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第4讲　力的合成与分解
整合教材·夯实必备知识
一、力的合成(必修一第三章第4节)
1.合力与分力
2.力的合成
定义 求几个力的合力的过程
运算法则 平行四边形定则 用表示这两个分力的有向线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。
三角 形定则 把两个矢量的首尾顺次连接起来,第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量。
二、力的分解(必修一第三章第4节)
1.力的分解是力的合成的逆运算,遵循的法则:平行四边形定则或三角形定则。
2.分解方法
(1)按力产生的效果分解;
(2)正交分解法。
【质疑辨析】
角度1 合力与分力
(1)合力和分力可以同时作用在一个物体上。(　×　)
(2)几个力的共同作用效果可以用一个力来替代。(　√　)
角度2 平行四边形定则
(3)两个力的合力一定比分力大。(　×　)
(4)当一个分力增大时,合力一定增大。(　×　)
(5)一个力只能分解为一对分力。(　×　)
(6)两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们夹角的增大而减小。(　√　)
(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(　√　)
精研考点·提升关键能力
考点一　共点力的合成　(核心共研)
【核心要点】
1.求合力的方法
作图法 作出力的图示,结合平行四边形定则,用刻度尺量出表示合力的线段的长度,再结合标度算出合力大小
计算法 根据平行四边形定则作出力的示意图,然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力
2.合力范围的确定
(1)两个共点力的合力大小的范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2。
①两个力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小。
②当两个力反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两个力同向时,合力最大,为F1+F2。
(2)三个共点力的合力大小的范围
①最大值:三个力同向时,其合力最大,为Fmax=F1+F2+F3。
②最小值:若任意两个力的大小之和大于或等于第三力,则三个力的合力最小值为零,否则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。
【典例剖析】
角度1 合力范围的分析
[典例1](多选)一物体静止于水平桌面上,两者之间的最大静摩擦力为5 N①,现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点,三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N②。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
角度2 力的合成的应用
[典例2](多选)在古代,弓箭是军队与猎人使用的重要武器之一。明代宋应星在《天工开物》中记载了用秤称量弓力的方法:将一个足够重的物块捆在弓的中央,用秤钩钩住弦的中点往上拉,弦拉满之时,推移秤砣使秤杆水平,根据称的示数即可衡量弓力大小。如图所示,若弦拉满时,秤钩两侧弦弯折的夹角恰好为106°,秤称量的示数为24 kg,取g=10 m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6,则下列判断正确的是(　　)
A.弓力方向竖直向上
B.弓力大小为240 N
C.弦的弹力大小为240 N
D.弦的弹力大小为200 N
【备选例题】
　　如图所示,有5个力作用于同一点O,表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线,已知F1=10 N,则这5个力的合力大小为(　　)
A.50 N　　　　 B.30 N
C.20 N D.10 N
考点二　力的分解　(核心共研)
【核心要点】
1.力的分解具有多解性
条件 解的组数
分解一个力,若分力没有附加条件 无数组解
已知合力和两个分力的方向 唯一解
已知合力和一个分力 唯一解
已知合力和两分力的大小,并且F1-F2已知合力F和F1的大小及F2的方向,F2与合力F的夹角为θ F1F1=Fsinθ 唯一解
FsinθF1≥F 唯一解
2.力的分解的两种常用方法
(1)按照力的实际作用效果分解
(2)正交分解法
提醒:一般来说,当物体处于平衡状态,受到三个或三个以下的力时,可以用效果分解法;当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法。
【典例剖析】
角度1 力的分解的多解性
[典例3](多选)将力F分解为两个力,若已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ(如图所示),另一个分力未知,则(　　)
A.只要知道另一个分力的方向就可确定另一个分力大小
B.只要知道F1的大小,就可确定另一分力的大小和方向
C.如果知道另一个分力的大小,一定可以确定它的唯一方向
D.另一个分力大小的最小值是Fsinθ
角度2 正交分解法
[典例4](2022·辽宁选择考)如图所示,蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上,并处于静止状态①。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)②。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力,则(　　)
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
角度3 按照实际作用效果分解
[典例5]如图所示,一光滑小球与一过球心的轻杆连接,置于一斜面上静止,轻杆通过光滑铰链与竖直墙壁连接,已知小球所受重力为G,斜面与水平地面间的夹角为60°,轻杆与竖直墙壁间的夹角也为60°,则轻杆和斜面受到球的作用力大小分别为(　　)
A.G和G　　　　　 B.G和G
C.G和G D.G和2G
【备选例题】
　　有一种多功能“人”字形折叠梯,其顶部用活页连在一起,在两梯中间某相对的位置用一轻绳系住,如图所示,可以通过调节绳子的长度来改变两梯的夹角θ。一质量为m的人站在梯子顶部,若梯子的质量及梯子与水平地面间的摩擦不计,整个装置处于静止状态,则(　　)
A.θ角越大,梯子对水平地面的作用力越大
B.θ角越大,梯子对水平地面的作用力越小
C.θ角越大,绳子的拉力越大
D.θ角越大,人对梯子的压力越大
答案及解析
考点一　共点力的合成
【典例剖析】
角度1 合力范围的分析
[典例1](多选)一物体静止于水平桌面上,两者之间的最大静摩擦力为5 N①,现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点,三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N②。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①静摩擦力的范围0信息②可确定三个力的合力大小范围。
【解析】选A、B、C。两个2 N的力的合力范围为0~4 N,然后与3 N的力合成,则三力的合力范围为0~7 N,由于最大静摩擦力为5 N,因此可判定选项A、B、C正确,选项D错误。
角度2 力的合成的应用
[典例2](多选)在古代,弓箭是军队与猎人使用的重要武器之一。明代宋应星在《天工开物》中记载了用秤称量弓力的方法:将一个足够重的物块捆在弓的中央,用秤钩钩住弦的中点往上拉,弦拉满之时,推移秤砣使秤杆水平,根据称的示数即可衡量弓力大小。如图所示,若弦拉满时,秤钩两侧弦弯折的夹角恰好为106°,秤称量的示数为24 kg,取g=10 m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6,则下列判断正确的是(　　)
A.弓力方向竖直向上
B.弓力大小为240 N
C.弦的弹力大小为240 N
D.弦的弹力大小为200 N
【思维流程】
(1)研究整体:重力→拉力→弓力;
(2)研究结点:弓力→弹力。
【解析】选B、D。以弓整体为研究对象,F秤钩=mg=240 N,弓力与秤钩对弦的拉力大小相等,方向相反,故弓力大小为240 N,方向竖直向下,A错误,B正确;以结点为研究对象,弓力就是弓弦弹力的合力,由几何知识可得F秤钩=2Fcos53°,弦的弹力为F== N=200 N,C错误,D正确。
【备选例题】
　　如图所示,有5个力作用于同一点O,表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线,已知F1=10 N,则这5个力的合力大小为(　　)
A.50 N　　　　 B.30 N
C.20 N D.10 N
【解析】选B。利用三角形定则可知:F2和F4的合力等于F1,F5和F3的合力也等于F1,这5个力的合力大小为3F1=30 N,故选B。
考点二　力的分解
【典例剖析】
角度1 力的分解的多解性
[典例3](多选)将力F分解为两个力,若已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ(如图所示),另一个分力未知,则(　　)
A.只要知道另一个分力的方向就可确定另一个分力大小
B.只要知道F1的大小,就可确定另一分力的大小和方向
C.如果知道另一个分力的大小,一定可以确定它的唯一方向
D.另一个分力大小的最小值是Fsinθ
【关键点拨】根据已知条件分析分力的解的情况,一般应用作图法。根据所作平行四边形的个数,确定解的个数并分析分力的情况。
【解析】选A、B、D。根据平行四边形定则,可知若知道另一个分力的方向,就能够作出唯一一个确定的平行四边形,从而就可确定另一个分力大小,A正确;根据平行四边形定则,可知若知道F1的大小,就能够作出唯一一个确定的平行四边形,从而就可确定另一分力的大小和方向,B正确;根据平行四边形定则,可知若知道另一个分力的大小,当F>F2>Fsinθ时,能够作出两个确定的三角形,即能够作出两个确定的平行四边形。
如图所示,可知另一个分力的方向不唯一,C错误;由上述分析可知,另一个分力大小的最小值为Fsinθ,D正确。
角度2 正交分解法
[典例4](2022·辽宁选择考)如图所示,蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上,并处于静止状态①。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)②。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力,则(　　)
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①结点O受力平衡;
信息②考虑选水平方向、竖直方向建立平面直角坐标系。
【解析】选D。对结点O受力分析如图所示,
水平方向有F1x=F2x,即F1的水平分力等于F2的水平分力,选项C错误,D正确; F1y=,F2y=,因为α>β,故F1y角度3 按照实际作用效果分解
[典例5]如图所示,一光滑小球与一过球心的轻杆连接,置于一斜面上静止,轻杆通过光滑铰链与竖直墙壁连接,已知小球所受重力为G,斜面与水平地面间的夹角为60°,轻杆与竖直墙壁间的夹角也为60°,则轻杆和斜面受到球的作用力大小分别为(　　)
A.G和G　　　　　 B.G和G
C.G和G D.G和2G
【解析】选A。
方法一:按照实际作用效果分解。对小球进行受力分析,杆对小球的弹力F方向沿杆斜向上与水平方向成30°角,斜面对球的弹力FN方向垂直于斜面斜向上与水平方向成30°角,重力方向竖直向下。将重力按实际作用效果分解,如图所示
由几何关系可知两个分力夹角为120°,则根据几何知识,使小球压轻杆和压斜面的力G1=G2=G,斜面和轻杆受到小球的作用力大小都等于G,选项A正确。
方法二:合成法。对小球进行受力分析,杆对小球的弹力F方向沿杆斜向上与水平方向成30°角,斜面对球的弹力FN方向垂直于斜面斜向上与水平方向成30°角,重力方向竖直向下。将F、FN合成,如图所示
根据平衡条件,F、FN的合力与重力大小相等,方向相反。几何关系可知F、FN夹角为120°,则根据几何知识,F=FN=G,又根据牛顿第三定律,斜面和轻杆受到小球的作用力大小都等于G,选项A正确。
【备选例题】
　　有一种多功能“人”字形折叠梯,其顶部用活页连在一起,在两梯中间某相对的位置用一轻绳系住,如图所示,可以通过调节绳子的长度来改变两梯的夹角θ。一质量为m的人站在梯子顶部,若梯子的质量及梯子与水平地面间的摩擦不计,整个装置处于静止状态,则(　　)
A.θ角越大,梯子对水平地面的作用力越大
B.θ角越大,梯子对水平地面的作用力越小
C.θ角越大,绳子的拉力越大
D.θ角越大,人对梯子的压力越大
【解析】选C。对人和梯子整体进行分析,有mg=FN,根据牛顿第三定律可知,梯子对水平地面的作用力与水平地面对梯子的支持力等大,与θ角无关,故A、B错误;对一侧的梯子受力分析,受到人的沿梯子向下的作用力,地面的竖直向上的支持力(不变),绳子的水平方向的拉力,如图,
FT=FNtan,F人=,可知θ角越大,绳子的拉力越大,故C正确;对人受力分析,梯子对人的支持力大小等于人的重力,梯子对人的支持力与人对梯子的压力是相互作用力,大小与θ角无关,故D错误。

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