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惠州市 2025 届高三第一次调研考试试题
高三数学参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A C B C
1 2．【解析】由已知 A x∣x 3x 0 {x | 0 x 3}， B {x∣lnx 0} {x | x 1}，
所以 A B {x |1 x 3}．故选：D．
1 z 1 i2．【解析】由题设有 2 i ，故 z 1+i ，故 z z 1 i 1 i 2，故选 A.i i
3．【解析】设等差数列 an 的公差为 d，因为 a1 2， a2 a3 2a1 3d 13，所以 d 3，
则 a4 a5 a6 3a1 12d 3 2 12 3 42 .故选：B.
r
7 r 1 r 21 7 r4．【解析】展开式的通项为T Cr 2x3 Cr 27 r 1 x 2r 1 7 7 ，
x
7
由 21 r 0 ，得 r 6，那么展开式中常数项是C6 27 6
2 7 1
6 14 .故选：C.
5．【解析】在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB 2
1 3
， AA1 1，所以 S△ABC 2 2 3 ，2 2
由勾股定理可得 A1B A1C 1
2 22 5 ，
2 1 2
在等腰三角形 A BC中，底边 BC上的高长为 5 2 1 2 ，
2
所以等腰三角形 A1BC
1
的面积为 2 2 2，
2
设点 A 1 1 3到平面 A1BC的距离为 h， VA A BC V1 A1 ABC h 2 1 3 h ，故选：A3 3 2

6．【解析】因为向量 p a c,b q ， b a,c a ，

因为 p / /q，所以 a c c a b b a ，即 c2 a2 b2 ab，
a2 2 2cosC b c 1由余弦定理可得 .
2ab 2
因为C 0, π π，所以C ，故选：C.
3
高三数学答案 第 1页，共 9页
{#{QQABLYYEogCgQIIAAAhCQQWqCgOQkBAAASgGgBAMMAAAQQNABAA=}#}
x1 x2
5,
7．【解析】设 A x1, log2 x1 ,B x2 , log x

. 22 2 由题意, ，
log2 x1 log2 x2 2.
2
x1 2, x 8,
整理得 x1 x2 10, x1x2 16 .
1
所以 x 或 . 2 8, x2 2.
不妨取 A(2,1),B(8,3)，则 | AB | (2 8)2 (1 3)2 2 10 .故选：B
f (x) (1 4k) (1 6k) 8．【解析】 的正零点为 (k N) 与 (k N) .
12 12
5 7 9 13 17 19
所以 f (x) 从左到右的零点依次为: , , , , , , .
12 12 12 12 12 12 12
17 19
为了使得 f (x) 在区间 (0, ) 恰有 6 个零点, 只需 ,
12 12
17 19
解得 .故选：C．
12 12
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题满分 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
全部正确选项 BD ACD ABD
90 98 90 92 95
9．【解析】对于选项 A，甲机构测评分数的平均分 x甲 93，
5
x 93 95 92 91 94乙机构测评分数的平均分 乙 93，所以选项 A 错误，
5
对于选项 B，甲机构测评分数的方差
D 11 [(90 93)
2 (98 93)2 (90 93)2 (92 93)2 (95 93)2 ] 9.6 ，
5
D 1 [(93 93)2 22 (95 93) (92 93)
2 (91 93)2 (94 93)2 ] 2，所以选项 B 正确，
5
对于选项 C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，
所以乙机构测评分数的中位数为 93，所以选项 C 错误，
对于选项 D，因为甲机构测评分数中有且仅有 2 个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事
件M ,N 互为对立事件，所以选项 D 正确，故选：BD.
10. 【解析】A 选项：因为 a1 1， a a 2 82 8 16 ，则 a1 q 16 ，
所以 q8 16 ，所以 q 2 ，所以 A 正确；
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B 选项：因为 a25 a2a8 16 ，所以 a5 4 ，所以 B 不正确；
C 选项：因为T9 a
9 9 18
1a2 a9 a5 ，所以 |T9 | | a5 | 2 ，
所以 log2 T9 18，所以 C 正确；
D 选项： a2 a23 7 2a3a7 2a2a8 32 ，
当且仅当 a3 a7 时，等号成立．所以 D 正确．故选:ACD.
11．【解析】由题意得： (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 3
对于 A 选项：方程中的 x换成 x， ( x 1)2 y2 ( x 1)2 y2 (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 3
方程不变，所以曲线 C关于 y轴对称，A 选项正确；
对于 B 选项： (x2 y2 1) 2x (x2 y2 1) 2x 3， (x2 y2 1)2 4x2 9，
故 x2 y2 1 4x2 9 ，所以 B 选项正确；
对于 C 选项：△F1PF
1
2 面积为 FF y y ，2 1 2 P P
由于 y2 4x2 9 x2 1 ≥0，
即 4x2 9 x2 1 0，则 x4 2x2 8 0，解得： 2 x 2，
2 2 9
令 4x2 9 t t 5 1 3,5 ，则 y2 t t 2 0, 2 ，所以 y 2, 2 .
4 4 4 4
则△F1PF2 面积的最大值为 2 ，所以 C 选项错误；
对于 D 2选项：因为 OP x2 y2 4x2 9 1 2, 4 ，
则 OP 的取值范围为 2,2 ，所以 D 选项正确，故选：ABD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1 5 5
12． 13． （满足 k ,k
1
Z 即可） 14．
3 12 12 32
12．【解析】因为双曲线方程 x2 ky2 1，且一个焦点是（2，0），
a2 1 1 1 1所以 1,b2 2 2 2，所以 c a b 1 4，解得 k .故答案为：
k k 3 3

13．【解析】 A(cos ,sin )与 B cos ,sin 关于 y轴对称，
6 6
高三数学答案 第 3页，共 9页
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即 , 关于 y

轴对称， 2k ,k Z
5
，则 k ,k Z ，
6 6 12
5 5 5
当 k 0时，可取 的一个值为 .故答案为： （满足 k ,k Z 即可）.
12 12 12
f x 114．【解析】在 f (x)中,令 x 0 ,得 f (0) 0 ,又 f (x) f (1 x) 1 ,故 f (1) 1 .
5 2
x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为 f f (x) ,所以 f , f 2 , f , f , f 5 2 5 2 5 4 53 8 54 16 55

32
在 f (x) f (1 x)
1
1 1 1中,令 x ,得 f
2
,
2 2
f 1 1 , f 1 1 , f 1 1 1 1所以 , f
.
10 4 50 8 250 16 1250 32
当 0 x1 x2 1时 f x1 f x2 ,可知 f (x) 是 [0,1]上的非递减函数,
1 1 1 1 1 1
又 5 f

,所以 .
5 3125 2024 1250 2024 32
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分，其中第一小问 6 分，第二小问 7 分。）
【解析】（1）因为 f x ln x 1 a ·······································································2 分
在点 1, f 1 处的切线斜率为 k f 1 1 a ， ························································ 3 分
又 f x 1在点 1, f 1 处的切线与直线 x 2y 2 0相互垂直，所以 f 1 1 ············ 5 分
2
解得 a 3 . ······································································································· 6 分
（2）由（1）得， f x ln x 2 ， x 0, ， ······················································ 7 分
令 f x 0 ，得 x e2 ，令 f x 0 ，得 0 x e2 ， ·················································· 9 分
即 f x 的增区间为 e2 , 2，减区间为 0,e ．························································ 10 分
f e2又 e2 ln e2 3e2 2 2 e2 ， ······································································11 分
所以 f x 在 x e2 处取得极小值 2 e2 ，无极大值． ················································ 13 分
【注】没有说明极大值扣一分
16．（本小题满分 15 分，其中第一小问 6 分，第二小问 9 分。）
2
【解析】（1）因为学生初试成绩 X 服从正态分布 N , ，其中 65， 2 102 ，
则 75 65 10 ， ·························································································1 分
P X 75 P X 1 1 P X 1 0.6827所以 ·······················3 分
2 2
高三数学答案 第 4页，共 9页
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0.15865， ·······································································································4 分
所以估计初试成绩不低于的人数为 0.15865 1000 159 人. ···········································6 分
（2）Y 的取值分别为 0 、10、 20、30， ······························································· 7 分
2
P Y 0 1 3 1 3 1则 ， ····································································· 8 分
4 5 25
2
P Y 10 3 1 3 1 3 C1 2 3 6 2 ， ···················································9 分4 5 4 5 5 25
2
P Y 20 3 C1 2 3 2 1
3 3 9
， ···················································· 10 分4 5 5 4 5 20
2
P Y 30 3 3 27 . ················································································· 11 分4 5 100
故Y 的分布列为：
Y 0 10 20 30
1 6 9 27
P
25 25 20 100
··············································································································13 分
1 6 9
所以数学期望为 E Y 0 10 20 30 27 19.5 . ································15 分
25 25 20 100
17．（本小题满分 15 分，其中第一小问 6 分，第二小问 9 分。）
【解析】（1）证明:由 PC 平面 ABC,DE 平面 ABC ,故 PC DE ······························ 2 分
由CE 2,CD DE 2 得CD2 DE2 CE2 ····························································3 分
故 CDE为等腰直角三角形,则CD DE ································································· 4 分
由 PC CD C,DE垂直于平面 PCD内两条相交直线, ················································5 分
故DE 平面 PCD ······························································································ 6 分

（2）解:由(1)知, CDE为等腰直角三角形, DCE ,如图,过点 D作DF垂直CE于 F ,易知
4
DF FC EF 1 , ···································································································· 7 分
又已知 EB 1 ,故 FB 2 .

由CD DE， ACB ，得DF / /AC，
2
DF FB 2 3 3
,故 AC DF . ···········································································8 分
AC BC 3 2 2
高三数学答案 第 5页，共 9页
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以C为坐标原点,分别以CACB,CP的方程为 x轴, y轴, z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),,P(0,0,3), A
3
,0,0

,E(0,2,0),D(1,1,0),
2

ED (1, 1,0) ，DP ( 1, 1,3)DA
1 , 1,0 ·················9 分
2

设平面 PAD的法向量 n1 x1 , y1 , z1 ,

由 n1 DP 0,n

1 DA 0
x y 3z 0
1 1 1
得 1 ,令 x1 2 ,则 y1 1, z1 1 ,故 n1 (2,1,1) . ·········································10 分
x1 y1 0 2

由(1)可知 DE 平面 PCD ,故平面 PCD的法向量 n2 可取为 ED ,即 n2 (1, 1,0) . ·············· 11 分

n1 n2 2 1 1 ( 1) 1 0 3
从而法向量 n1,n2 的夹角的余弦值为 cos n1,n2 n n 2 , ····· 14 分1 2 2 1 1 1 1 0 6
故平面 PAD与平面 PCD 3所成角的余弦值为 . ······················································ 15 分
6
n1 n2
【注】写出公式 cos n1,n2 n n 给 1 分，代入数据给 1 分，结果计算正确给 1 分1 2

方法二：设平面 PAD的法向量 n1 x1 , y1 , z1 ,

由 n1 PD 0,n

1 PB 0
x1 y1 3z1 0
得 ,令 z 1 ,则 y 1, x 2 ,故 n (2,1,1) . 其它过程同上.
3y1 3z1 0
1 1 1 1
18．（本小题满分 17 分，其中第一小问 3 分，第二小问 5 分，第三小问 9 分。）
x2
【解析】（1）椭圆C1 : y
2 1的上顶点坐标为 0,1 ， ············································· 1 分
4
则抛物线C2 的焦点为 F 0,1 ， ··············································································2 分
故 p 2 . ··········································································································3 分
（2）若直线MN 与 y轴重合，则该直线与抛物线C2 只有一个公共点，不符合题意，
所以直线MN 的斜率存在，····················································································· 4 分
设直线MN 的方程为 y kx 1，点M x1, y1 、 N x2 , y2 ，
高三数学答案 第 6页，共 9页
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y kx 1
联立 22 可得 x 4kx 4 0 ， ·······································································5 分
x 4y
16k2 16 0恒成立，则 x1x2 4，····································································· 6 分
2 2
OM ON x1x2 y1y2 x x
x
1
x2
1 2 4 1 3 .··························································8 分4 4
（3）设直线 NO、MO的斜率分别为 k1、 k2，其中 k1 0 ， k2 0，
y k1x
4k 2联立 2 2 可得 1 1 x2 4，····································································· 9 分 x 4y 4
x 2 2解得 2 ，点 A在第三象限，则 xA ，4k1 1 4k
2
1 1
2
点 B在第四象限，同理可得 xB 2 ，······························································10 分4k2 1
k y1y2 x1x2 1且 1k2 x x 16 4 ················································································ 12 分1 2
S OMN OM ON x 1
x2 x 1
x2
S OAB OB OA xB xA 2 2 ··············································· 14 分
4k 21 1 4k
2
2 1
4k2 1 4k2 1 4k2 1 2 2 4k 2 11 2 1 2 1 2 2 2 ，····································· 15 分4k1 4k1
1
当且仅当 k1 时，等号成立. ··············································································16 分2
S OMN
S 的取值范围为 2, . ···············································································17 分 OAB
（3）方法二：设直线 NO、MO的斜率分别为 k1、 k2，其中 k1 0 ， k2 0，
y k1x
2 2联立
x2 2
可得 4k1 1 x 4，····································································· 9 分
4y 4
x 2 2解得 2 ，点 A在第三象限，则 xA 2 ，4k1 1 4k1 1
2
点 B在第四象限，同理可得 xB 2 ，······························································10 分4k2 1
k k y1y2 x x 1且 1 2 1 2 x x 16 4 ················································································ 12 分1 2
高三数学答案 第 7页，共 9页
{#{QQABLYYEogCgQIIAAAhCQQWqCgOQkBAAASgGgBAMMAAAQQNABAA=}#}
k1 xB yB k1 xB k2 xB
设点 B到直线 OA 的距离 d
1 k 2 21 1 k1
|OA | x2 y2 x2 k 2 2A A A 1 xA
S 1 |OA | d 1
k1 xB k2 xB 2 2 2
OAB x2 2 2 A
k 1 xA
1 k1
1
k1 k2 x x
1 1 k 2 2
2 A B 2 4k 22 4k 21 1 4k
2
2 1
1 4k 2 1 2
2
4k 22 1
2 1
4k2 1
4k2 ···································································· 14 分
1 4k 22 4k
2
2
2
1
4k 4k 22 2 1 4k
2
2 1
S 1 OMN |OF | x1 x
1 2
2 x1 x2 4x1x2 2 k 2 1 2 ······························ 15 分2 2
当且仅当 k 0 时,等号成立. ················································································ 16 分
S OMN
S 的取值范围为
[2, ) . ············································································ 17 分
OAB
19．（本小题满分 17 分，其中第一小问 3 分，第二小问 6 分，第三小问 8 分。）
【解析】（1）因为 a 2n ，则 a n 2 n 1 n 1n n 2 an 1 2 2 2 ，········································ 1 分
an 1 an 2
n 1 2n 2n ，······················································································· 2 分
n
又 2n 1 2n，故 an 2 an 1 an 1 an，数列 2 是“速增数列”.····································3 分
（2） a1 1,a2 3,ak 2023，
因为 a2 a1 2 , 所以 a3 a2 a2 a1 2 ,
又 an Z , 故 a3 a2 3 ·······················································································4 分
依次递推可得 a4 a3 4,a5 a4 5, ,ak 1 ak 2 k 1,ak ak 1 k ·························· 5 分
当 k 3时， ak 2023 ak ak 1 ak 1 ak 2 a2 a1 a1 ································ 6 分
k (k 1) 3 2 1, ······················································································ 7 分
高三数学答案 第 8页，共 9页
{#{QQABLYYEogCgQIIAAAhCQQWqCgOQkBAAASgGgBAMMAAAQQNABAA=}#}
k k 1
即 2023 ， k Z ， ················································································· 8 分
2
k k 1 k k 1
当 k 63 时， 2016 ，当 k 64时， 2080 ，
2 2
故正整数 k 的最大值为 63 . ·················································································· 9 分
（3）bk 2 bk 1 bk 1 bk bk bk 1 ，故 bk 2 bk 1 bk bk 1，即 bk 2 bk 1 bk bk 1 ；····10 分
bk 3 bk 2 bk 2 bk 1 bk 1 bk bk bk 1 bk 1 bk 2 ，故 bk 3 bk 2 bk 1 bk 2，
即bk 3 bk 2 bk 1 bk 2 bk bk 1，········································································11 分
同理可得：b2k m 1 bm bk bk 1 ，m N* ，1 m k 1，··········································13 分
故 k b1 b2 b2k b1 b2k b2 b2k 1 bk bk 1 k bk bk 1 ，···················15 分
故bk bk 1 1， ······························································································ 16 分
c c 2bk 2bk 1 2bk bk 1k k 1 2，得证. ·····································································17 分
高三数学答案 第 9页，共 9页
{#{QQABLYYEogCgQIIAAAhCQQWqCgOQkBAAASgGgBAMMAAAQQNABAA=}#}惠州市2025届高三第一次调研考试试题
数学
全卷满分150分，时间120分钟.
2024.07
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填
写在答题卡上。
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题各案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案伯息点涂黑。如福改动、用橡皮擦千净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作各，答案必须写在答愿卡各题指定的位置上，
写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1.已知集合A={x|x-3x<0,B={xx>0),则AnB=
A.x|0B.{x|x>0
C.{xI0D.xl12.若iQ-z)=1,则z+z=
A.2
B.1
C.-1
D.-2
3.在等差数列(a}中，已知a1=2,4+a=13,则a4+马+4等于
A.40
B.42
C.43
D.45
4.
的展开式中常数项是
A.42
B.42
C.14
D.-14
5.在正三棱柱BC-4B,C中，若B=2,M=1,则点A到平面ABC的距离为
A.
B.35
C.5
D.2W5
2
4
6.在△MBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a+c,b),9=(b-a,c-a)
若p/1g,则角C的大小为
B.
D.
4
c
数学试题
第1页！共6页
7.己知点AB在曲战y=log1x上，着A仙的中点坐标为(5,2)，则Bp
A.6
B.2/0
C:·4kW5
D.4N5
&.已知函数/口3如-牙引m2ar+贸}在区间0给有6个军点，若0>0。
则)的取值花围为
入别
B.
侣)
17I9
12'12
侣
二、多项选郑题：本题共3小题，每小题湖分6分，共18分。在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选锥的得0分·
9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满
分100分).设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，
事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的
是
机构名称
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
9194
A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C.乙机构测评分数的中位数为92.5
D.事件M,N互为对立事件
10.设公比为g的锦比数圳()的怕”明积为工、、者a,416、则
人.当a=1时，=√2
B.g=4
C.o%,F,-18
D.4+物
數华以男

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