资源简介

模型3 三线八角
模型展现
基础模型
图示
特点 直线AB,CD 被EF所截
结论 同位角:如∠2和∠6,∠3和∠7,∠1和∠5,∠4和∠8;内错角:如∠3和∠5,∠4和∠6; 同旁内角:如∠3和∠6,∠4和∠5
模型拓展
拓展方向：当两条被截线互相平行时
图示
特点 直线AB,CD被EF所截,AB∥CD
结论 同位角相等:∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8; 内错角相等:∠3=∠5,∠4=∠6; 同旁内角互补:∠3+∠6=180°,∠4+∠5=180° (应用平行线的性质与判定)
怎么用
1.找模型
遇到“两条直线被第三条直线所截”，考虑“三线八角”
2.用模型
“三线八角”问题可用于对同位角、内错角、同旁内角的识别或求个数或结合相关性质求角度
巧学巧记
“F”型中找同位角，“Z”型中找内错角，“U”型中找同旁内角.
模型典例
例1 如图，已知直线l 与l 被直线l 所截，下列等式一定成立的是 ( )
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3
C. ∠2+∠4=180° D. ∠1+∠4=180°
思 路 点 拨
通过三线八角判断所给角的位置关系，要注意的是只有两直线平行时，才能满足同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图,直线AB∥CD,∠G=80°,∠GHF=31°,则∠GEB的度数是 ( )
A. 59° B. 111°
C. 121° D. 149°
思 路 点 拨
题中已知角度不在 AB,CD,EF三条线所形成的三线八角中，而是△HFG 的两个内角，考虑三角形的内外角关系转换求解.
例3 如图,直线AB 与CD相交于点 E,且∠BEC=80°,点 F 是直线 CD 上一点.按以下步骤作图：①以点 E 为圆心，任意长为半径作弧，分别交EC，EA于点P，Q，②以点F为圆心，以EP长为半径作弧，交CD于点M，③以点M为圆心，以PQ长为半径作弧，交步骤②中的弧于点 N，④过 N，F 两点作直线 GH.则∠DFG的度数是 ( )
A. 100° B. 80° C. 50° D. 40°
思 路 点 拨
根据尺规作图步骤可判断 AB与GH的位置关系，再由已知角度与所求角度不是同位角、内错角、同旁内角关系，可借助对顶角相等可进行角度转化.
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针对训练
1. 如图,AB∥CD,DE⊥AC,垂足为点 E,若∠BAC=119°,则∠D的度数为 ( )
A. 18° B. 26°
C. 29° D. 31°
2. 如图,,l ∥l ,l ∥l ,则图中与∠1互补的角有
( )
A. 4个 B. 3个
C.2个 D. 1个
3. ( 创新题型-跨学科试题)如图,∠AOB的一边 OA为平面镜,∠AOB=36°,在OB边上有一点 E，从点 E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠EDC的度数是 ( )
A. 36° B. 72°
C. 90° D. 108°
4. 如图,已知AB∥CD,连接BC.点E,F是直线AB上不与A，B重合的两点，G是CD上一点,连接ED交BC于点N,连接FG交BC于点 M.若∠ENC+∠CMG=180°.
(1)求证:∠2=∠3;
(2)若∠A=∠1+60°,∠ACB=50°,求∠B的度数.
5. ( 创新题型-真实情境类试题)一个零件的形状如图,按规定,当∠A=∠C=∠E时,零件合格.检验工人陈师傅经过测量，他发现:AB∥DE∥CF,AD∥BC∥EF,∠CBD=60°,∠BDE=50°，他判定这个零件合格.请运用所学知识说明该零件合格的理由.
模型典例
例1 D 【解析】∠1 与∠2 是同位角,∠2 与∠3 是内错角,∠2 与∠4 是同旁内角,∵ l 与l 不平行,∴选项 A,B,C不成立,∵∠1与∠4互为邻补角,∴∠1+∠4=180°(邻补角之和等于180°) ,故D 正确.
例2 B 【解析】∵ ∠G=80°,∠GHF=31°,∴∠GFD=∠G+∠GHF=80°+31°=111°(三角形内外角关系),∵ AB∥CD,∴ ∠GEB=∠GFD=111°.
例3 B 【解析】由尺规作图步骤可知,∠NFE=∠AEC,∴AB∥GH,∴∠EFH=∠BEC=80°(两直线平行,同位角相等),∴∠DFG=∠EFH=80°(对顶角相等).
针对训练
1. C 【解析】∵ AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵∠BAC=119°,∴ ∠ACD=61°,∵ DE⊥AC,∴∠D=90°-∠ACD=29°(三角形的内角和为180°).
2. B 【解析】如解图,∵l ∥l ,∴∠1+∠2=180°.∵∠2=∠3,∴∠1+∠3=180°.∵l ∥l ,∴∠3=∠4,∴∠4+∠1=180°.∴与∠1互补的角有∠2、∠3、∠4,共3 个.
3. D 【解析】∵CD∥OB,∴∠ADC=∠AOB(两直线平行,同位角相等),∵∠ADC=∠EDO(反射角的余角等于入射角的余角)，∴∠EDO=∠AOB = ∠ADC = 36°,∴ ∠EDC = 180°-∠EDO-∠ADC=108°.
4. (1)证明:∵∠CMG=∠FMN,∠ENC+∠CMG=180°,
∴∠ENC+∠FMN=180°,
∴ED∥FG,
∴∠2=∠D,
又∵AB∥CD,
∴∠3=∠D,
∴∠2=∠3;
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠1=∠B,∠A+∠ACD=∠A+∠ACB+∠1=180°,又∵∠A=∠1+60°,∠ACB=50°,
∴∠1+60°+50°+∠1=180°,
∴∠1=35°,
∴∠B=∠1=35°.
5.解：合格.理由如下：
∵AB∥DE,∠BDE=50°,
∴∠ABD=∠BDE=50°(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CF,∴∠ABD=∠BFC=50°,
∵∠CBD=60°,
∵AD∥BC,∠CBD=60°,
∴∠ADB=∠CBD=60°,
∵AD∥EF,∴∠ADB=∠DFE=60°,
∵∠BDE=50°,
∴∠A=∠C=∠E,
∴该零件合格.

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