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2023-2024学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
4.已知，，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
7.在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过个小时才会“药物失效”参考数据：
A. B. C. D.
8.已知，是方程的两个实根，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形设直角三角形的两个锐角分别为，，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则( )
A. 每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
11.在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义函数，则( )
A. 是函数的一条对称轴 B. 函数是周期为的函数
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的值为______．
13.已知，则的最小值为______．
14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为，有一个半径为的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论；
若，求函数的值域．
16.本小题分
如图，点，分别是矩形的边，上的点，．
若，求的取值范围；
若是的中点，，，，依次为边的等分点求的值．
17.本小题分
已知实数，设函数，且．
求实数，并写出的单调递减区间；
若为函数的一个零点，求．
18.本小题分
在三棱锥中，，其余各棱的长均为，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与，分别交于点，．
求线段的长度；
求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数，，的定义域均为．
定义：若存在个互不相同的实数，，，，使得，则称与关于“维交换”；
若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”．
判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由；
设，，若存在函数，使得与关于“任意交换”，求的值；
设，若与关于“维交换”，求实数的值．
参考答案
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15.解：函数在上单调递增，
证明：任取，
则
，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以函数在区间上为递增函数；
因为，
则，，
所以，
由的证明过程知，易证在上单调递减，
所以由复合函数的单调性可得，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在递增，递减，
所以，
又，，
显然，故，
所以．
16.解：由题意，在矩形中，，
，
则
，
即的取值范围是；
取的中点，连接，
由向量加法的平行四边形法则可知，
．
17.解：由题，
即，解得，
所以，
令，
解得：，
因此的减区间是，；
因为为函数的一个零点，
则由可得，令，则，
可知，又，
所以，
则
．
18.解：因为过点的平面与直线垂直，且与，分别交于点，，
故CD，，，
在平面内，过作的垂线，垂足为，
由，可知，结合为等边三角形，可知，
过作的垂线，交于，
结合，可知，；
取中点，则，，
故为二面角的平面角，
易知，
由余弦定理得；
设到平面的距离为，则由，
可得，
由余弦定理得，
即，同理可得，
因为，，可知，
故，
另一方面，，
解得．
19.解：与关于是“维交换”，
理由如下：因为，，
令，
所以，
解得，所以有唯一解，
所以与关于“维交换”．
由题意可知，对任意的，成立，
即对任意的，因为为函数，
且，
故，
故，
即，
所以，
综上所述，．
由题意知，令，
即在上有三个零点．显然是的零点．
显然时不符合题意．所以，
当时，，即令，恒过点和，
则当时，在有且只有一个零点，
当，在没有零点，
当时，，即，
令，恒过点和，
时在只有一个零点，在有两个零点，时在没有零点，
当时，，恒过点和当时无零点，当，有一个零点，
综上所述：时，有个零点，即与关于“维交换”．
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