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第3讲　共点力平衡
整合教材·夯实必备知识
一、受力分析(必修一第三章第3节)
1.定义:将研究对象所受的力依次找出来,并画出物体所受力的示意图,这一过程即受力分析。
2.受力分析的一般顺序
先分析场力(重力、电场力、磁场力),再分析弹力、
摩擦力,最后分析其他力。
二、共点力平衡(必修一第三章第5节)
1.共点力
定义:作用点相同或力的作用线相交于一点的力。
2.共点力平衡
【质疑辨析】
角度1 受力分析
(1)对物体受力分析时,只能画该物体受到的力,其他物体受到的力不能画在该物体上。(　√　)
(2)物体沿光滑斜面下滑时,受到重力、支持力和下滑力的作用。(　×　)
角度2 共点力平衡
(3)物体的速度为零即处于平衡状态。(　×　)
(4)物体处于平衡状态时,其加速度一定为零。(　√　)
(5)物体受两个力作用处于平衡状态,这两个力必定等大反向。(　√　)
(6)物体处于平衡状态时,其所受的作用力必定为共点力。(　×　)
(7)物体受三个力F1、F2、F3作用处于平衡状态,若将F2转动90°,则三个力的合力大小为F2。(　√　)
精研考点·提升关键能力
考点一　受力分析　(核心共研)
【核心要点】
1.受力分析流程
2.受力分析相关的四种方法
整体法 将几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法,分析外力不分析内力
隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来,单独进行受力分析的方法
状态法 对处于平衡状态的物体进行受力分析时,根据平衡条件分析力的有无和方向;对加速运动的物体进行受力分析时,应用牛顿第二定律分析力的有无和方向
转换法 在受力分析时,若不能直接确定某力是否存在,则 (1)可以转换为分析该力的反作用力是否存在; (2)可以转换研究对象进行受力分析,判断该力是否存在
提醒:(1)受力分析时,只分析研究对象受到的力,不统计研究对象对其他物体的作用力。
(2)受力分析时,只分析物体实际受到的力,不统计物体受到的力的分力。
(3)受力分析时,为避免重复,只分析性质力,不分析效果力。
【典例剖析】
[典例1](多选)如图所示,两个相似的斜面体A、B在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上。关于斜面体A和B的受力情况,下列说法正确的是(　　)
A.A一定受到四个力
B.B可能受到四个力
C.B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D.A与B之间一定有摩擦力
[典例2](2023·临沂模拟)手工课上几个同学搭积木,他们将三棱柱C放在最下面,上面放着三棱柱B,最上面是圆柱A,三块积木的截面如图所示。已知三块积木均处于静止状态,则下列说法正确的是(　　)
A.三棱柱C受到地面向右的摩擦力
B.三棱柱B与三棱柱C之间一定有摩擦力
C.若用水平向右的力推三棱柱C,系统仍保持静止,则三棱柱B与三棱柱C之间的相互作用力可能发生改变
D.若用水平向右的力推三棱柱C,系统保持相对静止向右做匀加速直线运动,则三棱柱B一定受到4个力的作用
【加固训练】
　　(2023·临沂模拟)如图所示,两个等大、反向的水平力F1和F2分别作用在物体A和B上,A、B两物体均处于静止状态。若各接触面与水平地面平行,则A、B两物体的受力个数分别为(　　)
A.3个、4个　　　 B.4个、4个
C.4个、5个 D.4个、6个
考点二　共点力的平衡条件及应用　(核心共研)
【核心要点】
1.共点力平衡问题的分析步骤
2.平衡问题的常用方法
(1)力的合成法;
(2)力的实际作用效果分解法;
(3)力的正交分解法;
(4)矢量三角形法。
【典例剖析】
角度1 合成法与正交分解法
[典例3](一题多解)如图所示,光滑半球形容器固定在水平面上,O为球心,一质量为m的小滑块,在水平力F的作用下静止于P点,设滑块所受支持力为FN,OP与水平方向的夹角为θ,下列关系正确的是(　　)
A.F=　　　　 B.F=mgtanθ
C.FN= D.FN=mgtanθ
角度2 整体法与隔离法
[典例4](2023·邢台模拟)如图所示,两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接,在水平外力F作用下,系统处于静止状态,弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB,且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为FA、FB,小球直径相比弹簧长度可忽略,重力加速度为g,则(　　)
A.tanθ= B.kA=kB
C.FA=mg D.FB=2mg
[典例5](2024·大连模拟)如图所示,A、B、C三个物体处于静止状态,则以下说法正确的是(　　)
A.弹簧一定处于压缩状态
B.C对A的摩擦力方向一定沿斜面向下
C.若B受3个力,则A对C的作用力方向一定斜向左下
D.若B受3个力,则C对地面的摩擦力方向一定向右
【备选例题】
　　(多选)如图所示,质量为2M的物块A静置于水平台面上,质量为M的半球体C静置于水平地面上,质量为m的光滑小球B(可视为质点)放在半球体C上,P点为三根轻绳PA、PB、PO的结点。系统在图示位置处于静止状态,P点位于半球体球心的正上方,PO竖直,PA水平,PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ=30°。已知物块A与台面间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g,则(　　)
A.绳OP的拉力大小为mg
B.C受到的摩擦力大小为mg
C.A受到的摩擦力大小为mg
D.地面对C的支持力大小为Mg+mg
构建模型·发展核心素养
物理模型:立体平衡问题
【核心要点】
1.模型条件
(1)物体处于静止状态或匀速直线运动状态,F合=0。
(2)物体受到的作用力不在一个平面内,分布在三维空间。
2.模型特点
(1)研究某一条线,沿线方向的力与线外的力正交分解后在沿线方向的分力的总合力为零,F合=0;
(2)研究某一个面,面内的力与面外的力正交分解后在该面内的分力的总合力为零,F合=0。
特别提醒:
若物体做匀速直线运动,通常选物体的运动方向进行研究;若物体处于静止状态,通常选某一对称轴进行研究。
【典例剖析】
[典例6](多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后,将衣服挂在如图所示的晾衣架上晾晒,A、B为竖直墙壁上等高的两点,AO、BO为长度相等的两根轻绳,CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方,AOB在同一水平面上。∠AOB=60°,∠DOC =30°,衣服质量为m,重力加速度为g。则(　　)
A.CO杆所受的压力大小为2mg
B.CO杆所受的压力大小为mg
C.AO绳所受的拉力大小为mg
D.BO绳所受的拉力大小为mg
[典例7](2023·潍坊模拟)如图所示,“V”形槽两侧面的夹角为60°,槽的两侧面与水平面的夹角相同。质量为m的圆柱形工件放在“V”形槽中,当槽的棱与水平面的夹角为37°时,工件恰好能匀速下滑,重力加速度为g,sin37°=0.6,则(　　)
A.工件对槽每个侧面的压力均为mg
B.工件对槽每个侧面的压力均为mg
C.工件与槽间的动摩擦因数为
D.工件与槽间的动摩擦因数为
【备选例题】
　　如图甲为挂在架子上的双层晾衣篮。上、下篮子完全相同且保持水平,每个篮子由两个质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成,两篮通过四根等长的轻绳与钢圈的四等分点相连,上篮钢圈用另外四根等长轻绳系在挂钩上。晾衣篮的有关尺寸如图乙所示,则图甲中上、下各一根绳中的张力大小之比为(　　)
A.1∶1　　　　　　 B.2∶1
C.5∶2 D.5∶4
答案及解析
考点一　受力分析　(核心共研)
【典例剖析】
[典例1](多选)如图所示,两个相似的斜面体A、B在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上。关于斜面体A和B的受力情况,下列说法正确的是(　　)
A.A一定受到四个力
B.B可能受到四个力
C.B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D.A与B之间一定有摩擦力
【关键点拨】受力分析时,物体受到的某力不易确定时,可以转换为分析与该力相关的其他研究对象,通过对其他研究对象进行受力分析,判断该力是否存在。
【解析】选A、D。由题可知,A、B均处于平衡状态,对A、B整体受力分析,受到向下的重力和向上的推力F,由平衡条件可知B与墙壁之间不可能有弹力,因此也不可能有摩擦力,C错误;对B受力分析,受到重力、A对B的弹力及摩擦力,故B受到三个力,B错误;对A受力分析,受到重力、推力、B对A的弹力和摩擦力,共四个力,A、D正确。
[典例2](2023·临沂模拟)手工课上几个同学搭积木,他们将三棱柱C放在最下面,上面放着三棱柱B,最上面是圆柱A,三块积木的截面如图所示。已知三块积木均处于静止状态,则下列说法正确的是(　　)
A.三棱柱C受到地面向右的摩擦力
B.三棱柱B与三棱柱C之间一定有摩擦力
C.若用水平向右的力推三棱柱C,系统仍保持静止,则三棱柱B与三棱柱C之间的相互作用力可能发生改变
D.若用水平向右的力推三棱柱C,系统保持相对静止向右做匀加速直线运动,则三棱柱B一定受到4个力的作用
【关键点拨】分析系统所受的外力时,通常选择整体法分析;分析系统内部物体之间的内力时,就要选择隔离法分析。
【解析】选B。以A、B、C整体为研究对象,可知重力和支持力平衡,不受摩擦力,故A错误;以A、B整体为研究对象,A、B在斜面上满足(mA+mB)gsinθ-fBC=0,可知三棱柱B与三棱柱C之间一定有摩擦力,故B正确;水平力作用在C上,系统仍保持静止,对A、B整体研究,A、B受力并没有发生变化,因此三棱柱B与三棱柱C之间的相互作用力不会发生改变,故C错误;对A而言,加速度水平向右,因此合力向右,故一定受到B的水平向右的摩擦力,因此B一定受到A的摩擦力和A的压力,而B本身受到重力以及C对B的支持力,但除此之外,B还可能受到C沿斜面的摩擦力,故D错误。
【加固训练】
　　(2023·临沂模拟)如图所示,两个等大、反向的水平力F1和F2分别作用在物体A和B上,A、B两物体均处于静止状态。若各接触面与水平地面平行,则A、B两物体的受力个数分别为(　　)
A.3个、4个　　　 B.4个、4个
C.4个、5个 D.4个、6个
【解析】选C。先对物体A、B整体进行受力分析,水平方向上,两个等大、反向的力F1和F2正好平衡,所以物体B不受地面的摩擦力。对A物体进行受力分析,物体A受到重力、拉力F1、B给的支持力和摩擦力,所以A受到4个力作用;对B物体进行受力分析,物体B受到重力、拉力F2、地面的支持力、A给的摩擦力和压力,所以物体B受5个力的作用,故C正确,A、B、D错误。
考点二　共点力的平衡条件及应用
【典例剖析】
角度1 合成法与正交分解法
[典例3](一题多解)如图所示,光滑半球形容器固定在水平面上,O为球心,一质量为m的小滑块,在水平力F的作用下静止于P点,设滑块所受支持力为FN,OP与水平方向的夹角为θ,下列关系正确的是(　　)
A.F=　　　　 B.F=mgtanθ
C.FN= D.FN=mgtanθ
【解析】选A。解法一:合成法。对滑块进行受力分析如图,滑块受到重力mg、支持力FN、水平推力F三个力作用。由共点力的平衡条件知,F与mg的合力F'与FN等大、反向。由几何关系可知F、mg和合力F'构成直角三角形,解直角三角形可求得F=,FN=F'=。所以选项A正确,B、C、D错误。
解法二:正交分解法。由平衡条件可得FNsinθ=mg,FNcosθ=F,解得F=,FN=。所以选项A正确,B、C、D错误。
角度2 整体法与隔离法
[典例4](2023·邢台模拟)如图所示,两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接,在水平外力F作用下,系统处于静止状态,弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB,且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为FA、FB,小球直径相比弹簧长度可忽略,重力加速度为g,则(　　)
A.tanθ= B.kA=kB
C.FA=mg D.FB=2mg
【思维流程】
第一步:研究下方小球→FB;
第二步:研究上方小球→FA、tanθ。
【解析】选A。对下方小球进行受力分析,如图甲所示,
根据平衡条件得F=mgtan45°=mg,FB==mg;对两个小球整体受力分析,如图乙所示,根据平衡条件得tanθ=,又F=mg,解得tanθ=,FA= =mg,由题可知两弹簧的形变量相等,则有x==,解得==,故A正确,B、C、D错误。
[典例5](2024·大连模拟)如图所示,A、B、C三个物体处于静止状态,则以下说法正确的是(　　)
A.弹簧一定处于压缩状态
B.C对A的摩擦力方向一定沿斜面向下
C.若B受3个力,则A对C的作用力方向一定斜向左下
D.若B受3个力,则C对地面的摩擦力方向一定向右
【解析】选D。根据B的受力可知,若绳的拉力大于B自身的重力,则弹簧处于拉伸状态;若绳的拉力小于B自身的重力,则处于压缩状态;若绳的拉力等于B自身的重力,则处于原长状态,故A错误;若绳对A的拉力大于其沿斜面向下的重力分力,则A所受的摩擦力方向沿斜面向下;若绳对A的拉力等于其沿斜面向下的重力分力,A不受摩擦力作用;若绳对A的拉力小于其沿斜面向下的重力分力,则A所受的摩擦力方向沿斜面向上,故B错误;若B受3个力,则A所受的拉力可能与其重力沿斜面向下的分力大小相等,此时C对A只有支持力,方向垂直斜面向上,A对C的作用力方向斜向右下,故C错误;若B受3个力,将A、C看成整体进行受力分析可知,地面对C的摩擦力方向向左,故C对地面的摩擦力方向一定向右,故D正确。
【备选例题】
　　(多选)如图所示,质量为2M的物块A静置于水平台面上,质量为M的半球体C静置于水平地面上,质量为m的光滑小球B(可视为质点)放在半球体C上,P点为三根轻绳PA、PB、PO的结点。系统在图示位置处于静止状态,P点位于半球体球心的正上方,PO竖直,PA水平,PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ=30°。已知物块A与台面间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g,则(　　)
A.绳OP的拉力大小为mg
B.C受到的摩擦力大小为mg
C.A受到的摩擦力大小为mg
D.地面对C的支持力大小为Mg+mg
【解析】选B、D。对小球B受力分析如图,
PB受到的拉力大小FPB=mgcosθ,对P点受力分析可知,OP受到的拉力大小FOP=FPBcosθ=mg,A错误;对物块A受力分析可知,物块A所受摩擦力大小等于绳子PA的拉力,即fA=FPBsinθ=mg,C错误;对A、B、C组成的整体受力分析可知,半球体C受到的摩擦力大小等于A所受摩擦力大小,即fC=fA=mg,B正确;对A、B、C整体受力分析,由平衡条件可知,地面对半球体C的支持力大小为(M+m)g-FOP=Mg+mg,D正确。
构建模型·发展核心素养
物理模型:立体平衡问题
【典例剖析】
[典例6](多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后,将衣服挂在如图所示的晾衣架上晾晒,A、B为竖直墙壁上等高的两点,AO、BO为长度相等的两根轻绳,CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方,AOB在同一水平面上。∠AOB=60°,∠DOC =30°,衣服质量为m,重力加速度为g。则(　　)
A.CO杆所受的压力大小为2mg
B.CO杆所受的压力大小为mg
C.AO绳所受的拉力大小为mg
D.BO绳所受的拉力大小为mg
【思维流程】
第一步:分析平面OCD内的受力情况→CO杆所受的压力;
第二步:分析平面AOB内的受力情况→绳AO和绳BO的拉力。
【解析】选A、D。以O点为研究对象,O点受到衣服的拉力FT、CO杆的支持力F1和绳AO、BO的拉力,设绳AO和绳BO拉力的合力为F,作出O点的受力示意图如图甲所示,根据平衡条件得F1==2mg,由牛顿第三定律知CO杆所受的压力大小为2mg,故A正确,B错误;
由图甲分析可知F=mgtan60°=mg,将F沿OA、OB方向分解,如图乙所示,设绳AO和绳BO所受拉力分别为F2、F2',且F2=F2',则F=2F2cos30°,解得F2=mg,故C错误,D正确。
[典例7](2023·潍坊模拟)如图所示,“V”形槽两侧面的夹角为60°,槽的两侧面与水平面的夹角相同。质量为m的圆柱形工件放在“V”形槽中,当槽的棱与水平面的夹角为37°时,工件恰好能匀速下滑,重力加速度为g,sin37°=0.6,则(　　)
A.工件对槽每个侧面的压力均为mg
B.工件对槽每个侧面的压力均为mg
C.工件与槽间的动摩擦因数为
D.工件与槽间的动摩擦因数为
【解析】选D。工件匀速下滑,在任意方向上合力都为零,将工件的重力分解到沿斜面向下和垂直斜面向下,作出工件受力侧视平面图如图甲,
根据平衡条件知f=mgsin37°,N=mgcos 37°,作出垂直于“V”形槽方向的受力平面图如图乙,“V”形槽两侧面的夹角为60°,所以两侧面对工件的弹力夹角为120°,则合力N=F1=mgcos37°=mg,由牛顿第三定律知A、B错误;“V”形槽两侧面对工件的摩擦力f1方向相同,大小都为μF1,则2f1=2μF1=f,代入可解得μ=,故C错误,D正确。
【备选例题】
　　如图甲为挂在架子上的双层晾衣篮。上、下篮子完全相同且保持水平,每个篮子由两个质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成,两篮通过四根等长的轻绳与钢圈的四等分点相连,上篮钢圈用另外四根等长轻绳系在挂钩上。晾衣篮的有关尺寸如图乙所示,则图甲中上、下各一根绳中的张力大小之比为(　　)
A.1∶1　　　　　　 B.2∶1
C.5∶2 D.5∶4
【解析】选C。设一个篮子的质量为m,连接下篮的绳子的拉力为T2,对下篮根据平衡条件得4T2=mg,解得T2=;设连接上篮的绳子的拉力为T1,绳子与竖直方向夹角为θ,结合题意对两个篮子整体进行受力分析可知,两篮在4根绳子对其的拉力与重力作用下处于平衡状态,由平衡条件得4T1cosθ=2mg,结合图乙中的数据由几何关系可得sinθ==0.6,联立解得T1=mg,则上、下各一根绳中的张力大小之比为=,C正确。

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