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分数与整数相乘知识点梳理+题型总结
知识点1：分数与整数相乘
1、分数乘整数的意义：一是求几个相同加数的和是多少；二是求一个分数的几倍是多少。如x2的意义是求2个的和是多少，也可以说是求的2倍是多少。
2、分数乘整数时，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
【例题】做一朵绸花要用米绸带。
（1）小芳做3朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米
（2）小华做5朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米
答案：（1）×3=9/10（米）
（2）×5=3/2（米）
【变式1】 一种大豆每千克约含油千克，1吨这种大豆约含油多少千克
答案：1吨=1000千克，×1000=160千克
【变式2】 列式计算。
的8倍是多少
（2）15个是多少
答案：（1）×8=6 （2）15×=20/3
知识点2：求一个数的几分之几是多少？
求一个数的几分之几是多少的实际问题，可以用“一个数×=多少‘’来解决，如8的是多少可以用8×
【例题】 填一填：12的是多少？先涂一涂，再用乘法计算。
（ ）×（ ）=（ ）
答案：12×=9，涂9个圆片
【变式1】一袋面粉25千克，已经吃了它的，吃了 ( )千克，还剩这袋面粉的（ ），还剩( )千克。
答案:5千克，4/5, 20千克
【变式2】五年级有学生45人，其中男生占，女生占全班人数的 ，女生有（ ）人．
答案：2/5, 10人
知识点3：求比一个数多（少）几分之几的简单实际问题
解决求比一个数多(少）几分之几的部分是多少的实际问题，关键是找准单位“1”的量，其数量关系式是：单位“1”的量×比一个数多(少)几分之几=一个数比另一个数多(少）的量。
【例题】学校有篮球20个，足球比篮球多，足球比篮球多几个
答案：20×=5个
【变式1】40kg增加后是　 　kg；30公顷减少后是　 　公顷．
答案：40+40×=45千克，30-30×=20千克
【变式2】 先说说每个分数的意义，再把数量关系式补充完整。
（1)男生人数比女生人数多。
（ ）的人数×=( )的人数
(2)九月份用电比八月份节约了。
（ ）的用电量×=（ ）的用电量
答案：（1）女生，男生人数比女生人数多，（2）八月份，九月份用电比八月份节约了
重难点一：求一个数的几分之几是多少与求比一个数多几分之几的部分是多少的实际问题比较
【例题】为了增强体质，小明、小华、小军三人早起跑步，小明今天跑了3000米。
（1)小华跑的路程是小明的，小华今天跑了多少米
(2)小军跑的路程比小明多，小军今天比小明多跑多少米？
【分析】（1）由“小华跑的路程是小明”可知，把小明跑的路程看作单位
“1”，数量关系式是：小明跑的路程×=小华跑的路程。
（2）由“小军跑的路程比小明多”可知，把小明跑的路程看作单位
“1”，数量关系式是：小明跑的路程×=小军比小明多跑的路程。
【规范解答】（1）3000×=2500（米）
(2）3000×=500（米）
【变式】某商场本月售出冰箱260台。
(1）售出的空调台数是冰箱的，售出空调多少台
（2）售出的电视台数比冰箱少，售出电视比冰箱少多少台
答案：（1）260×=80台 （2）260×=20台
重难点二：运用分类讨论法解决比较物体长短的问题
【例题】有两根同样长的钢管，第一根用去米，第二根用去，哪根用去的部分长一些
答案：第一种情况（钢管的长度等于1米），第一根用去米，第二根用去米，用去的部分一样长
第二种情况（钢管的长度＞1米），第一根用去米，第二根用去的长度＞米，第二根用去的部分长
第三种情况（钢管的长度＜1米），第一根用去米，第二根用去的长度＜米，第一根用去的部分长
【变式1】一根木条，第一次用去米，第二次用去总长的，哪次用去的多
答案：第二次用去总长的，则第以次用去总长的1-=，＞，第一次用去的多。
【变式2】一根绳子用去后剩下米，用去的部分和剩下的部分相比较，谁长？
答案：用去了，则剩下1-=，则＞，则用去的部分长。
重难点三：找准单位“1”，解决实际问题
【例题】某水果超市运来苹果和香蕉共208箱，苹果卖出，香蕉也卖出。苹果和香蕉共卖出多少箱
答案：苹果和香蕉各卖出，也就是卖出了总箱数的,即苹果×十香蕉×=（苹果十香蕉）×,208×=52(箱）。
【变式】六年级一共有48名学生，李老师从男生和女生中各选拔的学生参加小合唱比赛。李老师一共选拔了多少名学生
答案：48×=16人
拓展点一：利用倍数、最小公倍数解决分数乘整数问题
【例题】小明的书架上放着一些书，书的本数在100~150之间，其中是故事书，是科技书。书架上最多放着( )本故事书和（ ）本科技书。
答案：书的本书是5和7的公倍数，在100—150之间，5和7的公倍数最大是140,140×=28本，140×=20本
【变式】六年级甲、乙两班学生共有109人，已知甲班男生占甲班人数的，乙班男生占乙班人数的，则两班共有男生多少人？
答案：因为人数是整数，甲班的男生占甲班人数的，说明甲班的人数是11的倍数，同理乙班的人数是9的倍数，因为109=55+54，所以甲班的人数是55人，乙班的人数是54人
55×=30人，54×=30人，30+30=60人
拓展点二：运用因数与积的大小关系解决求字母的值的问题
【例题】 a，b是不为零的整数，a×＜ a，a×＞ a，求 b 的值。
答案：b=14
【变式】a和b都是不等于0的自然数，且知b×< b，b×> b，那么a是( ）。
答案：a=9
一、选择题
1．有一批水泥，第一次用去总数的，第二次用去余下的，两次相比（ ）。
A．第一次用去的多 B．第二次用去的多
C．两次用去的一样多 D．无法比较
2．一根6米长的绳子，第一次剪去它的，第二次剪去米，这时还剩（ ）米。
A．5 B． C．0
二、填空题
3．5立方分米＝( )立方厘米 0.24立方米＝( )立方分米
7500立方厘米＝( )立方分米
4．一个15分钟的沙漏计时器，里面共装沙45克，漏下这些沙的需要（ ）分钟，10分钟可以漏下这些沙的，是（ ）克。
5．女生人数的与男生人数相等，是把( )看作单位“1”，数量关系是：( )。
6．方特乐园成人票价200元，儿童票的价格是成人票的。儿童票的价格比成人票少( )元。
三、判断题
7．7千克的和9千克的相等。( )
四、计算题
8．计算。
＝ ＝
＝ ＝
9．看图列式计算。
五、解答题
10．一根长方体木料，长3米，横截面是一个边长0.3米的正方形。这根木料的横截面面积是多少平方米？体积是多少立方米？
11．先在下边的长方形中涂出4个，再算出涂色部分一共是这个长方形的几分之几？
12．你能用分数和分数相乘的方法计算下面各题吗？

13．一个正方体的底面积是平方米，它的表面积是多少平方米？
14．看图计算并填空。
15．2024年炎热夏天到来之前，有一位好心人准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是50米，宽是长的，深度为3米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）挖成这个游泳池共挖土多少立方米？
（3）在池的侧面和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
16．新湖乡去年种植黄豆24公顷，今年黄豆的种植面积比去年增加了。今年黄豆的种植面积比去年增加多少公顷？
17．同学们参加义务劳动，六年级去了60人，五年级去的人数是六年级的，五年级比六年级少去了多少人？
18．本场数学考试的时间为90分钟，当你做到这一题时，时间大约过去了，如果剩下的题目解答还需要的时间，那么做完整张试卷后检查的时间约占总时间的几分之几？约为多少分钟？
19．有一条长24千米的公路，第一天修了它的，第二天修了千米，两天共修多少千米？
20．冬冬家买来一袋15千克的面粉，吃了，吃了多少千克？
21．小林家九月份的电费是92元。安装分时电表后，十月份的电费比九月份减少。十月份的电费比九月份少多少元？
峰时段电价： 每千瓦·时0.55元 谷时段电价： 每千瓦·时0.30元
22．小军有28颗玻璃球，小力的玻璃球比小军多。小力的玻璃球比小军多多少颗？
23．先说说各个分数的意义，再把数量关系式补充完整。
实际用水量比原计划节约。
（ ）的用水量（ ）的用水量
24．先说说分数的意义，再把数量关系式补充完整。
皮球的个数比足球多。
（ ）的个数（ ）的个数
25．星河小学举行运动会，参加长跑的有24人，短跑的人数是长跑的1.5倍，跳高的人数是长跑的，跳远的人数是长跑的。先估计参加哪一项比赛的人数最多，参加哪一项比赛的人数最少，再算出参加短跑、跳高和跳远的各有多少人。
26．学校花坛里有84棵花，其中是月季，是杜鹃。这两种花各有多少棵？
27．吴山农场去年种小麦150公顷，今年比去年增加了，今年比去年多种多少公顷？
28．只列综合算式（或方程）不计算。
一根钢管长50米，第一次用去，第二次又用去米，两次共用去钢管多少米？
29．杨扬看一本180页的课外书，第一天看了这本书的，第二天看页数是第一天的。他这两天一共看了多少页？
30．有三堆围棋子，每堆60枚。第一堆有是白子，第二堆黑子与第三堆的白子同样多，这三堆棋子一共有白子多少枚？
31．甲、乙两地相距180千米，一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时已经行了全长的，照这样计算，行完全程一共要多少小时？
32．有三堆围棋子，每堆45枚。第一堆的黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有是白子，这三堆一共有多少枚白子？
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】将这批水泥看作单位“1”，第一次用去总数的，还余下总数的（1－），余下的分率×第二次用去余下的对应分率＝第二次卖出总数的几分之几，与第一次卖出总数的比较即可。
【详解】（1－）×
＝×
＝
＝
两次用去的一样多。
故答案为：C
2．B
【分析】将绳子长度看作单位“1”，绳子长度×第一次剪去的对应分率＝第一次剪去的长度，绳子长度－第一次剪去的长度－第二次剪去的长度＝还剩的长度，据此列式计算。
【详解】6－6×－
＝6－3－
＝3－
＝（米）
这时还剩米。
故答案为：B
3． 0.005 240 7.5
【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。
【详解】5立方分米＝0.005立方厘米
0.24立方米＝240立方分米
7500立方厘米＝7.5立方分米
4．6；；30
【分析】根据题意，漏下这些沙的需要的时间是15分钟的，用15乘即可求出漏下这些沙的需要的时间，10分钟可以漏下这些沙的的10倍，用乘10即可求出10分钟可以漏下这些沙的几分之几；用45乘10分钟可以漏下这些沙的几分之几即可求出10分钟可以漏下这些沙的克数。
【详解】15×＝6（分钟）
×10＝
45×＝30（克）
漏下这些沙的需要6分钟，10分钟可以漏下这些沙的，是30克。
5． 女生人数 女生人数×＝男生人数
【分析】在分数中，单位“1”表示可以平均分的任何事物，女生人数的与男生人数相等，是把女生人数看作单位“1”。
【详解】女生人数的与男生人数相等，是把女生人数看作单位“1”的数量关系是：女生人数×＝男生人数。
6．50
【分析】成人票价200元，儿童票的价格是成人票的，则儿童票价为元，比成人票少元，据此解答。
【详解】
（元）
即儿童票的价格比成人票少50元。
7．×
【分析】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。据此求出7千克的和9千克的分别是多少千克，从而解题。
【详解】7×＝（千克）
9×＝（千克）
＞，所以7千克的比9千克的少。
故答案为：×
8．；
；
【详解】略
9．480本
【分析】根据图示，将历史书籍本数看作单位“1”，科技类书籍本数是历史书籍的，历史书籍本数×科技类书籍对应分率＝科技类书籍本数，据此列式计算。
【详解】360×＝480（本）
10．0.09平方米；0.27立方米
【分析】求横截面的面积，就是求边长为0.3米的正方形面积，根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，求出横截面的面积；再根据长方体的体积＝底面积×高；底面积就是横截面积，高是3米，代入数据，即可解答。
【详解】0.3×0.3＝0.09（平方米）
0.09×3＝0.27（立方米）
答：这根木料的横截面面积是0.09平方米，体积是0.27立方米。
11．图见详解；
【分析】就是这个长方形平均分成16份，涂色其中的3份，就是1个。4个就是涂色4个3份也就是涂色12份，也就是整个长方形的。
【详解】
涂色部分一共是这个长方形的。
【点睛】
12．见详解；适用；见详解
【分析】分数与整数相乘时，可以把整数看作分母是1的假分数，转化成分数与分数的乘法；
根据分数乘分数的计算方法：分子与分子相乘的积作为分子，分母与分母相乘的积作为分母，能约分的先约分再计算。
【详解】
答：适用，因为整数可以看成分母是1的假分数，所以分数与分数相乘的方法适用于分数与整数相乘。
13．平方米
【分析】正方体有6个面，6个面的大小完全相同，所以正方体的表面积＝底面积×6，代入数据即可解答。
【详解】（平方米）
答：它的表面积是平方米。
14．
2；；
【分析】分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
从图中可知，求2个是多少，根据分数乘法的意义列出乘法算式，再根据分数乘整数的计算法则算出结果，并填空。
【详解】×2＝＝
15．（1）1500平方米
（2）4500立方米
（3）1980平方米
【分析】（1）因为长是50米，宽是长的，所以用长×可求出宽的长度。要求游泳池的占地面积就是求这个游泳池的底面长方形的面积，即用长方形面积＝长×宽，代入数字计算即可得出占地面积。
（2）需要挖土的体积就是求这个游泳池的体积，用长方体的体积＝底面积×深度，代入数字计算即可得出体积。
（3）因为抹水泥的是侧面和池底，所以求的面积比长方体表面积少上面，也就是求1个底面和4个侧面的面积和，根据长方体的表面积公式，可以推出5个面的面积和＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数字计算即可求解。
【详解】（1）50×＝30（米）50×30＝1500（平方米）
答：这个游泳池的占地面积是1500平方米。
（2）1500×3＝4500（立方米）
答：挖成这个游泳池共挖土4500立方米。
（3）50×30＋50×3×2＋30×3×2
＝1500＋300＋180
＝1800＋180
＝1980（平方米）
答：抹水泥的面积是1980平方米。
【点睛】本题主要考查学生对于长方体体积和表面积的理解与运用。
16．9公顷
【分析】已知今年黄豆的种植面积比去年增加了，是把去年黄豆的种植面积看作单位“1”，今年黄豆比去年增加的种植面积是去年的，单位“1”已知，用去年黄豆的种植面积乘，即是黄豆增加的种植面积。
【详解】24×＝9（公顷）
答：今年黄豆的种植面积比去年增加9公顷。
17．12人
【分析】把六年级的人数看成单位“1”，五年级去的人数是六年级的，用六年级去的人数乘，即可求出五年级去的人数；然后用六年级的人数减去五年级的人数即可。
【详解】60－60×
＝60－48
＝12（人）
答：五年级比六年级少去了12人。
18．；13.5分钟
【分析】把总时间看作单位“1”，根据分数减法的意义，用1－－即可求出做完整张试卷后检查的时间约占总时间的几分之几；根据分数乘法的意义，用总时间乘（1－－）即可求出做完整张试卷后检查的时间。
【详解】1－－＝
90×＝13.5（分钟）
答：做完整张试卷后检查的时间约占总时间的；约为13.5分钟。
19．3千米
【分析】把这条路的总长度看作单位“1”，第一天修了它的，即第一天修了24千米的，用乘法计算出第一天修的长度，再加上千米即可解答。
【详解】24×＋
＝3＋
＝3（米）
答：两天共修3千米。
20．9千克
【分析】把面粉的质量看作单位“1”，已知吃了，用面粉的质量乘，即可求出吃了多少千克。
【详解】15×＝9（千克）
答：吃了9千克。
21．28元
【分析】把九月份的电费看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用九月份的电费乘，即可求出十月份的电费比九月份少多少元。
【详解】92×＝28（元）
答：十月份的电费比九月份少28元。
22．8颗
【分析】由题知是以小军的玻璃球数量为单位“1”，小力的玻璃球比小军多，用小军玻璃球数量乘，求出小力的玻璃球比小军多多少颗即可。
【详解】（颗）
答：小力的玻璃球比小军多8颗。
【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是找准谁是单位“1”。
23．见详解
【分析】确定单位“1”，找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……
根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，进行分析。
【详解】表示把原计划的用水量看作单位“1”，把单位“1”平均分成9份，实际比原计划节约的用水量是这样的一份。
原计划用水量×＝实际比原计划节约的用水量
24．意义见详解；足球；皮球比足球多
【分析】将足球个数看作单位“1”，皮球比足球多的个数是足球的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可得出数量关系。
【详解】根据分析可知：
表示把足球个数看作单位“1”，皮球比足球多的个数是足球的。
（ 足球 ）的个数（ 皮球比足球多 ）的个数
25．参加短跑有36人，跳高有20人，跳远有27人。
【分析】由题知，以参加长跑的人数为单位“1”，根据其它项目占长跑人数的分率，可以估算参加哪一项比赛的人数最多，参加哪一项比赛的人数最少，再根据求一个数的几分之几用乘法计算，求出参加短跑、跳高和跳远的各有多少人即可。
【详解】
所以参加短跑人数最多，跳高人数最少。
短跑：（人）
跳高：（人）
跳远：（人）
答：参加短跑有36人，跳高有20人，跳远有27人。
【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。
26．月季花有14棵，杜鹃花有56棵。
【分析】由题知把学校花坛里花的总棵数看做单位“1”，单位“1”的量是已知的，求月季花的棵数，就是求84棵的是多少；求杜鹃花的棵数，就是求84棵的是多少，用乘法计算即可。
【详解】月季花：（棵）
杜鹃花：（棵）
答：月季花有14棵，杜鹃花有56棵。
【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是掌握求一个数的几分之几用乘法计算。
27．30公顷
【分析】由题意可知，去年的种植面积是单位“1”，今年比去年多种的面积的是比较量。已知单位“1”和分率求比较量，用单位“1”乘分率即可。
【详解】150×＝30（公顷）
答：今年比去年多种30公顷。
28．50×＋
【分析】将钢管长度看作单位“1”，钢管长度×第一次用去的对应分率＝第一次用去的长度，第一次用去的长度＋第二次用去的长度＝两次共用去的长度，据此列式。
【详解】50×＋
＝30＋
＝（米）
答：两次共用去钢管米。
29．160页
【分析】将总页数看作单位“1”，总页数×第一天看的对应分率＝第一天看的页数，再将第一天看的页数看作单位“1”，第一天看的页数×第二天看的对应分率＝第二天看的页数，将第一天看的页数和第二天看的页数相加即可。
【详解】第一天：180×100（页）
第二天：100×＝60（页）
两天一共：100＋60＝160（页）
答：他这两天一共看了160页。
30．80枚
【分析】
将每堆棋子数量看作单位“1”，每堆棋子数量×第一堆白子对应分率＝第一堆白子数量，根据第二堆黑子与第三堆的白子同样多，可知第二堆和第三堆的白子共60枚，第一堆白子数量＋第二和第三堆白子总数量＝这三堆棋子的白子总数量，据此列式解答。
【详解】60×＋60
＝20＋60
＝80（枚）
答：这三堆棋子一共有白子80枚。
31．小时
【分析】
把甲、以两地的路程看作单位“1”， 前2小时已经行了全长的，用甲、乙两地的路程×，求出2小时行驶的路程，再根据速度＝路程÷时间，用2小时行驶的路程÷2，求出汽车行驶的速度；再根据时间＝路程÷时间，用甲、乙两点的路程÷汽车的速度，即可解答。
【详解】180×÷2
＝80÷2
＝40（千米）
180÷40＝（小时）
答：行完全程一共要小时。
32．75枚
【分析】由于第一堆的黑子与第二堆的白子同样多，所以，第一、二堆共有45枚白子。第三堆白子是45枚的，求一个数的几分之几是多少，用乘法求出第三堆白子的数量。进一步用加法求出三堆白子之和。
【详解】
＝45＋30
＝75（枚）
答：这三堆一共有75枚白子。

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