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全等三角形综合
1．如图，四边形中，，平分，平分，若，，求的长．
2．如图，在△ABC中，△ABC的周长为26 cm，∠BAC＝140°，AB＋AC＝12 cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G求：
(1)∠EAF的度数；
(2)求△AEF的周长
3．如图，中平分，垂直平分交于P，于E．
(1)当时，的度数是________；
(2)求证：．
4．如图，在中，是斜边上的高，．求证：．
5．如图，已知是上一点，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
6．已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，直接写出n的最大值为 　 　．
7．在中，，，求与的度数．
8．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
9．如图，在等腰中，，点，，在的边上，满足．
(1)求证：；
(2)当时，求的大小．
10．如图，在中，AD是高，，是角平分线，它们相交于点O，，求和的度数．
11．在平面直角坐标系中，已知A（其中），B且．
(1)三角形的形状是_________．
(2)如图1．若A，C为中点，连接，过点A向右作，且，连CD．过点M作直线垂直于x轴，交于点N，求证：．
(3)如图2，E在的延长线上，连接，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积．
12．如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中m、n满足．
(1)直接写出的形状；
(2)如图②，设点D是线段OB上一点，过点O作于E，过点B作于F．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）如图③，延长BF交OA于点M，若BM平分，求的值．
13．已知，是一条角平分线．
【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：
过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，
∴______．
∴______，
又∵，
∴______．
【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．
求证：
【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______．
14．如图，四边形的位置在平面直角坐标系中如图所示，已知，，，a，b满足．点D在y轴上运动，过点D作线段于点D，并使，连接．
(1)求A，B，C的坐标：A，______B，______，C______；
(2)如图1，若点D在线段（不包含两个端点）上运动，过点E作轴于F，求证：；
(3)如图2，当点D运动到y轴的负半轴上，连接交y轴于点M，且，试求点M的坐标．
15．如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
16．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；
(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．
17．（1）问题背景：如图1，在和中，，，，连接、，直接写出线段和线段的数量关系______；
（2）问题探究：如图2，在和中，，，，点在内，延长交于点，当点是线段中点时，求证：；
（3）延伸拓展：如图3，在和中，，，，连接、，过点A作于点，反向延长交于点，求证；．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动．
(1)如图1所示，当点的坐标为时，求点的坐标；
(2)如图2所示，点在线段上运动时，连接、，连接并延长与轴交于点，求点的坐标；
(3)如图3，设的边与轴交于点，与轴交于点，当点在线段上运动，且满足时，在线段上取点，且，连接交轴于点．下列结论：①；②为等腰三角形，其中只有一个结论是正确，请判断出正确的结论，并写出证明过程．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．5
【分析】根据四边形内角和定理与三角形角平分线的定义推出，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
直角三角形中，，，
∴．
故．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，进而得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，然后计算即可；
（2）根据三角形的周长公式结合EA＝EB，FA＝FC计算即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC＝140°，
∴∠B＋∠C＝180° 140°＝40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵FG是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠BAC （∠EAB＋∠FAC）＝∠BAC （∠B＋∠C）＝140° 40°＝100°；
（2）∵△ABC的周长为26cm，AB＋AC＝12cm，
∴BC＝26 12＝14cm，
∵EA＝EB，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝14cm．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．(1)124°
(2)证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质推出，即可得出结果；
（2）过点作与点，利用证明得出，，再利用证明得出，即可推出结论．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图，过点作于点，
是的平分线，
，
，，
．
在和中，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
4．证明见详解．
【分析】根据角直角三角形性质可得 ，，的关系即可得到证明．
【详解】证明∵是斜边上的高，
∴ ，
∵，
∴ ，
在与中
，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角直角三角形性质： 直角三角形中角所对直角边等于斜边一半．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，，得，证明，得；
（2）由，，得，即可根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6．（1）它的三边长分别为；（2）7．
【分析】（1）分①和②两种情况，分别解方程求出的值，再根据三角形的三边关系定理即可得出答案；
（2）先根据和可得和，再分，和三种情况，分别根据三角形的三边关系定理，结合为正整数即可得．
【详解】解：（1）由题意，分以下两种情况：
①当，即时，
这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为，
，
满足三角形的三边关系定理，符合题意；
②当，即时，
这个三角形是等腰三角形，它的三边长分别为，
，
不满足三角形的三边关系定理，舍去；
综上，它的三边长分别为；
（2）这个三角形的三条边都不相等，
和，
解得和，
①当时，长为的边是最长边，
由三角形的三边关系定理得：，
解得，不符题设，舍去；
②当时，长为的边是最长边，
由三角形的三边关系定理得：，
解得，
则此时的取值范围是，
为正整数，
此时；
③当时，长为的边是最长边，
由三角形的三边关系定理得：，
解得，
则此时的取值范围是，
为正整数，
此时的所有可能取值是；
综上，符合条件的的所有可能取值是，
则所求的的最大值是7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
7．，
【分析】根据三角形内角和定理，可得，结合，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵、是、的角平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在中，是高，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知等腰中，，可得，再证明，即得；
（2）在中，由，，求得，再结合，可得，在中，有，再由，推导得到，最后由及三角形内角和定理，得到的大小．
【详解】（1）证明：∵等腰中，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵等腰中，，
∴，
∵在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵在中，，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
10．，
【分析】利用角平分线的定义，可求出，的度数，由，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，利用三角形的外角性质，可求出的度数，再结合邻补角互补，即可求出的度数．
【详解】解：平分，平分，
，．
，
．
在中，，，
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、垂线以及邻补角，根据各角之间的关系，求出和的度数是解题的关键．
11．(1)等腰直角三角形
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）过点D作轴，垂足为H，交于点S．则．证明，推出，再证明，可得结论；
（3）如图2中，过点O作交的延长线于点T，连接．证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
（2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点S．则．
∵，
∴．
∵C为中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，垂直于x轴，轴，
∴，
∴，．
∴，
在和中，
∴，
∴；
（3）如图2中，过点O作交的延长线于点T，连接．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．(1)等腰直角三角形
(2)（ⅰ）证明解解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用二次根式，被开方数大于等于0，得到：，从而求出，分别求出三边长度，再进行判断即可；
（2）（ⅰ）证明，即可得证；（ⅱ）如图，取的中点，连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到：，利用角平分线和外角的性质，得到：为等腰直角三角形，进而得到：，即可得解．
【详解】（1）解：，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）（ⅰ）证明：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（ⅱ）解：如图，取的中点，连接．
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零，以及全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
13．（1）；；；（2）见解析；（3）
【分析】探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；
类比探究：过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；
拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出再由其性质及前面的结论求解即可．
【详解】探究发现：解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，
∴
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，；；
类比探究：证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P．
∵平分，
∴．
∴，
∴
拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，
∵分别是的角平分线且相交于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴是的角平分线
由（1）知，，
设，，则，
由（1）知，
．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键．
14．(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求出a和b，进而可求出A，B，C的坐标；
（2）证明即可求出结论成立；
（3）设，可得，延长，于点H，然后利用列方程可求出m的值，进而可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）证明：由（1）知，，且．
∵轴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即证．
（3）解：设，
由（2）知，，
∴，
延长，于点H，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，数形结合是解答本题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意结合等边三角形的性质，可得，，，即，再证，即可证得；
（2）过点作交于点，过点作交于点，由，根据全等三角形对应边上的高相等，可得，，再由角平分线的判定可得，平分；
（3）过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，，先证，推导得，同法可证，，最后根据三角形面积关系，得出，则可得到答案．
【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∵等边，等边，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，
∵（1）中已证，
又∵，，
∴，
∵，，
∴平分．
（3），理由如下：
如图2，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，，
∵，
∴，
∵，
又∵等边，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
同法可证，，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵（2）中已证，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大．
16．(1)，
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；
（2）过点作轴于，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．
【详解】（1）解：，
，，
，，
、，
故答案为：，；
（2）证明：过点作轴于，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
；
取点，连接，，
，，
与关于直线对称，连接交于，连接，则，
此时最小，，
到，的距离相等，，，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据证明，即可得出；
（2）延长至点M，使，连接，证明，得出，，，得出，证明，得出，，得出，证明，求出，即可得出答案；
（3）过点E作，延长交于点F，证明，得出，，证明，得出，证明，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
．
故答案为：．
（2）延长至点M，使，连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∵点是线段中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）过点E作，延长交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
18．(1)
(2)
(3)结论②为等腰三角形是正确的；理由见解析
【分析】（1）过点E作轴于点F，证明，得出，，即可得出答案；
（2）过点E作轴于点F，根据解析（1）得出，得出，，证明，得出，证明
，得出，即可得出答案；
（3）在x轴上截取，连接，证明，，，再证明，从而证明，
得出，证明，得出，即可证明结论．
【详解】（1）解：过点E作轴于点F，如图所示：
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点在第三象限，
∴点E的坐标为：．
（2）解：过点E作轴于点F，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴，，
∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为：．
（3）解：结论②为等腰三角形是正确的；理由如下：
在x轴上截取，连接，如图所示：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，熟记全等三角形的判定方法，是解题的关键．
答案第1页，共2页

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