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专题三 与平行线有关的辅助线作法
方法呈现
方法 1 遇平行及拐点，过拐点作平行线
条 件:如图①②,AB∥CD,点E在AB,CD之间折线的拐点处
辅助线：过点 E 作AB(或CD)的平行线
结 论:AB∥EF∥CD,∠ABE+∠BEF=∠CDE+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)
1.如图，已知直线 点A，B分别在直线 上，点P 是直线 间一点,连接PA,PB.若∠1=∠2=130°,求∠APB的度数.
方法2 遇平行及拐点，构造三角形
条 件:如图③,AB∥CD,点E是平面上一点,连接BE,DE
辅助线:延长AB交 DE 于点 F
结 论:∠ABE=∠E+∠BFE=∠E+∠D(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；两直线平行，同位角相等)
条 件:如图,AB∥CD,点E在AB,CD之间折线的拐点处
辅助线：延长BE交 CD 或CD 的延长线于点 F
结 论:如图④,∠BED=∠EFD+∠D=∠B+∠D;如图⑤,∠BED=∠F+∠EDF=180°-∠B+∠EDF(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补)
2. 如图,直线AB∥CD,点E是直线AB 上一点,点F是直线AB,CD外一点,连接FE,FC,若∠FEB=4∠F=100°,求∠DCF的度数.
典例精析
例1 (一题多解)如图，已知. 含 的直角三角板 EFG 的直角顶点 E 在 CD上,FG与AB 交于点 H,若 求 的度数.
解法1:
思路分析
为什么作 条件： 含 30°的直角三角板 EFG 的直角顶点 E 在CD上，顶点 F 在平行线间
怎 么 作 辅助线:过点 F作FP∥AB(如图①) ———方法1
(思考：将∠GFE 转化到两组平行线中，再利用平行线性质求解)
得到什么 结论:∠BHF=∠HFP,∠EFP=∠FED
自主解答
解:
解法2:
思路分析
为什么作 条件:AB∥CD,含30°的直角三角板 EFG 的直角顶点 E 在CD上，顶点 F 在平行线间
怎 么 作 辅助线：延长EF交AB于点 M(如图②)(目的：利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)——方法2
得到什么 结论:∠HFE=∠FHM+∠HMF,∠HMF=∠FED
自主解答
解:
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针对训练
1. 创新题型一开放性设问点A，B分别在直线GH，MN上，
(1)如图①，请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得( 你添加的条件是 ，并证明这个结论；
(2)如图②,若( AE 平分∠HAC,DE 平分∠BDC,若3 ,求证:∠E=∠HAC.
2. (一题练多法)如图，已知直线( 点C,D 分别在直线 GH,MN 上.
(1)如图①，△CDE和△ABF分别是含45°和30°的直角三角板，两直角三角板的斜边在一条直线上,点 F 在直线 GH上,点 E 在直线MN上,求 的度数；
(2)如图②,若点A在直线GH上方,AD交GH于点 O,BD 平分∠ADN,EC 平分. ,EC的延长线交 DB于点B,当∠CAD=60°时,求∠DBC的度数.
专题三 与平行线有关的辅助线作法
方法呈现
1. 解:∵l ∥l ,且点P为平行线间的拐点,如解图，过点P作l 的平行线PQ，(已知l ∥l ,需求∠APB的度数,考虑作l (或l )的平行线，利用两直线平行，同旁内角互补求角度)
∴l ∥l ∥PQ,则∠1+∠APQ=∠2+∠QPB=180°,
∵∠1=∠2=130°,
∴∠APQ=∠QPB=180°-130°=50°,
2. 解:∵AB∥CD,点F是直线AB外一点,如解图,延长DC交EF 于点G,(已知AB∥CD，且需求∠DCF的度数，考虑延长平行线，将已知角和所求角度转换到同一个三角形上求解)
∴∠FEB=∠CGF,
∵∠FEB=4∠F=100°,∴∠F=25°,
∵∠DCF=∠CGF+∠E,
∴∠DCF=100°+25°=125°.
典例精析
例1 解法1:解:∵AB∥CD,△GEF为含30°的直角三角板，点F为平行线间的点，
∴∠GFE=60°,
如解图①,过点F 作FP∥AB,(已知AB∥CD,∠GFE=60°,考虑过拐点作平行线,利用平行线性质求角度)
∵∠AHG=18°,
∴∠GFP=∠AHG=18°,则∠PFE=∠GFE-∠GFP=60°-18°=42°,
又∵AB∥CD,∴PF∥ED,
∴∠FED=∠PFE=42°。
解法2:解:∵△GEF 为含30°的直角三角板,∴∠GFE=60°,
如解图②,延长EF交AB于点M,(已知AB∥CD,∠GFE=60°,考虑利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求角度)
∵ ∠AHG=18°,∴∠FHM=∠AHG=18°,
∴∠GFE=∠FHM+∠HMF,
∴∠HMF=∠GFE-∠FHM=60°-18°=42°,
∵AB∥CD,∴∠FED=∠HMF=42°.
针对训练
1. (1)解:AC∥BD(或可添加条件∠ACD=∠BDC).
证明:∵AC∥BD,
如解图①,延长AC 交直线MN 于点 F,(因为AC∥BD,要证 GH∥MN,考虑利用内错角相等，两直线平行求解)
∴AF∥BD,∴∠DBM=∠AFM,
∵∠HAC=∠MBD,∴∠AFM=∠HAC,
∴GH∥MN;
(2)证明:∵AE 平分∠HAC,DE 平分∠BDC,∴∠HAE=∠CAE,∠CDE=∠BDE,如解图②,延长AC 分别交 DE,MN 于点 O,F，(涉及多个角之间的等量关系，考虑作平行线和构造三角形，利用平行线性质和三角形内外角关系倒角)
∵ GH∥MN,∴∠HAC=∠AFM,
∵∠HAC=∠MBD,∴∠AFM=∠MBD,
∴AF∥BD,
∵∠AOD=∠E+∠EAC,
∴∠BDO=∠AOD=∠E+∠EAC,
∴ ∠CDB = 2∠BDO = 2(∠E +∠EAC) =∠HAC+2∠E,
∵3∠HAC=∠ACD=∠CDB,∴∠E=∠HAC.
2. 解:(1)∵GH∥MN,两直角三角板的斜边在一条直线上，点 F 在直线 GH上，点 A 为平行线间的拐点，
如解图①,过点 A 作 AP∥GH 交 BF 于点 P,(已知 GH∥MN 和三角板的度数及摆放位置，考虑过拐点 A 作AP∥GH，利用两直线平行，内错角相等解题)
∴GH∥MN∥AP,
∴∠CFA=∠FAP,∠PAE=∠AED=45°,
∵∠FAB=60°,∠FAB=∠FAP+∠PAB,
∴∠FAP=∠FAB-∠PAB=60°-45°=15°,
∴∠CFA=15°;
(2)∵ GH∥MN,BD 平分∠ADN,EC 平分∠ACH,且 BD与EC的延长线交于点 B,∴∠ACE=∠HCE,∠NDB=∠ADB,∠AOC=∠ADN,
如解图②,延长 DB 交 GH于点 Q,(已知GH∥MN,BD 平分∠ADN,EC平分∠ACH,要求∠DBC，考虑构造以∠DBC 为外角的三角形解题)
∴∠QDN=∠CQB=∠ODQ,又∵∠ACH=∠A+∠AOC,即2∠ECQ=60°+2∠BDO,
∴∠ECQ-∠BDO=30°,
∴∠DBC=∠QCB+∠CQB=180°-∠ECQ+ =150°.
专题三 与平行线有关的辅助线作法
方法呈现
1. 解:∵l ∥l ,且点P为平行线间的拐点,如解图，过点P作l 的平行线PQ，(已知l ∥l ,需求∠APB的度数,考虑作l (或l )的平行线，利用两直线平行，同旁内角互补求角度)
∴l ∥l ∥PQ,则∠1+∠APQ=∠2+∠QPB=180°,
∵∠1=∠2=130°,
∴∠APQ=∠QPB=180°-130°=50°,
2. 解:∵AB∥CD,点F是直线AB外一点,如解图,延长DC交EF 于点G,(已知AB∥CD，且需求∠DCF的度数，考虑延长平行线，将已知角和所求角度转换到同一个三角形上求解)
∴∠FEB=∠CGF,
∵∠FEB=4∠F=100°,∴∠F=25°,
∵∠DCF=∠CGF+∠E,
∴∠DCF=100°+25°=125°.
典例精析
例1 解法1:解:∵AB∥CD,△GEF为含30°的直角三角板，点F为平行线间的点，
∴∠GFE=60°,
如解图①,过点F 作FP∥AB,(已知AB∥CD,∠GFE=60°,考虑过拐点作平行线,利用平行线性质求角度)
∵∠AHG=18°,
∴∠GFP=∠AHG=18°,则∠PFE=∠GFE-∠GFP=60°-18°=42°,
又∵AB∥CD,∴PF∥ED,
∴∠FED=∠PFE=42°。
解法2:解:∵△GEF 为含30°的直角三角板,∴∠GFE=60°,
如解图②,延长EF交AB于点M,(已知AB∥CD,∠GFE=60°,考虑利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求角度)
∵ ∠AHG=18°,∴∠FHM=∠AHG=18°,
∴∠GFE=∠FHM+∠HMF,
∴∠HMF=∠GFE-∠FHM=60°-18°=42°,
∵AB∥CD,∴∠FED=∠HMF=42°.
针对训练
1. (1)解:AC∥BD(或可添加条件∠ACD=∠BDC).
证明:∵AC∥BD,
如解图①,延长AC 交直线MN 于点 F,(因为AC∥BD,要证 GH∥MN,考虑利用内错角相等，两直线平行求解)
∴AF∥BD,∴∠DBM=∠AFM,
∵∠HAC=∠MBD,∴∠AFM=∠HAC,
∴GH∥MN;
(2)证明:∵AE 平分∠HAC,DE 平分∠BDC,∴∠HAE=∠CAE,∠CDE=∠BDE,如解图②,延长AC 分别交 DE,MN 于点 O,F，(涉及多个角之间的等量关系，考虑作平行线和构造三角形，利用平行线性质和三角形内外角关系倒角)
∵ GH∥MN,∴∠HAC=∠AFM,
∵∠HAC=∠MBD,∴∠AFM=∠MBD,
∴AF∥BD,
∵∠AOD=∠E+∠EAC,
∴∠BDO=∠AOD=∠E+∠EAC,
∴ ∠CDB = 2∠BDO = 2(∠E +∠EAC) =∠HAC+2∠E,
∵3∠HAC=∠ACD=∠CDB,∴∠E=∠HAC.
2. 解:(1)∵GH∥MN,两直角三角板的斜边在一条直线上，点 F 在直线 GH上，点 A 为平行线间的拐点，
如解图①,过点 A 作 AP∥GH 交 BF 于点 P,(已知 GH∥MN 和三角板的度数及摆放位置，考虑过拐点 A 作AP∥GH，利用两直线平行，内错角相等解题)
∴GH∥MN∥AP,
∴∠CFA=∠FAP,∠PAE=∠AED=45°,
∵∠FAB=60°,∠FAB=∠FAP+∠PAB,
∴∠FAP=∠FAB-∠PAB=60°-45°=15°,
∴∠CFA=15°;
(2)∵ GH∥MN,BD 平分∠ADN,EC 平分∠ACH,且 BD与EC的延长线交于点 B,∴∠ACE=∠HCE,∠NDB=∠ADB,∠AOC=∠ADN,
如解图②,延长 DB 交 GH于点 Q,(已知GH∥MN,BD 平分∠ADN,EC平分∠ACH,要求∠DBC，考虑构造以∠DBC 为外角的三角形解题)
∴∠QDN=∠CQB=∠ODQ,又∵∠ACH=∠A+∠AOC,即2∠ECQ=60°+2∠BDO,
∴∠ECQ-∠BDO=30°,
∴∠DBC=∠QCB+∠CQB=180°-∠ECQ+ =150°.

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