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第1讲　圆周运动
整合教材·夯实必备知识
一、圆周运动(必修二第六章第1、2、3节)
1.描述圆周运动的物理量
2.圆周运动的向心力
(1)向心力:做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心,这个指向圆心的力叫向心力。
(2)大小:Fn=m=mω2r=mr=mωv=4π2mf2r。
(3)方向:始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力。
(4)来源:向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,也可以由一个力的分力提供。
二、离心运动和近心运动(必修二第六章第4节)
(1)离心运动:做圆周运动的物体,在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动。
(2)受力特点(如图)
①当F=0时,物体沿切线方向飞出,做匀速直线运动。
②当0③当F>mrω2时,物体逐渐向圆心靠近,做近心运动。
【质疑辨析】
角度1 描述圆周运动的物理量
(1)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心,大小不变。 (　√　)
(2)根据an=知,加速度an与半径r成反比。 (　×　)
(3)根据an=ω2r知,加速度an与半径r成正比。 (　×　)
(4)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的。 (　×　)
角度2 离心运动
(5)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。 (　×　)
(6)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动,这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。 (　×　)
精研考点·提升关键能力
考点一　圆周运动的运动学问题　(核心共研)
【核心要点】
常见传动方式及特点
项 目 同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装 置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特 点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转 向 相同 相同 相反
规 律 线速度与半径成正比:= 向心加速度与半径成正比:= 角速度与半径成反比:= 向心加速度与半径成反比:= 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: =
【典例剖析】
角度1 描述圆周运动的物理量之间的关系
[典例1] (2022·上海等级考)运动员滑雪时运动轨迹如图所示,已知该运动员滑行的速率保持不变,角速度为ω,向心加速度为a。则 (　　)
A.ω变小,a变小　　　　　B.ω变小,a变大
C.ω变大,a变小 D.ω变大,a变大
【备选例题】
(2023·温州模拟)在东北严寒的冬天,有一项“泼水成冰”的游戏,具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中,泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间,图乙为其示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动,在0.4 s内杯子旋转了。下列说法正确的是 (　　)
A.P位置的小水珠速度方向沿a方向
B.P、Q两位置,杯子的向心加速度相同
C.杯子在旋转时的线速度大小约为6π m/s
D.杯子在旋转时的向心加速度大小约为9π2 m/s2
角度2 三种传动装置
[典例2](2024·淮安模拟)如图所示为正在使用的修正带,大齿轮齿数为 N1,小齿轮齿数为N2,A、B分别为大、小齿轮边缘上的点。 下列说法正确的是(　　)
A.大小齿轮转动的方向相同
B.A、B两点的线速度大小之比为 N1∶N2
C.A、B两点的角速度大小之比为 N2∶N1
D.A、B两点的向心加速度大小之比为∶
【备选例题】
(2023·威海模拟)如图所示为某同学拼装的乐高齿轮传动装置,图中五个齿轮自左向右编号分别为1、2、3、4、5。它们的半径之比为3∶9∶3∶5∶3,其中齿轮1是主动轮,正在逆时针匀速转动。下列说法正确的是 (　　)
A.齿轮5顺时针转动
B.齿轮1与齿轮3的转速之比为1∶9
C.齿轮2边缘的向心加速度与齿轮5边缘的向心加速度之比为1∶9
D.齿轮2的周期与齿轮4的周期之比为9∶5
考点二　圆周运动的动力学问题　(核心共研)
【核心要点】
圆周运动中动力学问题的分析思路
【典例剖析】
角度1 火车拐弯问题
[典例3]港珠澳大桥总长约55 km,是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、
海底沉管隧道最长的跨海大桥。如图所示,该路段是港珠澳大桥的一段半径R=150 m的圆弧形弯道,总质量m=1 500 kg的汽车通过该圆弧形弯道时以v=
72 km/h的速度做匀速圆周运动(汽车可视为质点,路面视为水平且不考虑车道的宽度①)。已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的②,取重力加速度大小g=10 m/s2,则 (　　)
A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4 000 N
C.汽车过该弯道时的向心加速度大小为3 m/s2
D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为40 m/s
【备选例题】
(2023·眉山模拟)国家速度滑冰队在训练弯道技术时采用人体高速弹射装置,如图甲所示,在实际应用中装置在前方通过绳子拉着运动员,使运动员做匀加速直线运动,到达设定速度时,运动员松开绳子,进行高速入弯训练,已知弯道半径为25 m,人体高速弹射装置可以使运动员在4.5 s内由静止达到入弯速度18 m/s,入弯时冰刀与冰面的接触情况如图乙所示,运动员质量为50 kg,重力加速度g取10m/s2,忽略弯道内外高度差及绳子与冰面的夹角、冰刀与冰面间的摩擦,下列说法正确的是 (　　)
A.运动员匀加速运动的距离为81 m
B.匀加速过程中,绳子的平均弹力为100 N
C.运动员入弯时的向心力为648 N
D.入弯时冰刀与水平冰面的夹角大于45°
角度2 拱形桥与凹形桥问题
[典例4](2023·襄阳模拟)如图所示是为我国的福建号航母配置的歼-35战机,具有优异的战斗性能,其过载能力可以达到9。过载是指作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机重力之比。例如歼-35战机,以大小为2g的加速度竖直向上加速运动时,其过载就是3。若歼-35战机在一次做俯冲转弯训练时,在最低点时速度大小为200 m/s,过载为5,重力加速度g取10 m/s2,将飞机的运动轨迹看成圆弧,则飞机的转弯半径约为 (　　)
A.800 m　　　　 B.1000 m
C.1 200 m D.1 400 m
角度3 离心运动问题
[典例5](2024·渭南模拟)如图为自行车气嘴灯及其结构图,弹簧一端固定在A端,另一端拴接重物,当车轮高速旋转时,重物由于做离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触,从而接通电路,LED灯就会发光,下列说法正确的是 (　　)
A.安装时A端比B端更靠近气嘴
B.高速旋转时,重物做离心运动是由于受到离心力作用
C.增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D.匀速行驶时,若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时也一定能发光
【备选例题】
(2023·扬州模拟)如图所示,滚筒洗衣机脱水时,滚筒绕水平转动轴匀速转动,滚筒上有很多漏水孔,附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出,达到脱水的效果,下列说法正确的是 (　　)
A.脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当动力
B.衣物在最低点B时脱水效果最好
C.衣物在A、B两点时的加速度相同
D.衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等
考点三　平抛运动与圆周运动的综合　 (核心共研)
【核心要点】
平抛运动与圆周运动的综合问题的解题关键
(1)明确匀速圆周运动的向心力的来源,根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量,前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
(4)通常利用时间的关系列式计算,主要由于匀速圆周运动具有周期性,会产生多解问题。
【典例剖析】
角度1 平抛运动与圆周运动的组合问题
[典例6](多选) (2022·河北选择考)如图,广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心,R1和R2为半径的同心圆上,圆心处装有竖直细水管,其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节,以保障喷出的水全部落入相应的花盆中,依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时,喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同,半径远小于同心圆半径,出水口截面积保持不变,忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.若h1=h2,则v1∶v2=R2∶R1
B.若v1=v2,则h1∶h2=∶
C.若ω1=ω2,v1=v2,喷水嘴各转动一周,则落入每个花盆的水量相同
D.若h1=h2,喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同,则ω1=ω2
角度2 平抛运动与圆周运动的多解问题
[典例7](多选) (2023·新乡模拟)各地为提高当地人民的业余生活水平,修建了各种冲关类娱乐游戏设施。如图为某地冲关游戏中的一个关卡。一个以某一角速度转动的圆盘浮在水面上,圆盘表面保持水平,M为圆盘边缘上一点。某时刻,参赛者从跑道上P点以速度v0水平向右跳出,初速度方向沿OM方向,且轨迹与OM在同一竖直平面内,正好落在M点,不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A.若跳出时刻不变,仅增大v0,参赛者仍可能落在M点
B.若跳出时刻不变,仅减小v0,参赛者一定不会落在M点
C.若跳出时刻不变,仅增大转盘的角速度,参赛者仍可能落在M点
D.若跳出时刻不变,仅增大转盘的角速度,参赛者不可能落在M点
【备选例题】(多选) (2023·绵阳模拟)如图所示,有一竖直圆筒,内壁光滑,上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧,沿着筒壁呈螺旋状滑落,落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5 m,横截面圆环半径为1 m,g取10 m/s2,
π≈3.14。则 (　　)
A.小球下落时间为1 s
B.小球进入圆筒的初速度大小可能为3.14 m/s
C.小球进入圆筒的初速度大小可能为6.28 m/s
D.小球进入圆筒的初速度大小可能为12.56 m/s
构建模型·发展核心素养
物理模型:圆锥摆模型
【核心要点】
1.模型条件
一根质量和伸长可以不计的细线,系一个可视为质点的摆球,在水平面内做匀速圆周运动。
2.模型特点
只受两个力即竖直向下的重力mg和沿着摆线方向的拉力FT,两个力的合力就是摆球做匀速圆周运动的向心力Fn。
设摆球的质量为m,摆线的长度为l,与竖直方向的夹角为θ,摆球的线速度为v,角速度为ω,周期为T,频率为f。
(1)摆线的拉力
有两种基本思路:当θ角已知时FT=;
当θ角未知时FT==mω2l=m()2l=m(2πf)2l。
(2)周期的计算
设悬点到圆周运动圆心的距离为h,根据向心力公式有mgtanθ=m()2lsinθ,则T=2π=2π,由此可知高度相同的圆锥摆周期相同,与m、l、θ无关。
(3)动态分析
根据mgtanθ=mω2lsinθ有cosθ=,当角速度ω增大时,θ增大,向心力增大,回旋半径增大,周期变小。
3.模型拓展——圆锥筒问题
(1)筒内壁光滑,向心力由重力mg和支持力FN的合力提供,即=m=mω2r,解得v=,ω=。
(2)稳定状态下小球所处的位置越高,半径r越大,角速度ω越小,线速度v越大,支持力FN=和向心力F向=并不随位置的变化而变化。
【典例剖析】
角度1 圆锥摆问题
[典例8](2024·惠州模拟)图(a)为某游乐场的“旋转秋千”,它可以简化为图(b)所示的模型,已知圆盘的半径d=1.5 m,悬绳长l=2.5 m。圆盘以恒定的角速度转动,稳定时测得悬绳与竖直方向的夹角θ=37°,已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A.“旋转秋千”中的人做圆周运动的半径为1.5 m
B.若人和座椅的总质量为75 kg,则悬绳上的拉力为1 000 N
C.若减小悬绳长度,要维持夹角θ保持不变,则圆盘转动的周期变小
D.若人和座椅的总质量增大,圆盘转速不变,则悬绳与竖直方向的夹角减小
【备选例题】
(2023·凉山模拟)如图所示,甲、乙两个质量相同的小球(视为质点)用等长轻质细线1、2连接,悬挂在天花板上的O点,两球在各自的水平面内做匀速圆周运动,并处于相对静止状态,细线与竖直方向的夹角分别为θ、β(θ、β非常小,可以取tanθ=sinθ=θ,tanβ=sinβ=β)。则 (　　)
A.θ=β
B.甲、乙两球的速度之比为1∶2
C.甲、乙两球的向心力之比为1∶2
D.细线1、2拉力的竖直分力之比为1∶2
角度2 圆锥筒问题
[典例9](2023·泰安模拟)如图所示的光滑杆和轻弹簧的一端均固定在O'点,可视为质点的小球A固定在轻弹簧的另一端,现使整个装置环绕竖直轴OO'匀速转动,当角速度为ω0时轻弹簧处于原长状态。则下列说法正确的是(　　)
A.角速度由ω0逐渐增大,小球沿杆向上移动
B.角速度大于ω0时,杆与小球间的作用力大小可能不变
C.仅增加小球的质量,小球沿杆向上移动
D.ω0与小球的质量大小有关
[典例10](多选)(2023·上饶模拟)如图所示,两个同轴心的玻璃漏斗内表面光滑,两漏斗与竖直转轴的夹角分别是α、β且α<β,A、B、C三个相同的小球在漏斗上做匀速圆周运动,A、B两球在同一漏斗的不同位置,C球在另一个漏斗上且与B球位置等高,下列说法正确的是 (　　)
A.A球与B球的向心力大小相等
B.A球与B球的速度大小相等
C.B球与C球的速度大小相等
D.B球的周期大于C球的周期
答案及解析
考点一　圆周运动的运动学问题
【典例剖析】
角度1 描述圆周运动的物理量之间的关系
[典例1] (2022·上海等级考)运动员滑雪时运动轨迹如图所示,已知该运动员滑行的速率保持不变,角速度为ω,向心加速度为a。则 (　　)
A.ω变小,a变小　　　　　B.ω变小,a变大
C.ω变大,a变小 D.ω变大,a变大
【关键点拨】 根据线速度和加速度的公式,结合半径的变化完成分析。
【解析】选D。根据线速度的公式v=ωr可知,当速率不变,半径减小时,角速度增大,而a=ωv也会随之增大,故D正确,A、B、C错误。
【备选例题】
(2023·温州模拟)在东北严寒的冬天,有一项“泼水成冰”的游戏,具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中,泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间,图乙为其示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动,在0.4 s内杯子旋转了。下列说法正确的是 (　　)
A.P位置的小水珠速度方向沿a方向
B.P、Q两位置,杯子的向心加速度相同
C.杯子在旋转时的线速度大小约为6π m/s
D.杯子在旋转时的向心加速度大小约为9π2 m/s2
【解析】选D。根据图乙水珠做离心运动的方向可知杯子旋转方向为逆时针,故可知P位置的小水珠速度方向沿b方向,A错误;向心加速度方向指向圆心,P、Q两位置,杯子的向心加速度方向不同,B错误;杯子在旋转时的角速度大小为ω== rad/s=3π rad/s,杯子在旋转时的运动半径大约为1 m,故线速度大小约为v=ωr=3π m/s,C错误;杯子在旋转时的向心加速度大小约为a=ω2r=9π2 m/s2,D正确。
角度2 三种传动装置
[典例2](2024·淮安模拟)如图所示为正在使用的修正带,大齿轮齿数为 N1,小齿轮齿数为N2,A、B分别为大、小齿轮边缘上的点。 下列说法正确的是(　　)
A.大小齿轮转动的方向相同
B.A、B两点的线速度大小之比为 N1∶N2
C.A、B两点的角速度大小之比为 N2∶N1
D.A、B两点的向心加速度大小之比为∶
【关键点拨】同缘传动时,边缘点的线速度相等;同轴传动时,各点角速度相等。然后结合v=ωr,a==ω2r等公式求解。
【解析】选C。大小齿轮转动的方向相反,故选项A错误;A、B两点的线速度大小之比为1∶1,故选项B错误;A、B两点的角速度ω=,所以角速度之比==,故选项C正确;A、B两点的向心加速度a=,所以向心加速度之比==,故选项D错误。
【备选例题】
(2023·威海模拟)如图所示为某同学拼装的乐高齿轮传动装置,图中五个齿轮自左向右编号分别为1、2、3、4、5。它们的半径之比为3∶9∶3∶5∶3,其中齿轮1是主动轮,正在逆时针匀速转动。下列说法正确的是 (　　)
A.齿轮5顺时针转动
B.齿轮1与齿轮3的转速之比为1∶9
C.齿轮2边缘的向心加速度与齿轮5边缘的向心加速度之比为1∶9
D.齿轮2的周期与齿轮4的周期之比为9∶5
【解析】选D。当齿轮1逆时针匀速转动时,齿轮2顺时针转动,齿轮3逆时针转动,齿轮4顺时针转动,齿轮5逆时针转动,选项A错误;所有齿轮边缘的线速度相同,齿轮1与齿轮3边缘具有相同的线速度,因为齿轮1与齿轮3半径相等,所以转速之比为1∶1,选项B错误;根据==,所以==,选项C错误;同理可得==,所以==,选项D正确。
考点二　圆周运动的动力学问题
【典例剖析】
角度1 火车拐弯问题
[典例3]港珠澳大桥总长约55 km,是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、
海底沉管隧道最长的跨海大桥。如图所示,该路段是港珠澳大桥的一段半径R=150 m的圆弧形弯道,总质量m=1 500 kg的汽车通过该圆弧形弯道时以v=
72 km/h的速度做匀速圆周运动(汽车可视为质点,路面视为水平且不考虑车道的宽度①)。已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的②,取重力加速度大小g=10 m/s2,则 (　　)
A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4 000 N
C.汽车过该弯道时的向心加速度大小为3 m/s2
D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为40 m/s
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①汽车做匀速圆周运动,受到重力、支持力、摩擦力及牵引力,其合力提供向心力。
信息②当路面对轮胎的径向摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时,汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率。
【解析】选B。汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力和牵引力作用,径向摩擦力提供做圆周运动的向心力,向心力不是汽车实际受到的力,故A错误;汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为f,由牛顿第二定律得:f=m,其中v=72 km/h
=20 m/s,代入数据得:f=4 000 N,故B正确;汽车过该弯道时的向心加速度大小为:a=
代入数据得:a= m/s2,故C错误;设汽车能安全通过该弯道的最大速度为vm,由牛顿第二定律得:mg=m,解得:vm=30 m/s,故D错误。
【备选例题】
(2023·眉山模拟)国家速度滑冰队在训练弯道技术时采用人体高速弹射装置,如图甲所示,在实际应用中装置在前方通过绳子拉着运动员,使运动员做匀加速直线运动,到达设定速度时,运动员松开绳子,进行高速入弯训练,已知弯道半径为25 m,人体高速弹射装置可以使运动员在4.5 s内由静止达到入弯速度18 m/s,入弯时冰刀与冰面的接触情况如图乙所示,运动员质量为50 kg,重力加速度g取10m/s2,忽略弯道内外高度差及绳子与冰面的夹角、冰刀与冰面间的摩擦,下列说法正确的是 (　　)
A.运动员匀加速运动的距离为81 m
B.匀加速过程中,绳子的平均弹力为100 N
C.运动员入弯时的向心力为648 N
D.入弯时冰刀与水平冰面的夹角大于45°
【解析】选C。运动员匀加速运动的距离为
x=t=×4.5 m=40.5 m,故A错误;匀加速过程中,加速度大小为a== m/s2=
4 m/s2,由牛顿第二定律,绳子的平均弹力为F=ma=50×4 N=200 N,故B错误;运动员入弯时的向心力为Fn=m=50× N=648 N,故C正确;设入弯时冰刀与水平冰面的夹角为θ,则有tanθ===<1,可得θ<45°,故D错误。
角度2 拱形桥与凹形桥问题
[典例4](2023·襄阳模拟)如图所示是为我国的福建号航母配置的歼-35战机,具有优异的战斗性能,其过载能力可以达到9。过载是指作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机重力之比。例如歼-35战机,以大小为2g的加速度竖直向上加速运动时,其过载就是3。若歼-35战机在一次做俯冲转弯训练时,在最低点时速度大小为200 m/s,过载为5,重力加速度g取10 m/s2,将飞机的运动轨迹看成圆弧,则飞机的转弯半径约为 (　　)
A.800 m　　　　 B.1000 m
C.1 200 m D.1 400 m
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息过载为3是指作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力大小为3mg,可以使飞机获得a=2g的竖直向上的加速度。
【解析】选B。对最低点的飞机受力分析,可知飞机受到重力mg、气动力和发动机推力的合力F,根据牛顿第二定律,可得F-mg=m,此时过载为5,所以F=5mg,代入数据解得,飞机的转弯半径r=1 000 m,故B正确,A、C、D错误。
角度3 离心运动问题
[典例5](2024·渭南模拟)如图为自行车气嘴灯及其结构图,弹簧一端固定在A端,另一端拴接重物,当车轮高速旋转时,重物由于做离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触,从而接通电路,LED灯就会发光,下列说法正确的是 (　　)
A.安装时A端比B端更靠近气嘴
B.高速旋转时,重物做离心运动是由于受到离心力作用
C.增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D.匀速行驶时,若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时也一定能发光
【关键点拨】在最高点、最低点时,合力提供向心力,结合题意分析发光情况。
【解析】选C。根据题意,重物由于做离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触,可知安装时B端比A端更靠近气嘴,故A错误;高速旋转时,重物做离心运动是由于重物所受外力沿半径方向的合力不足以提供圆周运动的向心力,不能够认为重物受到离心力作用,故B错误;根据F=m,可知,速度大小,圆周运动半径一定时,增大重物质量时,重物所需向心力增大,可知增大重物质量时,重物更加容易发生离心运动,即增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光,故C正确;匀速行驶时,若LED灯转到最低点时,重力方向竖直向下,则此时弹簧一定处于拉伸状态,且有F1-mg=m,LED灯能发光,表明此时触点M、N接触,LED灯转到最高点时,速度大小不变,所需向心力大小不变,由于重力方向竖直向下,则此时弹力大小一定减小,即重物将远离B端,可知此时触点M、N有可能脱离接触,即LED灯不一定发光,故D错误。
【备选例题】
(2023·扬州模拟)如图所示,滚筒洗衣机脱水时,滚筒绕水平转动轴匀速转动,滚筒上有很多漏水孔,附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出,达到脱水的效果,下列说法正确的是 (　　)
A.脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当动力
B.衣物在最低点B时脱水效果最好
C.衣物在A、B两点时的加速度相同
D.衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等
【解析】选B。脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力方向与速度平行,不可能充当向心力,故A错误;对衣物上的某一水滴分析,在A点有N1+mg=m,在B点有N2-mg=m,可知N2>N1,则衣物在最低点B时脱水效果最好,故B正确;由于衣物随着滚筒做匀速转动,根据a=可知,衣物在A、B两点时的加速度大小相等,方向相反,均指向圆心,故C错误;根据上述分析可知,衣物在A点所受筒壁的力小于在B点所受筒壁的力,故D错误。
考点三　平抛运动与圆周运动的综合
【典例剖析】
角度1 平抛运动与圆周运动的组合问题
[典例6](多选) (2022·河北选择考)如图,广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心,R1和R2为半径的同心圆上,圆心处装有竖直细水管,其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节,以保障喷出的水全部落入相应的花盆中,依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时,喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同,半径远小于同心圆半径,出水口截面积保持不变,忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.若h1=h2,则v1∶v2=R2∶R1
B.若v1=v2,则h1∶h2=∶
C.若ω1=ω2,v1=v2,喷水嘴各转动一周,则落入每个花盆的水量相同
D.若h1=h2,喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同,则ω1=ω2
【思维流程】
【解析】选B、D。若h1=h2,根据竖直方向上自由落体的运动特点可知,水的运动时间相等,在水平方向上,x=vt,则v1∶v2=R1∶R2,故A错误;若v1=v2,根据水平方向的运动特点可知,t1∶t2=R1∶R2,结合竖直方向自由落体的公式h=gt2可知,h1∶h2=∶,故B正确;若ω1=ω2,v1=v2,喷水嘴各转动一周,因为旋转的时间相同,则喷出的水量相等,但因为外圈的花盆数量比内圈数量多,则落入每个花盆的水量不相同,故C错误;设出水口横截面积为S0,喷水速度为v,若ω1=ω2,则喷水管转动一周的时间相等,因h相等,则水落地的时间相等,则t=相等;在圆周上单位时间内单位长度的水量为Q0====相等,即一周中每个花盆中的水量相同,则ω1=ω2,选项D正确。
角度2 平抛运动与圆周运动的多解问题
[典例7](多选) (2023·新乡模拟)各地为提高当地人民的业余生活水平,修建了各种冲关类娱乐游戏设施。如图为某地冲关游戏中的一个关卡。一个以某一角速度转动的圆盘浮在水面上,圆盘表面保持水平,M为圆盘边缘上一点。某时刻,参赛者从跑道上P点以速度v0水平向右跳出,初速度方向沿OM方向,且轨迹与OM在同一竖直平面内,正好落在M点,不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A.若跳出时刻不变,仅增大v0,参赛者仍可能落在M点
B.若跳出时刻不变,仅减小v0,参赛者一定不会落在M点
C.若跳出时刻不变,仅增大转盘的角速度,参赛者仍可能落在M点
D.若跳出时刻不变,仅增大转盘的角速度,参赛者不可能落在M点
【解析】选B、C。参赛者做平抛运动,下落高度不变,其运动时间不变。由水平方向x=v0t可知,若仅改变v0,其水平位移改变。由于参赛者跳出时刻不变,在相同时间内,M点仍转至原来的位置,则参赛者一定不会落在M点,故A错误,B正确;若仅增大转盘角速度,在相同时间内转盘多转动整数圈,仍可能落在M点,故C正确,D错误。
【备选例题】(多选) (2023·绵阳模拟)如图所示,有一竖直圆筒,内壁光滑,上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧,沿着筒壁呈螺旋状滑落,落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5 m,横截面圆环半径为1 m,g取10 m/s2,
π≈3.14。则 (　　)
A.小球下落时间为1 s
B.小球进入圆筒的初速度大小可能为3.14 m/s
C.小球进入圆筒的初速度大小可能为6.28 m/s
D.小球进入圆筒的初速度大小可能为12.56 m/s
【解析】选A、C、D。小球在竖直方向做自由落体运动,则有h=gt2,解得小球下落时间为t== s=1 s,故A正确;设小球进入圆筒的初速度大小为v0,小球在水平方向做匀速圆周运动,根据题意有v0t=n·2πr(n=1,2,3…)
解得v0=6.28n m/s(n=1,2,3…)
当n=1时,可得v0=6.28 m/s
当n=2时,可得v0=12.56 m/s,故B错误,C、D正确。
构建模型·发展核心素养
物理模型:圆锥摆模型
【典例剖析】
角度1 圆锥摆问题
[典例8](2024·惠州模拟)图(a)为某游乐场的“旋转秋千”,它可以简化为图(b)所示的模型,已知圆盘的半径d=1.5 m,悬绳长l=2.5 m。圆盘以恒定的角速度转动,稳定时测得悬绳与竖直方向的夹角θ=37°,已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A.“旋转秋千”中的人做圆周运动的半径为1.5 m
B.若人和座椅的总质量为75 kg,则悬绳上的拉力为1 000 N
C.若减小悬绳长度,要维持夹角θ保持不变,则圆盘转动的周期变小
D.若人和座椅的总质量增大,圆盘转速不变,则悬绳与竖直方向的夹角减小
【关键点拨】(1)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动,所受的重力和拉力的合力提供向心力。
(2)根据牛顿第二定律列出向心力的表达式,再进行分析、判断。
【解析】选C。人和座椅做圆周运动的半径为r=d+lsinθ=3 m
故A错误;悬绳的拉力T==mg=937.5 N
故B错误;人和座椅做圆周运动时,有mgtanθ=mω2(d+lsinθ)
整理得ω2=,由上式可知,若减小悬绳长度,要维持夹角θ保持不变,则圆盘转动角速度变大,故周期变小;若人和座椅的总质量增大,圆盘转速不变,则悬绳与竖直方向的夹角不变,故C正确,D错误。
【备选例题】
(2023·凉山模拟)如图所示,甲、乙两个质量相同的小球(视为质点)用等长轻质细线1、2连接,悬挂在天花板上的O点,两球在各自的水平面内做匀速圆周运动,并处于相对静止状态,细线与竖直方向的夹角分别为θ、β(θ、β非常小,可以取tanθ=sinθ=θ,tanβ=sinβ=β)。则 (　　)
A.θ=β
B.甲、乙两球的速度之比为1∶2
C.甲、乙两球的向心力之比为1∶2
D.细线1、2拉力的竖直分力之比为1∶2
【解析】选D。甲、乙相对静止做稳定的匀速圆周运动,每转一圈需要的时间相同,角速度相等设为ω,设细线1、2的长度均为L,拉力分别为T1、T2,甲、乙的质量均为m。对乙进行受力分析,把T1分别沿竖直方向和水平方向分解,则有T1cosθ=mg,T1sinθ=mω2L(sinβ+sinθ)
对甲、乙组成的整体进行受力分析,把T2分别沿竖直方向和水平方向分解,则有
T2cosβ=2mg
T2sinβ=mω2L(sinβ+sinθ)+mω2Lsinβ
联立以上式子解得=,故A项错误;根据v甲=ωLsinβ,v乙=ω(Lsinβ+Lsinθ)
结合之前的分析可得=-1,故B项错误;对甲球受力分析有F向甲=mω2Lsinβ,对乙球同理有F向乙=mω2L(sinθ+sinβ),结合之前的分析解得=,故C项错误;由之前的分析可知,两细线竖直方向分力分别为T1y=T1cosθ=mg
T2y=T2cosβ=2mg,解得=,故D项正确。
角度2 圆锥筒问题
[典例9](2023·泰安模拟)如图所示的光滑杆和轻弹簧的一端均固定在O'点,可视为质点的小球A固定在轻弹簧的另一端,现使整个装置环绕竖直轴OO'匀速转动,当角速度为ω0时轻弹簧处于原长状态。则下列说法正确的是(　　)
A.角速度由ω0逐渐增大,小球沿杆向上移动
B.角速度大于ω0时,杆与小球间的作用力大小可能不变
C.仅增加小球的质量,小球沿杆向上移动
D.ω0与小球的质量大小有关
【解析】选A。角速度由ω0逐渐增大的过程中,假设弹簧仍处于原长状态,由F向=mω2R可知小球所需的向心力增大,杆对小球的支持力增大,因此小球一定沿杆向上移动,故A正确,B错误。当角速度为ω0时,对小球进行受力分析,如图所示,
假设杆与竖直方向的夹角为θ,弹簧的原长为l0,则=ml0sinθ,解得ω0=,可知角速度ω0与小球的质量大小无关,故D错误;仅增加小球的质量,角速度不变,弹簧仍处于原长,故C错误。
[典例10](多选)(2023·上饶模拟)如图所示,两个同轴心的玻璃漏斗内表面光滑,两漏斗与竖直转轴的夹角分别是α、β且α<β,A、B、C三个相同的小球在漏斗上做匀速圆周运动,A、B两球在同一漏斗的不同位置,C球在另一个漏斗上且与B球位置等高,下列说法正确的是 (　　)
A.A球与B球的向心力大小相等
B.A球与B球的速度大小相等
C.B球与C球的速度大小相等
D.B球的周期大于C球的周期
【解析】选A、C。A球与B球做匀速圆周运动,合力提供向心力,对两球受力分析,如图:
由几何关系,对A球合力提供向心力:FnA=F合A=
对B球合力提供向心力:FnB=F合B=
A球与B球相同,则A球与B球向心力大小相等,故A正确;由公式Fn=m,小球做圆周运动的速度为v=,由图可知rAvA,故B错误;小球C的向心力:FnC=,设B球与C球的高度为h,由几何关系rB=htanα,rC=htanβ,得v=,则有vB=vC,由公式T=,由于rBTB,故D错误,C正确。

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