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三角形知识梳理+题型总结
知识点1：三角形和与它等底等高的平行四边形面积的关系
用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是它所
拼成的平行四边形面积的一半，所以每个三角形的面积=两个完全一样的三角
形所拼成的平行四边形的面积÷2。
知识点2：三角形的面积公式
三角形的面积＝底×高÷2
如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，上面的公式可以写成：
重难点一：等底(或等高)、等面积的三角形和平行四边形的高(或底)之间的关系
【例题】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的( )，平行四边形的高等于三角形的（ ），每个三角形的面积等于平行四边形面积的( )。因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=( )。
答案：底，高，一半，底×高÷2
【变式1】用两个完全一样的三角形能拼成一个底10厘米、高8厘米的平行四边形，每个三角形的面积是多少平方厘米？
答案：10×8÷2=40平方厘米
【变式2】一个平行四边形的底是6厘米，高是14厘米，它的面积是（ ）平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是( ）平方厘米。
答案：84平方厘米，42平方厘米
【变式3】一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12平方分米，则平行四边形的面积是（ ）平方分米，三角形的面积是( ）平方分米。
答案：24平方分米，12平方分米
重难点二：三角形面积公式的基础应用
【例题】计算下面三角形的面积。
答案：应用三角形的面积公式可得：20平方厘米，6平方厘米，360平方厘米
【变式】一块三角形木板，底是26分米，比高短14分米。这块木板的面积是多少平方分米
答案:高是26+14=40分米，应用三角形的面积公式26×40÷2=520平方分米
重难点三：三角形公式逆应用
【例题】一个三角形的面积是200平方厘米，它的底是40厘米。你能求出这个三角形的高吗
答案:三角形公式逆应用，，200×2÷40=10厘米。
【变式1】 一块三角形交通标识（如图)，面积是36dm ，底是9dm。这个底对应的高是多少分米
答案:三角形公式逆应用，，36×2÷9=8分米
【变式2】如图，学校在围墙的一角建了一个直角三角形的花坛，至少需要多长的篱笆
答案：15×20÷2=150平方米，150×2÷12=18米
易错点：对拼成平行四边形的两个三角形认识不足
【例题】判断：如果两个三角形等底等高，那么它们一定能拼成一个平行四边形。（ ）
答案：×
解析两个三角形能拼成一个平行四边形，一定要保证这两个三角形完全相同，而等底等高只能说明面积相等，但形状不一定相同。如下图，这两个三角形等底等高，但它们不能拼成一个平行四边形。
【变式1】判断：任意一个三角形的面积都等于平行四边形面积的一半。（ ）
答案：×
【变式2】面积相等的两个三角形，一定能拼成一个平行四边形，。（ ）
答案：×
拓展点一：裁小旗问题
【例题】用一块长为50厘米、宽为10厘米的长方形红布做形状为直角三角形的小旗，小旗的两条直角边分别是8厘米和5厘米，这块布最多可以做多少面这样的小旗？
答案：用一块长为50厘米、宽为10厘米的长方形红布做形状为直角三角形的小旗，小旗的两条直角边分别是8厘米和5厘米，看看长方形的长有多少个8厘米，宽有多少个5厘米，两个数相乘再乘上二就是需要的个数。
50÷8=6（个）......2(cm)，10÷5=2（个），6×2×2=24个
答这块布最多可以做面这样的24小旗。
【变式】一张长方形彩纸，长是16厘米，宽是8厘米，如果用它做成两条直角边分别是3cm，4cm的直角三角形小旗，最多可以做多少面这样的小旗？
答案：用一块长为16厘米、宽为8厘米的长方形红布做形状为直角三角形的小旗，小旗的两条直角边分别是3厘米和4厘米，看看长方形的长有多少个3厘米，宽有多少个4厘米，两个数相乘再乘上二就是需要的个数。
16÷3=5（个）......1(cm)，8÷4=2（个），5×2×2=20个
拓展点二：求运用推理法阴影部分面积（三角形和长方形、平行四边形综合考察）
【例题】 下图平行四边形的面积是50dm 。阴影部分的面积是多少
答案：无论三角形处于平行四边形中的什么位置，只要它与平行四边形等底等高，三角形的面积总是平行四边形面积的一半。50÷2=25dm
【变式1】如图，阴影部分的面积是24平方厘米，那么平行四边形的面积是多少平方厘米
答案：无论三角形处于平行四边形中的什么位置，只要它与平行四边形等
底等高，三角形的面积总是平行四边形面积的一半。24÷2=12dm
【变式2】平行四边形ABCD的面积是36平方米，E是CD边的中点，求阴影部分的面积。
答案：36÷2÷2=9平方米
一、选择题
1．一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等。如果三角形的高是4分米，那么平行四边形的高是（ ）分米。
A．2 B．1 C．8 D．4
2．一个直角三角形三条边的长度分别是6厘米、8厘米和10厘米。这个直角三角形的面积是（ ）平方厘米。
A．24平方厘米 B．30平方厘米 C．40平方厘米
3．一个三角形的面积是15平方米，底是10米，高是（ ）米。
A．6 B．3 C．1.5
4．用一张长方形纸剪同样的三角形（不允许拼接），最多能剪出（ ）个这样的三角形。
A．10 B．20 C．21 D．42
5．如图是由6个大小一样的正方形拼成的图形，阴影部分甲、乙、丙的面积关系为（ ）。
A．甲＞乙＞丙 B．甲＜乙＜丙 C．甲＝乙＝丙 D．无法比较
6．如图，在一组平行线间有一个长方形和一个平行四边形，它们当中的阴影部分面积相比，（ ）。
A．甲的面积大 B．一样大 C．乙的面积大 D．无法比较
二、填空题
7．用一张边长90厘米的正方形红纸，做底和高都是5厘米的直角三角形小红旗，最多可以做( )面。
8．如图，正方形的周长是64cm，则涂色部分的面积是( )cm2。
9．一个三角形，底是8米，高是60分米，面积是( )平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方米。
10．一个三角形与一个平行四边形的底相等，高也相等，如果平行四边形的面积比三角形的面积大18平方厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。
11．一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰长13厘米，底边上的高是12厘米，那么这个三角形的面积是( )平方厘米。
12．一个直角三角形（如图）的三条边分别是15厘米、20厘米和25厘米，这个直角三角形最长边上的高是( )厘米。
13．一个平行四边形的面积是24平方厘米，在这个平行四边形中画一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。
14．一块三角形菜地，底是60分米，高是25分米。如果在菜地里种番茄，平均每棵番茄占地15平方分米，这块菜地一共可以种 棵番茄。
15．一张长150厘米、宽45厘米的长方形纸，把它剪成两条直角边分别是30厘米、15厘米的直角三角形，最多可以剪( )个。
16．如图，平行四边形的面积是84平方厘米，长方形的面积是 平方厘米，三角形的面积是 平方厘米。
三、判断题
17．下图中，两条平行线之间的两个图形的面积相等。( )
四、计算题
18．计算下面三角形的面积。
19．计算下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米）
五、解答题
20．王伯伯有一块地（如图），他把这块地分成一个平行四边形和一个三角形。平行四边形区域种西红柿，三角形区域种韭菜，已知种韭菜的面积是4平方米，种西红柿的面积是多少平方米？
21．下图两个平行四边形的面积都是50平方厘米，两个涂色三角形的面积相等吗？为什么？
22．一面用纸做成的直角三角形小旗，两条直角边分别长为14厘米和30厘米。做20面这样的小旗，至少需要用纸多少平方厘米？
23．一块菜地的形状是三角形，它的底是80米，高是30米，如果每平方米可种5棵大白菜，这块菜地一共可以种多少棵大白菜？
24．鲁山五里岭酥梨种植基地有块近似三角形的梨园，底45米，高30米。如果平均每棵梨树占地9平方米，这个梨园一共有多少棵梨树？
25．填一填，画一画，下图中5个正方形的面积都相等。
（1）图形（ ）和图形（ ）的面积相等；三个图形相比，面积最大的是（ ）。
（2）请你画一个图形D，使它的面积和图形C相等。
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】等面积等底的平行四边形和三角形，三角形的高是平行四边形高的2倍，直接用三角形的高÷2＝平行四边形的高，据此列式计算。
【详解】4÷2＝2（分米）
平行四边形的高是2分米。
故答案为：A
2．A
【分析】直角三角形的斜边最长。10＞8＞6，则这个直角三角形的两条直角边是6厘米和8厘米，即是三角形的一组底和高。三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据计算即可。
【详解】6×8÷2
＝48÷2
＝24（平方厘米）
这个直角三角形的面积是24平方厘米。
故答案为：A
3．B
【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据此用三角形的面积乘2，再除以底即可求出高。
【详解】15×2÷10
＝30÷10
＝3（米）
高是3米。
故答案为：B
4．B
【分析】剪的两个同样的三角形可组成一个长10厘米，宽5厘米的长方形。只要求出在长53厘米的边上，能剪几个5厘米宽的长方形，就能求出最多能剪几个这样的三角形，据此解答。
【详解】53÷5＝10（个）……3（厘米）
10×2＝20（个）
最多能剪20个这样的三角形。
故答案为：B
5．C
【分析】三角形面积＝底×高÷2。看图，三个阴影部分均为三角形，并且底和高均为正方形的边长。等底等高的三角形，面积相等。据此解题。
【详解】阴影部分甲、乙、丙的面积关系：甲＝乙＝丙。
故答案为：C
6．B
【分析】根据题意，在一组平行线间有一个长方形和一个平行四边形，则两条平行线间的距离相等，长方形的宽、平行四边形的高都等于两条平行线间的距离，设两条平行线间的距离是1cm。
长方形中的阴影部分是三角形甲，底等于长方形的宽，高等于长方形的长；平行四边形中的阴影部分是三角形乙，底等于平行四边形的底，高等于平行四边形的高。
根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出甲、乙两个三角形的面积，再比较，得出结论。
【详解】设两条平行线间的距离是1cm。
甲的面积：1×6÷2＝3（cm2）
乙的面积：6×1÷2＝3（cm2）
甲的面积＝乙的面积
所以，它们当中的阴影部分面积相比，一样大。
故答案为：B
【点睛】本题考查三角形面积公式的运用，明白两条平行线间的距离相等，以及从图中找出三角形与长方形、平行四边形的关系是解题的关键。
7．648
【分析】因为90厘米是5厘米的整数倍，可知正方形红纸刚好可以全部剪成小红旗，没有剩余，所以三角形小旗的面数＝正方形的面积÷三角形面积。再根据正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2。把数据代入解答即可。
【详解】90×90÷（5×5÷2）
＝8100÷12.5
＝648（面）
所以，最多可以做648面。
8．128
【分析】
将正方形的周长除以4，求出正方形的边长。看图可知，正方形边长和三角形的底、高相等。三角形面积＝底×高÷2，由此求出涂色部分的面积。
【详解】64÷4＝16（cm）
16×16÷2＝128（cm2）
所以，涂色部分的面积是128cm2。
9． 24 48
【分析】三角形面积＝底×高÷2，据此求出三角形面积；等底等高的平行四边形和三角形，平行四边形面积是三角形面积的2倍，直接用三角形面积×2＝平行四边形面积，注意统一单位。
【详解】60分米＝6米
8×6÷2＝24（平方米）
24×2＝48（平方米）
一个三角形，底是8米，高是60分米，面积是24平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是48平方米。
10． 18 36
【分析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以等底等高的平行四边形与三角形的面积差就是这个三角形的面积，如果平行四边形的面积比三角形的面积大的18平方厘米就是三角形的面积。三角形面积×2＝平行四边形的面积，据此解答即可。
【详解】18×2＝36（平方厘米）
则这个三角形的面积是18平方厘米，平行四边形的面积是36平方厘米。
11．60
【分析】等腰三角形两条腰长度相等，则这个等腰三角形的底边长是36－13－13＝10（厘米）。三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据计算即可。
【详解】36－13－13＝10（厘米）
10×12÷2＝60（平方厘米）
那么这个三角形的面积是60平方厘米。
12．12
【分析】直角三角形两直角边可以看作底和高，较短的两条边是直角边，根据三角形面积＝底×高÷2，据此求出三角形面积，再根据三角形的高＝面积×2÷底，求出最长边上的高。
【详解】15×20÷2＝150（平方厘米）
150×2÷25＝12（厘米）
这个直角三角形最长边上的高是12厘米。
13．12
【分析】根据题意，在一个平行四边形里画一个最大的三角形，那么这个三角形与平行四边形等底等高；根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可知等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答。
【详解】24÷2＝12（平方厘米）
则这个三角形的面积是12平方厘米。
14．50
【分析】根据三角形的面积公式计算出菜地的面积，这块菜地可以种番茄的数量＝菜地面积÷每棵番茄占地面积，据此解答。
【详解】
（棵）
即这块菜地一共可以种50棵番茄。
15．30
【分析】因为150厘米是30厘米的5倍，45厘米是15厘米的3倍，所以把这张长方形纸剪成一些直角三角形不会浪费材料。即可用长方形纸的面积除以直角三角形的面积，求出最多可以剪的直角三角形的个数。先根据长方形的面积＝长×宽，用150×45求出长方形的面积是6750平方厘米；再根据三角形的面积＝底×高÷2，用30×15÷2求出直角三角形的面积是225平方厘米；最后用6750÷225求出最多可以剪的直角三角形的个数。
【详解】150×45＝6750（平方厘米）
30×15÷2
＝450÷2
＝225（平方厘米）
6750÷225＝30（个）
所以，最多可以剪30个。
16． 84 84
【分析】由题意可知，长方形、三角形和平行四边形的高相等，根据平行四边形的面积＝底×高，那么高＝面积÷底，据此求出平行四边形的高，再根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，把数据代入公式解答。
【详解】84÷7＝12（厘米）
7×12＝84（平方厘米）
14×12÷2
＝168÷2
＝84（平方厘米）
则长方形的面积是84平方厘米，三角形的面积是84平方厘米。
17．√
【分析】设平行四边形、三角形的高均为2厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，别表示出平行四边形、三角形的面积，比较即可判断。
【详解】设平行四边形、三角形的高均为2厘米，
平行四边形的面积为2×2＝4（平方厘米）
三角形的面积为4×2÷2＝4（平方厘米）
4平方厘米＝4平方厘米，所以两个图形的面积相等。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查平行四边形、三角形的面积公式的灵活运用。
18．20cm2；6dm2；360m2
【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。
【详解】（1）8×5÷2
＝40÷2
＝20（cm2）
三角形的面积是20cm2。
（2）3×4÷2
＝12÷2
＝6（dm2）
三角形的面积是6dm2。
（3）45×16÷2
＝720÷2
＝360（m2）
三角形的面积是360m2。
19．24平方厘米
【分析】阴影部分是一个底为8厘米，高为6厘米的三角形，三角形面积＝底×高÷2，将数值代入计算即可。据此解答。
【详解】8×6÷2
＝48÷2
＝24（平方厘米）
阴影部分的面积是24平方厘米。
【点睛】正确找出三角形的底和高，利用三角形面积公式计算是解答的关键。
20．12平方米
【分析】根据三角形的面积公式：底×高÷2，可知三角形的高＝面积×2÷底，又由图可知，三角形和平行四边形高相等，据此根据平行四边形面积公式：底×高，代入数据计算即可。
【详解】4×2÷4
＝8÷4
＝2（米）
6×2＝12（平方米）
答：种西红柿的面积是12平方米。
21．相等；理由见详解
【分析】已知两个平行四边形的面积都是50平方厘米，观察图形可知，两个涂色三角形与平行四边形等底等高，根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可知三角形的面积是与它等底等高平行四边形面积的一半，据此解答。
【详解】50÷2＝25（平方厘米）
答：两个涂色三角形的面积相等，都是25平方厘米。因为两个涂色三角形与平行四边形等底等高，所以两个涂色三角形的面积都等于平行四边形面积的一半。
22．4200平方厘米
【分析】直角三角形两直角边可以看作底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，先求出一面小旗的面积，一面小旗的面积×面数＝需要的纸的面积，据此列式解答。
【详解】14×30÷2×20
＝210×20
＝4200（平方厘米）
答：至少需要用纸4200平方厘米。
23．6000棵
【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，计算出菜地面积，再乘每平方米可种大白菜的棵数，据此可得出答案。
【详解】可种大白菜棵数为：
80×30÷2×5
＝2400÷2×5
＝1200×5
＝6000（棵）
答：这块菜地一共可以种6000棵大白菜。
24．75棵
【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出梨园的面积，再除以9，即可解答。
【详解】45×30÷2÷9
＝1350÷2÷9
＝675÷9
＝75（棵）
答：这个梨园一共有75棵梨树。
25．（1）A；B；C
（2）图见详解
【分析】（1）观察图形，根据正方形的四条边都相等，可知图形A、B、C等底等高。根据三角形＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可以得出三个图形的面积之间的大小关系。
（2）根据三角形、平行四边形及梯形的面积之间的关系，可以画出和图形C面积相等的合适的图形。
【详解】（1）假设这个正方形的边长为2；
三角形的面积：2×2÷2
＝4÷2
＝2
平行四边形的面积＝2×2＝4
所以图形A和图形B的面积相等；三个图形相比，面积最大的是C。
（2）如图：
【点睛】本题通过观察和分析图形之间的关系，不仅考查学生对于三角形和平行四边形面积公式的灵活运用能力，而且提升学生的作图思维和综合分析能力。

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