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第一章《集合与常用逻辑用语》
1.1　集合的概念
【知识梳理】
知识点一　元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
知识点二　元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点四　列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点五　描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，
这种表示集合的方法称为描述法．
【基础自测】
1．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A：由是集合，所以，∴选项A错误；
对于B：当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，∴选项B错误；
对于C：当时，，，不合题意，∴选项C错误；
对于D：当，时，，符合题意，∴选项D正确.
故选：D.
2．已知集合，若，则实数的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【详解】，且，或
⑴当即或，
①当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②当时，，，此时，符合题意；
⑵当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数的值为1.
故选：B
3．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2,
故中共有3个元素.
故选:B .
4．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
【答案】②④
【详解】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
5．用列举法表示集合：为________．
【答案】
【详解】由题知：=
故答案为：.
【例题详解】
一、集合的概念
例1　(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【分析】根据集合的定义分析判断即可.
【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
(2)（多选）下列各组中的M，P表示同一集合的是（ ）
A．M={3，-1}，P={(3，-1)}
B．M={(3，1)}，P={(1，3)}
C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1}
D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}
【答案】CD
【分析】利用集合相等的定义判断.
【详解】在A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；
在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C中，M={y|y=-1}={y|y≥-1}，P={t|t=-1}={t|t≥-1}，二者表示同一集合，故正确；
在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素为大于或等于4的所有实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也为大于或等于4的所有实数，故M，P表示同一集合，故正确．
故选：CD
跟踪训练1　(1)以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流
【答案】A
【分析】根据集合的知识可选出答案.
【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；
接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；
未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；
地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；
故选：A
(2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，则p=_______，q=_______．
【答案】 -4 4
【分析】根据A={x|x2+px+q=0}={2}，由2是方程x2+px+q=0的等根求解.
【详解】因为A={x|x2+px+q=0}={2}，
所以，解得，
故答案为：-4，4
二、元素与集合
例2　(1)下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分别表示的数集，对选项逐一判断即可.
【详解】不属于自然数，故A错误；
不属于正整数，故B正确；
是无理数，不属于有理数集，故C错误；
属于实数，故D错误.
故选:B.
(2)如果集合只有一个元素，则的值是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值.
【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解.
当，，合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述：或，故选D.
【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.
跟踪训练2　(1)已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.
【详解】由题意知集合，
故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，
故选：A
(2)已知集合至多有一个元素，则的取值范围是__________．
【答案】或
【分析】把集合至多有一个元素，转化为关于x的方程至多有一个根.对a进行分类讨论，列不等式组，求出a的范围.
【详解】因为集合至多有一个元素，
所以关于x的方程至多有一个根.
方程无根，需满足：，解得：.
方程有一个根，需满足：a=0或，解得：a=0或.
综上所述：的取值范围是或.
三、集合中元素的特性
例3　(1)若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.
【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
(2)由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
【详解】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
跟踪训练3 (1)集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（ ）
A．x≠–1 B．x≠0
C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3
【答案】C
【分析】利用集合元素的互异性求解.
【详解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，
解得x≠3且x≠–1且x≠0，
故选：C．
(2)若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形．
故选：D．
四、集合的表示方法
例4 (1)用列举法表示集合__________．
【答案】
【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合．
【详解】因为且
所以可以取，2，3，4.
所以
故答案为：
【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题.
(2)用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集．
①方程的解集；
②不等式的解集；
③被5除余1的自然数的集合；
④二次函数的值组成的集合．
【答案】①，有限集；②，无限集；③，无限集；④，无限集.
【分析】①直接解出方程即可，用列举法；② 解不等式，解集为无限，用描述法表示；(3) 元素有无限个，所以用描述法；④代表元素为y，解集为无限集用描述法表示.
【详解】①解方程可得解集为 ，有限集；
②解不等式可得解集为，无限集；
③被5除余1的自然数的集合为，无限集；
④二次函数的值组成的集合为，无限集；
跟踪训练4 用列举法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）不大于10的非负奇数集；
（3）．
【答案】（1）解集是；（2）不大于10的非负奇数集为；（3）.
【分析】根据列举法的定义进行表示即可．
【详解】解：（1）解方程组，得，
用列举法表示方程组的解集是；
（2）不大于10即为小于或等于10，非负是大于或等于0，
故不大于10的非负奇数集为．
（3），，此时，即．
跟踪训练5 表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
【分析】根据题意逐项代入分析即可求解.
【详解】（1）方程的解集为.
（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.
（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，.
（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．
【课堂巩固】
1．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
【答案】A
【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；
【详解】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；
对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合
故选：A
2．下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】A
【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案
【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；
是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合，集合，故C错误；
集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.
故选：A.
3．设a,b∈R，集合，则=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.
【详解】因，则，从而得，有，于是得，
所以.
故选：C
4．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】根据常见的数集，元素与集合的关系可知，，，不正确，
故选：C
5．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
【答案】C
【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，
根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，
以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.
故选：C.
6．（多选）下面说法中正确的是（ ）
A．集合中最小的数是1 B．若，则
C．若，则的最小值是2 D．的解组成的集合是
【答案】AC
【分析】根据正整数集的含义即可判断A，B，C的正误，根据集合中列举法即可判断D选项的正误.
【详解】对于A，因为是正整数集，而最小的正整数是1，故A正确；
对于B，当时，，且，故B错误；
对于C，若，则的最小值是1，若，则的最小值也是1，当和都取最小值时，取得最小值2，故C正确；
对于D，由得，解得，故其解集为，而不符合集合的表示方法，故D错误.
故选：AC．
7．用列举法表示集合________________．
【答案】
【分析】根据题意可得，求出的值即可求解.
【详解】由题意得，所以，所以.
故答案为: .
8．已知集合，，则集合B中的元素个数为______．
【答案】13
【分析】由题列举出集合B，即得.
【详解】将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13．
1 2 3 4 6
1 1 2 3 4 6
2 1 2 3
3 1 2
4 1
6 1
故答案为：13
9．已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．
【答案】2
【分析】分析题意知代数式的值与的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解.
【详解】根据题意分2种情况讨论：
当全部为负数时，为正数，则；
当全部为正数时，为正数，则；
当一正一负时，为负数，则；
综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2
故答案为：2
10．给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为；
②方程的解集为；
③集合与是不相等的．
其中正确的是______（填序号）．
【答案】①③
【分析】根据题意，结合集合的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案．
【详解】对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点，所以①正确；
对于②中，方程的解为，解集为或，所以②不正确；
对于③中，集合，集合，这两个集合不相等，所以③正确．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法——列举法、描述法，以及集合表示方法的改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
11．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组 的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
【答案】(1) {－2，－1,0,1,2}(2) M＝{2,3}(3) B＝{(x，y)|(3,2)} (4) N＝{1,3,5,15}
【分析】（1）根据题意，得到，即可表示集合；
（2）求解出方程的根，即可表示集合；
（3）求解方程组的解，即可表示集合；
（4）找到的正约数，即可表示集合.
【详解】(1)，
，
；
(2)解方程
和是方程的根，
；
(3)解方程组得
；
(4)的正约数有四个数字，
．
【点睛】本题考查集合的列举法，区分点集和数集，属于简单题.
12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
【答案】答案见解析．
【分析】根据集合的表示法求解．
【详解】（1），集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；
（2），即，，
集合为，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；
（3）集合可表示为，列举法表示为．
【课时作业】
1．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【答案】D
【分析】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,由此求得p,q的值，进而求得集合B.
【详解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选：.
2．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断.
【详解】根据题意，分4种情况讨论；
①、全部为负数时，则也为负数，则；
②、中有一个为负数时，则为负数，则；
③、中有两个为负数时，则为正数，则；
④、全部为正数时，则也正数，则；
则；分析选项可得符合．
故选：A.
3．以某些整数为元素的集合P具有以下性质：
（1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数；
（3）；（4）若，则．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2
【答案】A
【分析】由（4）得，则（k是正整数），由（1）可设，且，，可得.利用反证法可得若，则P中没有负奇数，若P中负数为偶数，得出矛盾即可求解.
【详解】解：由（4）得，则（k是正整数）．
由（1）可设，且，，则、，而．
假设，则．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中，
故（k是正整数），
不妨令P中负数为奇数（k为正整数），
由（4）得，矛盾．
故若，则P中没有负奇数．
若P中负数为偶数，设为（k为正整数），则由（4）及，
得均在P中，即（m为非负整数），
则P中正奇数为，由（4）得，矛盾．
综上，，.
故选:A．
4．已知集合，若，则中所有元素之和为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.
【详解】若，则，矛盾；
若，则，矛盾，故，
解得（舍）或，
故，元素之和为，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.
5．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.
【详解】，，
,
故选：C
6．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
【答案】D
【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．
解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．
即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．
故选D．
点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．
7．方程组的解集不可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解方程组，然后再利用集合的表示方法判断即可
【详解】由，得，方程组只有一组解，
对于AB，是用描述法表示方程组的解集，所以AB正确，
对于C，表示两个元素1，2，所以C错误，
对于D，是用列举法表示方程组的解集，所以D正确，
故选：C
8．定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．
考点：元素的互异
点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍
9．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．中最小的元素是0
C．的近似值的全体构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
【答案】AD
【分析】根据集合的概念及集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性即可判断四个选项的正误.
【详解】若，则－a也是整数，即，故A正确；
因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；
因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；
同一集合中的元素是互不相同的，故D正确.
故选：AD.
10．（多选）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】分别令等于，判断是否为整数即可求解.
【详解】对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确；
对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确；
对于选项C：由，可得，，
若则可得， ，不成立；
若则可得， ，不成立；
若，可得，此时， ，不成立；
同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确；
对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确，
故选：ABD.
11．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.
【答案】
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以，则，
所以，则，
故.
故答案为：.
12．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
【答案】3
【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.
【详解】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，
故m＝3.
答案：3
13．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
【详解】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且.
故答案为且.
点睛：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关键是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件为集合的元素的公共属性.
14．用列举法表示集合__________
【答案】
【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.
【详解】因为，
所以，
又，
所以
故答案为
【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.
15．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____
【答案】
【分析】分别根据的正负，分类讨论，即可求解的值，得到答案.
【详解】因为为非零实数，
所以时，+++；
当中有一个小于0时，不妨设，
此时+++；
当中有两个小于0时，不妨设，
此时+++；
当中有三个小于0时，此时+++，
所以的所有值组成的集合为
【点睛】本题主要考查了集合的运算与集合的表示，其中解答中分别根据的正负，分类讨论，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为____．
【答案】1
【分析】首先根据题中的条件，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，结合A＝{1，2}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数.
【详解】因为A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
所以，所以集合B中只有一个元素，
故答案是1.
【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.
17．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用方程有两个不等实根列不等式组，解出实数a的取值范围；
（2）利用方程有0个或1个实根列不等式，解出实数a的取值范围.
【详解】解：(1)因为A中有两个元素，所以方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，所以
即a>－且a≠0.所以实数a的取值范围为.
(2)当a＝0时，由－3x－4＝0得x＝－；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a＝0，即a＝－；
若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－，
故所求的a的取值范围是.
18．用适当的方法表示下列集合：
（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；
（2）方程的解集.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)由列举法对所求的集合一一列举即可；
(2)由偶次方根和绝对值的非负性，且非负数的和为零，可得每个非负数均为零，则由即可解得方程的解集.
【详解】解析（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为.
（2）由，得所以所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为.
【点睛】本题考查了集合列举法的应用，考查了偶次方根和绝对值的非负性，属于一般难度的题.第一章《集合与常用逻辑用语》
1.1　集合的概念
【知识梳理】
知识点一　元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
知识点二　元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点四　列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点五　描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，
这种表示集合的方法称为描述法．
【基础自测】
1．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数的值为（ ）．
A．-5 B．1 C．5或-1 D．-5或1
3．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
5．用列举法表示集合：为________．
【例题详解】
一、集合的概念
例1　(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
(2)（多选）下列各组中的M，P表示同一集合的是（ ）
A．M={3，-1}，P={(3，-1)}
B．M={(3，1)}，P={(1，3)}
C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1}
D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}
跟踪训练1　(1)以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流
(2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，则p=_______，q=_______．
二、元素与集合
例2　(1)下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
(2)如果集合只有一个元素，则的值是（ ）
A． B．或 C． D．或
跟踪训练2　(1)已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
(2)已知集合至多有一个元素，则的取值范围是__________．
三、集合中元素的特性
例3　(1)若，则的值为（ ）
A．0 B． C．0或 D．
(2)由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
跟踪训练3 (1)集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（ ）
A．x≠–1 B．x≠0
C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3
(2)若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
四、集合的表示方法
例4 (1)用列举法表示集合__________．
(2)用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集．
①方程的解集；
②不等式的解集；
③被5除余1的自然数的集合；
④二次函数的值组成的集合．
跟踪训练4 用列举法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）不大于10的非负奇数集；
（3）．
跟踪训练5 表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【课堂巩固】
1．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
2．下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
3．设a,b∈R，集合，则=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
4．下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
6．（多选）下面说法中正确的是（ ）
A．集合中最小的数是1 B．若，则
C．若，则的最小值是2 D．的解组成的集合是
7．用列举法表示集合________________．
8．已知集合，，则集合B中的元素个数为______．
9．已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．
10．给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为；
②方程的解集为；
③集合与是不相等的．
其中正确的是______（填序号）．
11．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组 的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
【课时作业】
1．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
2．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．以某些整数为元素的集合P具有以下性质：
（1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数；
（3）；（4）若，则．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2
4．已知集合，若，则中所有元素之和为（ ）
A．3 B．1 C． D．
5．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
7．方程组的解集不可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
9．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．中最小的元素是0
C．的近似值的全体构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
10．（多选）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
11．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则a2023+b2024的值为____.
12．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
13．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
14．用列举法表示集合__________
15．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____
16．已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为____．
17．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
18．用适当的方法表示下列集合：
（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；
（2）方程的解集.

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