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2024年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（　　）
A．1.29×108 B．12.9×108 C．1.29×109 D．129×107
3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是﹣180℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（　　）
A．﹣180℃ B．150℃ C．30℃ D．330℃
4．下列计算正确的是（　　）
A．x6÷x4＝x2 B．
C．（x3）2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
5．为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（　　）
A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.6
6．在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　）
A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7）
7．对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1）
B．y随x的增大而减小
C．当时，y＜0
D．它的图象经过第一、二、三象限
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A．y B．y C．y D．y
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知 　 　种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．
12．某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会．小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 　 　．
13．要使分式有意义，则x需满足的条件是 　 　．
14．半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 　 　（结果保留π）．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 　 　．
16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（）﹣1+||﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0．
18．（6分）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长．
20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电 m 54%
混动 n a%%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了 　 　人；表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全条形统计图：
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
21．（8分）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
22．（9分）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
23．（9分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan∠CEO的值．
24．（10分）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； 　 　
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； 　 　
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有Rr． 　 　
（2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是“　 　”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径．
（3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．
①如图2，连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH；
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长．
25．（10分）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上．
（1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b的值；
（2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a0，2a2﹣2（y3+y4）a0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）．
2024年湖南省长沙市中考数学试题参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．B 2．C 3．D 4．A 5．B
6．D 7．A 8．C 9．B 10．C
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．甲 12． 13．x≠19 14．4π 15．24 16．2009
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解：（）﹣1+||﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0
＝421
＝41
＝3．
18．（6分）解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3）
＝2m﹣m2+2m+m2﹣9
＝4m﹣9，
当m时，原式＝49＝10﹣9＝1．
19．（6分）解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点，
∴CD．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC4．
∵直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∴△ACE的周长为AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6．
20．（8分）解：（1）本次调查活动随机抽取了27÷54%＝50（人），
∴n＝50﹣27﹣3﹣5＝15，
∴a%100%＝30%，b%100%＝6%，
∴a＝30，b＝6；
故答案为：50，30，6；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）360°×30%＝108°，
答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为108°；
（4）4000×（54%+30%+6%）＝3600（人），
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
21．（8分）（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE的度数是60°．
22．（9分）解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；
（2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件，
根据题意得：300m+200（200﹣m）≤50000，
解得：m≤100，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
23．（9分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
（2）作OH⊥BC于点H，则∠OHE＝∠OHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∴OC＝OAAC＝5，
∵∠CEO＝∠COE，
∴CE＝OC＝5，
∵OC＝OAAC，OB＝ODBD，且AC＝BD，
∴OC＝OB，
∴HC＝HBBC＝4，
∴EH＝CE﹣HC＝5﹣4＝1，
∵tan∠ACB，
∴OH HC4＝3，
∴tan∠CEO3，
∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3．
24．（10分）解：（1）①∵平行四边形对角不互补，
∴平行四边形无外接圆，
∵平行四边形对边之和也不相等，
∴平行四边形无内切圆．
∴平行四边形是“平凡型无圆”四边形，
故①错误；
②∵内角不等于90°的菱形对角不互补，但是对边之和相等，
∴菱形是“内切型单圆”四边形，
故②正确；
③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，
如图，此时OM＝r，ON＝R，
∵△OMN是等腰直角三角形，
∴ONOM，
∴Rr，
故③正确．
故答案为：①（×）；②（√），③（√）．
（2）①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
理由：∵AB+CD≠BC+AD，
∴四边形ABCD无内切圆．
∴四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
②证法1：如图1，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴，即，
∴与均为半圆，
∴EF是⊙O的直径．
证法2：如图1，连接AF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴∠1+∠2＝90°，
由同弧所对的圆周角相等可得∠2＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°．
∴EF是⊙O的直径
证法3：如图2，连接FD，ED．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由题意，得，，
∵由同弧所对的圆周角相等可得：∠EFD＝∠1，∠FED＝∠2，
∴，
∴∠FDE＝90°．
∴EF是⊙O的直径．
（3）①证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HG．
∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．
∴∠OEA＝∠OHA＝90°．
∴在四边形EAHO中，∠A+∠EOH＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
同理可证∠FOG+∠C＝180°，
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴四边形ABCD有外接圆，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠EOH＝∠C．
∴∠FOG+∠EOH＝180°
又∵∠FHG∠FOG，，
∴∠FHG+∠EGH＝90°．
∴∠HPG＝90°，即EG⊥FH．
②方法1：如图4，连接OE，OF，OG，OH．
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF＝180°．
∵⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，
∴∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF．
∴∠OAH+∠OCG＝90°．
∵∠COG+∠OCG＝90°，
∴∠OAH＝∠COG．
∵∠AHO＝∠OGC＝90°，
∴△AOH∽△OCG．
∴，即，
解得，
在Rt△OGC中，有OG2+CG2＝OC2，即，
解得，
在Rt△OBE中，
同理可证△BEO∽△OHD，
所以，即，
解得．
方法2：如图4，
由△AOH∽△OCG，得，即，
解得，
由△BEO∽△OHD，
得，即，
解得．
25．（10分）解：（1）将A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得，
②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2．
∴．
（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个．
方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
得（a+2y1）（a+2y2）＝0，
∴，，
①当a＞0时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，
∴此时该函数图象与x轴有两个公共点；
②当a＜0时，，此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，
∴此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．
方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
得（a+2y1）（a+2y2）＝0，
∴，，
∴抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解．
∴该方程根的判别式，即b2﹣4ac≥2a2．
∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0．
∴原函数图象与x轴必有两个公共点．
方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
可得或．
①当时，有，即，
∴．
此时该函数图象与x轴有两个公共点．
②当时，同理可得△＞0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点．
（3）因为a＞0，所以该函数图象开口向上．
∵，
∴，
∴y1＝y2＝﹣a．
∵，
∴，
∴y3＝y4＝a，
∴直线AB，CD均与x轴平行．
由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，
设E（x5，0），F（x6，0）．
由图象可知，即b2﹣4ac＞4a2，
∴ax2+bx+c＝﹣a的两根为x1、x2，
∴，
同理ax2+bx+c＝a的两根为x3、x4，可得，
同理ax2+bx+c＝0的两根为x5、x6，可得，
由于m＞1，结合图象与计算可得AB＜EF＜m EF，AB＜CD．
若存在实数m（m＞1），使得AB，CD，m EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为 30°、60° 的直角三角形，
∴线段AB不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，
∵m EF＞AB，
∴必须同时满足：AB2+（m EF）2＝CD2，．
将上述各式代入化简可得，且，
联立解之得，，
解得，符合要求．
∴，此时该函数的最小值为．
②当以线段m EF为斜边时，必有AB2+CD2＝（m EF）2，
同理代入化简可得2（b2﹣4ac）＝m2（b2﹣4ac），
解得，
∵以线段为斜边，且有一个内角为60°，而CD＞AB，
∴CD＝AB tan60°，即，
化简得b2﹣4ac＝8a2＞4a2符合要求．
∴，此时该函数的最小值为．
综上所述，存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为﹣2a．
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