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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
整合教材·夯实必备知识
一、曲线运动(必修二第五章第1节)
1.速度方向:质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动性质:质点在曲线运动中速度的方向时刻改变,所以曲线运动一定是变速运动。
提醒:做曲线运动的物体,其速度一定变化,但加速度不一定变化。
3.曲线运动的条件:
二、运动的合成与分解(必修二第五章第2节)
【质疑辨析】
角度1 曲线运动
(1)速度发生变化的运动,一定是曲线运动。(　×　)
(2)做曲线运动的物体一定受变力作用。 (　×　)
(3)做曲线运动的物体,所受合外力的方向一定指向曲线的凹侧。 (　√　)
(4)做匀变速曲线运动的物体,速度方向时刻改变,但永远不可能与所受合外力的方向相同。 (　√　)
角度2 运动的合成与分解
(5)两个直线运动的合运动一定是直线运动。(　×　)
(6)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。 (　√　)
精研考点·提升关键能力
考点一　曲线运动的条件和特征　(基础自悟)
【核心要点】
1.曲线运动的条件及特点
条件 特点
质点所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上(v≠0,F≠0) (1)轨迹是一条曲线 (2)某点的瞬时速度的方向,就是通过这一点的切线的方向 (3)曲线运动的速度方向时刻在改变,所以是变速运动,一定有加速度 (4)合外力F始终指向运动轨迹的内(或凹)侧
2.合力方向与速率变化的关系
【题点全练】
1. (2024·惠州模拟)水平桌面上,让一个小铁球沿桌面匀速运动,在它的运动轨迹旁边放置一磁铁,在磁铁吸引力的作用下,小铁球此后的运动轨迹发生变化,如图所示,关于小铁球受力及运动情况,下列说法正确的是 (　　)
A.小铁球的速度方向始终指向磁铁
B.小铁球的速度方向沿它运动轨迹的切线方向
C.磁铁对小铁球的吸引力沿运动轨迹的切线方向
D.磁铁对小铁球的吸引力与小铁球的速度方向在同一直线上
【加固训练】
如图所示,甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图,乙图是其示意图。比赛时,运动员从起点沿赛道快速向终点滑去,先后经过A、P、B、C、D五点。运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是 (　　)
A.A点　　B.B点　　C.C点　　D.D点
2.(2023·辽宁选择考)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是 (　　)
3.(2023·上海金山区模拟)如图,圆弧形管道MN置于水平面上,一光滑小球从管道M端进入,它从出口N离开后的运动轨迹是 (　　)
A.a　　　B.b　　　C.c　　　D.d
考点二　运动的合成与分解　(基础自悟)
【核心要点】
判断两个直线运动的合运动性质,关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的 匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零 的匀变速直线运动 如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
【题点全练】
1.(2023·安康模拟)跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中,一位跳伞运动员从飞机上由静止跳下后,下列说法中正确的是 (　　)
A.风力越大,运动员下落时间越长
B.运动员下落时间与风力无关
C.风力越大,运动员落地时的竖直速度越大
D.运动员落地速度与风力无关
2.(2023·江苏选择考)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 (　　)
3.(多选)(2024·濮阳模拟)平面内质量为1 kg的物体沿x、y方向的运动图像分别如图1、2所示,其中沿x方向的图像为顶点在原点的抛物线。关于物体的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.物体加速度大小为 m/s2
B.物体做匀变速曲线运动
C.物体做变加速直线运动
D.t=1 s时物体速度最小,大小为2 m/s
考点三　关联速度分解模型　(核心共研)
【核心要点】
关联速度常见模型
情境图示 分解图示 定量 结论
vB=vAcosθ
vAcosθ=v0
vAcosβ=vBcosα
vBsinα=vAcosα
基 本 思 路 定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→定分速度方向→用平行四边形定则求解分速度
【典例剖析】
角度1 绳连接体关联速度
[典例1](2023·日照模拟)如图,汽车从静止开始通过缆绳将质量为m的货物从A处沿光滑斜面拉到B处,此过程中货物上升高度为h,到B处时定滑轮右侧缆绳与水平方向间的夹角为θ,左侧缆绳与斜面间的夹角为2θ,汽车的速度大小为v,此时货物的速度大小为 (　　)
A.v　　　　B.(-sinθ)v
C.2cosθ D.2sinθv
【备选例题】
(2023·滁州模拟)如图所示,水平固定的光滑细长杆上套有一物块Q,跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细绳一端连接Q,另一端悬挂一物块P。设细绳的左边部分与水平方向的夹角为θ,初始时θ很小,现将P、Q由静止同时释放,关于P、Q以后的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.在θ向90°增大的过程中,P一直处于超重状态
B.当θ=90°时,P的速度最大
C.当θ=90°时,Q的速度最大
D.当θ=60°时,P、Q的速度大小之比是∶2
角度2 接触面关联速度
[典例2](2023·绍兴模拟)如图所示,长为l的轻杆,一端固定一个质量为m的小球,另一端有固定转动轴O,杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动①;质量为M的物块放置在光滑水平面上,开始时,使小球靠在物块的光滑侧面上,轻杆与水平面夹角为45°,用手控制物块静止,然后释放物块,在之后球与物块运动的过程中②,下列说法正确的是 (　　)
A.球与物块分离前,杆上的弹力逐渐增大
B.球与物块分离前,球与物块的速度相等
C.球与物块分离前,物块的速度先增大后减小
D.球与物块分离时,球的加速度等于重力加速度
【备选例题】
(多选)(2023·宁德模拟)如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动活塞使其往复运动,某时刻活塞的速度为v0,连杆AO与活塞轴线BO垂直,汽缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F,已知AO=AB,不计一切摩擦,则此刻 (　　)
A.活塞对连杆AB的作用力为2F
B.汽缸壁对活塞的作用力为F
C.连杆AB的A端沿连杆AB方向的速度为v0
D.连杆OA的A端绕O点转动的线速度为v0
构建模型·发展核心素养
物理模型:小船渡河模型
【核心要点】
1.模型条件
小船在水中运动,同时参与随水漂流的运动和船相对静水的运动。
2.模型特点
(1)小船渡河的合运动是小船的实际运动。
(2)小船的合速度是小船的实际速度,即小船相对河岸的速度。
(3)小船的合位移是小船的实际位移。
易错提醒:小船的合运动与分运动的运动时间是相等的,而且两个分运动各自独立,互不影响。
3.两类问题,三种情境
渡 河 时 间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关; (2)船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)
渡 河 位 移 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直河岸,渡河位移最短,且xmin=d
若v船【典例剖析】
角度1 船速大于水速的渡河问题
[典例3](多选)假设一只小船匀速横渡一条河流,当船头垂直对岸方向航行时,在出发后10 min 到达对岸下游120 m处;若船头保持与河岸成α角向上游航行,出发后12.5 min 到达正对岸,两次渡河时小船相对于静水的速度大小相同。以下说法正确的是(　　)
A.水流的速度大小为0.2 m/s
B.船头与河岸间的夹角α为60°
C.小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D.河的宽度为200 m
角度2 船速小于水速的渡河问题
[典例4](2024·扬州模拟)已知河水流速稳定为2 m/s,汽艇在静水中的速度恒为
1 m/s。图中实线为河岸,虚线为汽艇从河岸M驶向对岸N的实际航线。若以最短的航线渡河,下列情形可能正确的是 (　　)
【备选例题】
(2023·泰安模拟)如图,某河流中水流速度大小恒为v1,A处的下游C处有个漩涡,漩涡与河岸相切于B点,漩涡的半径为r,AB=r。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸,小船航行时在静水中速度的最小值为(　　)
A.v1　　　B.v1　　　C.v1　　　D.v1
答案及解析
考点一　曲线运动的条件和特征
【题点全练】
1. (2024·惠州模拟)水平桌面上,让一个小铁球沿桌面匀速运动,在它的运动轨迹旁边放置一磁铁,在磁铁吸引力的作用下,小铁球此后的运动轨迹发生变化,如图所示,关于小铁球受力及运动情况,下列说法正确的是 (　　)
A.小铁球的速度方向始终指向磁铁
B.小铁球的速度方向沿它运动轨迹的切线方向
C.磁铁对小铁球的吸引力沿运动轨迹的切线方向
D.磁铁对小铁球的吸引力与小铁球的速度方向在同一直线上
【解析】选B。做曲线运动时,速度方向沿着运动轨迹的切线方向,故A错误,B正确;磁铁对小铁球的吸引力方向是指向磁铁的方向,两者不共线,球在做曲线运动,故C、D错误。
【加固训练】
如图所示,甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图,乙图是其示意图。比赛时,运动员从起点沿赛道快速向终点滑去,先后经过A、P、B、C、D五点。运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是 (　　)
A.A点　　B.B点　　C.C点　　D.D点
【解析】选A。根据曲线运动某点的速度方向沿着该点的切线方向,由题图可知运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是A点,A正确,B、C、D错误。
2.(2023·辽宁选择考)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是 (　　)
【解析】选A。篮球做曲线运动,所受合力指向运动轨迹的凹侧,故选A。
3.(2023·上海金山区模拟)如图,圆弧形管道MN置于水平面上,一光滑小球从管道M端进入,它从出口N离开后的运动轨迹是 (　　)
A.a　　　B.b　　　C.c　　　D.d
【解析】选C。在曲线运动中速度方向为轨迹的切线方向,由题图可知,在N点的速度方向为c的方向,因为小球离开圆弧形管道后,做匀速直线运动,所以从出口N离开后的运动轨迹是c。
考点二　运动的合成与分解　
【题点全练】
1.(2023·安康模拟)跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中,一位跳伞运动员从飞机上由静止跳下后,下列说法中正确的是 (　　)
A.风力越大,运动员下落时间越长
B.运动员下落时间与风力无关
C.风力越大,运动员落地时的竖直速度越大
D.运动员落地速度与风力无关
【解析】选B。运动员同时参与了竖直和水平两个方向的分运动,两个分运动同时发生,相互独立,则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动,即落地时间不变,根据h=gt2得t=,落地时竖直速度也不变,为v=gt=,A、C错误,B正确;水平风力越大,水平方向的加速度越大,对应落地时水平速度越大,则落地的合速度越大,D错误。
2.(2023·江苏选择考)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 (　　)
【解析】选D。以漏下的沙子为参考系,罐子向右上角做匀加速直线运动(竖直方向上加速度为g,方向向上,水平方向上加速度为恒定加速度a,方向向右),加速度大小、方向恒定,对于每一瞬间落下的沙子都满足该条件,即任何时刻落下的沙子都在罐子的左下角且跟罐子的连线与水平线的夹角恒定,所以,沙子排列的几何图形为一条直线,故D正确,A、B、C错误。
3.(多选)(2024·濮阳模拟)平面内质量为1 kg的物体沿x、y方向的运动图像分别如图1、2所示,其中沿x方向的图像为顶点在原点的抛物线。关于物体的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.物体加速度大小为 m/s2
B.物体做匀变速曲线运动
C.物体做变加速直线运动
D.t=1 s时物体速度最小,大小为2 m/s
【解析】选B、D。根据题意可知,在x方向上,有x=axt2
结合图线可得ax=2 m/s2
在y方向上,有ay== m/s2=-2 m/s2
所以物体运动的加速度大小为a==2 m/s2
故A错误;由于合加速度的方向和合初速度的方向不共线,所以物体做匀变速曲线运动,故B正确,C错误;物体运动的速度大小为v====
根据二次函数知识可知,当t=1 s时物体速度最小,其值为vmin=2 m/s
故D正确。
考点三　关联速度分解模型
【典例剖析】
角度1 绳连接体关联速度
[典例1](2023·日照模拟)如图,汽车从静止开始通过缆绳将质量为m的货物从A处沿光滑斜面拉到B处,此过程中货物上升高度为h,到B处时定滑轮右侧缆绳与水平方向间的夹角为θ,左侧缆绳与斜面间的夹角为2θ,汽车的速度大小为v,此时货物的速度大小为 (　　)
A.v　　　　B.(-sinθ)v
C.2cosθ D.2sinθv
【关键点拨】 在绳端点处沿着绳方向和垂直于绳方向分解速度,其中沿着绳子方向的速度相等。
【解析】选A。汽车和货物运动过程中,速度关联,如图所示
把绳子左端点的实际速度分解为沿绳和垂直于绳的两个方向,有v货=,把绳子右端点的实际速度分解为沿绳和垂直于绳两个方向,有v=,联立可得
v货=v,故选A。
【备选例题】
(2023·滁州模拟)如图所示,水平固定的光滑细长杆上套有一物块Q,跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细绳一端连接Q,另一端悬挂一物块P。设细绳的左边部分与水平方向的夹角为θ,初始时θ很小,现将P、Q由静止同时释放,关于P、Q以后的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.在θ向90°增大的过程中,P一直处于超重状态
B.当θ=90°时,P的速度最大
C.当θ=90°时,Q的速度最大
D.当θ=60°时,P、Q的速度大小之比是∶2
【解析】选C。P从开始运动到到达最低点的过程中,先向下做加速运动,加速度向下,处于失重状态,然后又向下做减速运动,加速度向上,处于超重状态,故A错误;当θ=90°时,P的速度为0,位置最低,即Q到达O点正下方,此时Q的速度最大,即当θ=90°时,Q的速度最大,P的速度最小,为零,故B错误,C正确;由题可知,P、Q用同一根绳连接,则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等,则当θ=60°时,vQcos60°=vP,解得:vP∶vQ=1∶2,故D错误。
角度2 接触面关联速度
[典例2](2023·绍兴模拟)如图所示,长为l的轻杆,一端固定一个质量为m的小球,另一端有固定转动轴O,杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动①;质量为M的物块放置在光滑水平面上,开始时,使小球靠在物块的光滑侧面上,轻杆与水平面夹角为45°,用手控制物块静止,然后释放物块,在之后球与物块运动的过程中②,下列说法正确的是 (　　)
A.球与物块分离前,杆上的弹力逐渐增大
B.球与物块分离前,球与物块的速度相等
C.球与物块分离前,物块的速度先增大后减小
D.球与物块分离时,球的加速度等于重力加速度
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①对于一端有转动轴的轻杆,其提供的弹力方向一定沿着轻杆的方向。
信息②球与物块分离前,物块与球的水平速度相等。但球的实际速度方向沿圆弧的切线方向。
【解析】选D。对小球和物块整体受力分析,受重力,杆的弹力F,地面的支持力FN,如图1所示,
在水平方向由牛顿第二定律得Fcosθ=(M+m)ax,分离后物块的加速度为零,可知在球与物块分离前,物块的加速度逐渐减小,而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等,所以小球的水平方向分加速度逐渐减小,而cosθ逐渐增大,所以弹力逐渐减小,当恰好分离时,水平加速度为零,弹力为零,球只受重力,加速度等于重力加速度g,故A错误,D正确;设球的速度为v,球与物块分离前,物块与球的水平速度相等,球的速度与杆垂直向下,如图2所示,
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度,由图可知,球的速度大于物块的速度,故B错误;由于地面光滑,杆对物块的弹力始终向左,物块的加速度始终向左,所以物块一直加速,故C错误。
【备选例题】
(多选)(2023·宁德模拟)如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动活塞使其往复运动,某时刻活塞的速度为v0,连杆AO与活塞轴线BO垂直,汽缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F,已知AO=AB,不计一切摩擦,则此刻 (　　)
A.活塞对连杆AB的作用力为2F
B.汽缸壁对活塞的作用力为F
C.连杆AB的A端沿连杆AB方向的速度为v0
D.连杆OA的A端绕O点转动的线速度为v0
【解析】选B、D。连杆AO与活塞轴线BO垂直时,由几何关系可知BA与BO之间的夹角θ=30°,由于是轻质活塞,所以活塞所受合外力为零,活塞受连杆AB对其的推力F1、汽缸壁对其的弹力F2和高压气体及外部大气对活塞的作用力作用,如图所示
根据平衡条件可得F1cosθ=F,F1sinθ=F2
解得F1=F,F2=F,故A错误,B正确;
v0沿连杆AB方向和垂直于连杆AB方向分解,如图所示
沿连杆AB方向的速度vA=v0cos30°=v0,
连杆OA的A端绕O转动的线速度v==v0,故C错误,D正确。
构建模型·发展核心素养
物理模型:小船渡河模型
【典例剖析】
角度1 船速大于水速的渡河问题
[典例3](多选)假设一只小船匀速横渡一条河流,当船头垂直对岸方向航行时,在出发后10 min 到达对岸下游120 m处;若船头保持与河岸成α角向上游航行,出发后12.5 min 到达正对岸,两次渡河时小船相对于静水的速度大小相同。以下说法正确的是(　　)
A.水流的速度大小为0.2 m/s
B.船头与河岸间的夹角α为60°
C.小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D.河的宽度为200 m
【思维流程】
【解析】选A、D。船头垂直对岸方向航行时,如图甲所示,由x=v2t1,得水流的速度大小为v2== m/s=0.2 m/s,故A正确;船头保持与河岸成α角向上游航行时,如图乙所示
v2=v1cosα,d=v1sinα·t2,由图甲可得d=v1t1,联立解得sinα=,船头与河岸间的夹角不是60°
v1≈0.33 m/s,d=200 m,故B、C错误,D正确。
角度2 船速小于水速的渡河问题
[典例4](2024·扬州模拟)已知河水流速稳定为2 m/s,汽艇在静水中的速度恒为
1 m/s。图中实线为河岸,虚线为汽艇从河岸M驶向对岸N的实际航线。若以最短的航线渡河,下列情形可能正确的是 (　　)
【解析】选B。因为汽艇的静水速度小于河水的流速,可知汽艇合速度方向不能垂直河岸,即汽艇不能垂直河岸渡河;当汽艇的速度方向垂直合速度的方向时,合速度方向与河岸的夹角最大,汽艇的位移最小。故选B。
【备选例题】
(2023·泰安模拟)如图,某河流中水流速度大小恒为v1,A处的下游C处有个漩涡,漩涡与河岸相切于B点,漩涡的半径为r,AB=r。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸,小船航行时在静水中速度的最小值为(　　)
A.v1　　　B.v1　　　C.v1　　　D.v1
【解析】选B。根据题意得tanθ=,解得θ=37° 。
小船航行时在静水中速度的最小值为v2=v1sin2θ ,解得v2=v1,故选B。

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