最大值，以及所对就的x的值.
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，即，其中.
（2）在中，由余弦定理得，整理得.
设函数，.
又函数在上单调递减，在上单调递增.
又，.
所以当时，通道长，造价最小为元；
当或时，通道长，造价最大为元.
精练
1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
【答案】(1)4米，28800元
(2)
【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得，对任意的恒成立.
即，从而恒成立，
令，
又在为单调增函数，故.所以.
2．（23-24高一上·北京通州·期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度（千米/时）（）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为万元（）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为.
(1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用表示成速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？
【答案】(1)，定义域为
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意表示出可变部分的成本与列车的运行时间，即可表示出总的费用f（x）；
（2）分三种情况，结合对勾函数求出取最小值时的的值即可.
【详解】（1）解：由题意可知，定义域为；
（2）解：由（1）知，
令，（，），
由对勾函数的性质可知，该函数在上单调递减，在上单调递增，
①，即时，在上单调递增，故时，单程运行一次总费用最小；
②，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故时单程运行一次总费用最小；
③，即时，在单调递减，时单程运行一次总费用最小.
综上可知，时，时，单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小.
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课后作业）某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ）
A．30 B．40
C．50 D．60
【答案】C
【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，所以设生产x台，建立关系式f(x)＝25x－y，代入求最大值即可.
【详解】设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，获利润最大.
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，考查二次函数去最值，属于基础题.
2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件长方形的一边长度为，则另一边长为，且，从而得到周长与的函数关系.
【详解】由条件长方形的一边长度为，且面积为.
则另一边长为，且.
所以该长方形的周长.
故选：C.
【点睛】本题考查长方形的面积公式和周长的计算方法，考查求函数解析式，属于基础题.
3．（23-24高一·全国·课后作业）在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入，验证可得结论．
【详解】解：根据表中数据可判断函数为一次函数，
将各数据代入中均成立，
故选：．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（23-24高一上·宁夏银川·期中）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
【答案】C
【分析】根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可.
【详解】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C.
【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，利用数学知识建立相应的函数模型，将实际问题转化为数学问题，注意实际问题背景下的自变量取值范围，属于基础题.
5．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
【答案】A
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（ ）
A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
【答案】B
【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解
【详解】设灯具商店每月的利润为z元，
则，
，
故选：B
7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可.
【详解】于D，，
,,
且
故当时，重合部分为三角形，
三角形的高，
面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项；
当时，重合部分为直角梯形，
上底长为，
下底长为，高为4，
故，
函数图像为一条直线，故排除D选项；
当时，重合部分可以看作两个直角梯形，
左边直角梯形的上底长为，
高为
两个梯形下底长均为，
右边直角梯形上底长为，
高为，
故，
图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项；
故选：C
8．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断．
【详解】点P在AB上时,；
点P在BC上时，
；
点P在CD上时，；
所以
画出分段函数的大致图象，如图所示．
故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一上·山西·期末）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
三、填空题
10．（2024·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车.
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，函数有最大值，所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量小于，
当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于，
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
(2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大
【分析】（1）配方得到最值，得到答案；
（2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】（1），
因为，且，所以当时，取得最大值，
故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
（2）设年平均利润为，
因为，且，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.
12．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】(1)
(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故
（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．

展开更多......

收起↑