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第1讲　万有引力定律
整合教材·夯实必备知识
一、开普勒定律(必修二第七章第1节)
二、万有引力定律(必修二第七章第2节)
【质疑辨析】
角度1 开普勒定律
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样,但都有一个共同的焦点。(　√　)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越大。 (　×　)
(3)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 (　×　)
角度2 万有引力定律
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离,就可以由F=G计算物体间的万有引力。 (　×　)
(5)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。 (　√　)
(6)两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大。 (　×　)
精研考点·提升关键能力
考点一　开普勒行星运动定律　(核心共研)
【核心要点】
对开普勒定律的理解
开普 勒定律 描述 方面 图示 理解
第一定律(轨道定律) 行星运动的轨道 不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道虽然不同,但有一个共同的焦点
第二定律(面积定律) 行星运动的线速度变化 行星靠近太阳运动时速度增大,在近日点速度最大;行星远离太阳运动时速度减小,在远日点速度最小
第三定律(周期定律) 行星运动轨道与其公转周期的关系 =k,其中k是一个常量,与行星无关,但与中心天体的质量有关
【典例剖析】
角度1 开普勒定律的理解
[典例1] (自然现象)(2024·湛江模拟)如图所示,2023年7月12日凌晨,月球与木星相伴出现在天宇,上演了星月争辉的浪漫天象。关于木星和月球的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.木星和月球都以太阳为中心做椭圆运动
B.木星在远日点的速度大于其在近日点的速度
C.月球与地球的连线和木星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积总是相等
D.月球绕地球运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值远小于木星绕太阳运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值
【备选例题】
(2023·凉山模拟)我国首颗超百Gbps容量的高通量地球静止轨道通信卫星——中星26号卫星,于北京时间2023年2月23日在西昌卫星发射中心成功发射,该卫星主要为固定端及车、船、机载终端提供高速宽带接入服务。如图中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为T,两星轨道相交于A、B两点,CD连线过地心,D点为远地点。下列说法正确的是 (　　)
A.中星26在C点的线速度v1与侦察卫星在D点的线速度v2相等
B.中星26与侦察卫星可能相遇
C.相等时间内,中星26与地球的连线扫过的面积大于侦察卫星与地球的连线扫过的面积
D.相等时间内中星26及侦察卫星与地球的连线扫过的面积相等
角度2 “追星”现象与行星的冲日
[典例2](2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表:
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为 (　　)
A.火星365天　　　　　 B.火星800天
C.天王星365天 D.天王星800天
【备选例题】
(2022·湖南选择考)如图,火星与地球近似在同一平面内,绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动,火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动,称为顺行;有时观测到火星由东向西运动,称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上,且太阳和火星位于地球两侧时,称为火星冲日。忽略地球自转,只考虑太阳对行星的引力,下列说法正确的是 (　　)
A.火星的公转周期大约是地球的倍
B.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处,火星相对于地球的速度最小
考点二　万有引力定律的应用　(核心共研)
【核心要点】
求中心天体的质量和密度的方法
类 型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G=mr m中= 只能得到中心天体的质量
r、v G=m m中=
v、T G=m, G=mr m中=
利用天体表面重力加速度 g、R mg= m中= —
密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G=mr, m中=ρ·πR3 ρ= 当r=R时, ρ= 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg=, m中=ρ·πR3 ρ= —
【典例剖析】
角度1 万有引力的理解与计算
[典例3](2022·全国乙卷)2022年3月,中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线,为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到,在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中,航天员可以自由地飘浮,这表明他们 (　　)
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
角度2 万有引力与重力的关系
[典例4](多选)(2023·石家庄模拟)已知一质量为m的物体静止在北极①与赤道时对地面的压力②差为ΔN,已知地球是质量均匀的球体,半径为R,地球表面的重力加速度大小为g,则 (　　)
A.地球的自转周期为2π
B.地球的自转周期为π
C.地球静止轨道卫星的轨道半径为(R
D.地球静止轨道卫星的轨道半径为2(R
【备选例题】
(2023·武汉模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录,最大下潜深度超过了10 000米,首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体,且球壳对球内任一质点的万有引力为零,忽略地球的自转,则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　)
角度3 天体质量和密度的计算
[典例5](2023·辽宁选择考)在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1,地球绕太阳运动的周期为T2,地球半径是月球半径的k倍,则地球与太阳的平均密度之比约为 (　　)
A.k3()2　　 　 B.k3()2
C.()2 D.()2
【备选例题】
(2024·晋中模拟)2022年7月25日3时13分,问天实验舱入轨后,顺利完成状态设置,成功对接于天和核心舱前向端口。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,周期为T。已知地球半径为R,引力常量为G,不考虑地球自转的影响,地球看成质量分布均匀的球体,则 (　　)
A.地球的质量为
B.地球的密度为
C.地球表面的重力加速度和组合体的向心加速度之比为
D.地球表面的重力加速度为()2R
答案及解析
考点一　开普勒行星运动定律
【典例剖析】
角度1 开普勒定律的理解
[典例1] (自然现象)(2024·湛江模拟)如图所示,2023年7月12日凌晨,月球与木星相伴出现在天宇,上演了星月争辉的浪漫天象。关于木星和月球的运动,下列说法正确的是 (　　)
A.木星和月球都以太阳为中心做椭圆运动
B.木星在远日点的速度大于其在近日点的速度
C.月球与地球的连线和木星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积总是相等
D.月球绕地球运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值远小于木星绕太阳运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值
【关键点拨】使用开普勒定律进行判断和计算时,必须绕同一中心天体运行。
【解析】选D。木星以太阳为中心做椭圆运动,而月球是绕地球运动,选项A错误;根据开普勒第二定律可知,木星在远日点的速度小于其在近日点的速度,选项B错误;月球绕地球运动,木星绕太阳运动,运动轨道不同,则月球与地球的连线和木星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不一定是相等的,选项C错误;根据G=mr,可得=,其中M是中心天体的质量,因地球的质量远小于太阳的质量,则月球绕地球运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值远小于木星绕太阳运行轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值,选项D正确。
【备选例题】
(2023·凉山模拟)我国首颗超百Gbps容量的高通量地球静止轨道通信卫星——中星26号卫星,于北京时间2023年2月23日在西昌卫星发射中心成功发射,该卫星主要为固定端及车、船、机载终端提供高速宽带接入服务。如图中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为T,两星轨道相交于A、B两点,CD连线过地心,D点为远地点。下列说法正确的是 (　　)
A.中星26在C点的线速度v1与侦察卫星在D点的线速度v2相等
B.中星26与侦察卫星可能相遇
C.相等时间内,中星26与地球的连线扫过的面积大于侦察卫星与地球的连线扫过的面积
D.相等时间内中星26及侦察卫星与地球的连线扫过的面积相等
【解析】选C。由开普勒第二定律可知,侦察卫星在D点速度最小,由于中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为T,则中星26在C点的线速度v1大于侦察卫星在D点的线速度v2,故A错误;根据题意,由于中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为T,由图可知,中星26在下半周转动时,侦察卫星在上半周转动,中星26在上半周转动时,侦察卫星在下半周转动,则中星26与侦察卫星不可能相遇,故B错误;根据题意可知,中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为T,由开普勒第三定律=k可知,中星26的轨道半径等于侦察卫星的半长轴,令相等时间为周期T,则中星26与地球的连线扫过的面积为圆的面积,侦察卫星与地球的连线扫过的面积为椭圆面积,由圆的面积大于椭圆面积可知,相等时间内中星26与地球的连线扫过的面积大于侦察卫星与地球的连线扫过的面积,故C正确,D错误。
角度2 “追星”现象与行星的冲日
[典例2](2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表:
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为 (　　)
A.火星365天　　　　　 B.火星800天
C.天王星365天 D.天王星800天
【关键点拨】行星绕太阳做匀速圆周运动,根据开普勒第三定律,太阳系各行星轨道半径的三次方与周期T的平方的比值都相等,从上一次行星冲日到下一次行星冲日,地球比行星多转一圈。
【解析】选B。据开普勒第三定律:=,解得T=T地,
设相邻两次“冲日”时间间隔为t,则2π=(-)t,解得t==,
由表格中的数据得t火=≈800天,A错,B对;t天=≈369天,C、D错。
【备选例题】
(2022·湖南选择考)如图,火星与地球近似在同一平面内,绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动,火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动,称为顺行;有时观测到火星由东向西运动,称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上,且太阳和火星位于地球两侧时,称为火星冲日。忽略地球自转,只考虑太阳对行星的引力,下列说法正确的是 (　　)
A.火星的公转周期大约是地球的倍
B.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处,火星相对于地球的速度最小
【解析】选C、D。由题意根据开普勒第三定律可知=,火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍,则可得T火=T地,故A错误;根据G=m,可得v=,由于火星轨道半径大于地球轨道半径,故火星运行线速度小于地球运行线速度,所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动,为逆行,故B错误,C正确;由于火星和地球运动的线速度大小不变,在冲日处火星和地球速度方向相同,故相对速度最小,故D正确。
考点二　万有引力定律的应用
【典例剖析】
角度1 万有引力的理解与计算
[典例3](2022·全国乙卷)2022年3月,中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线,为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到,在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中,航天员可以自由地飘浮,这表明他们 (　　)
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【关键点拨】 空间站在轨道上绕地球做匀速圆周运动,航天员在空间站中随空间站一起做绕地圆周运动,万有引力完全提供做匀速圆周运动的向心力。
【解析】选C。由题意知,航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力,飞船对其作用力等于零,故C正确,A、B错误;根据万有引力公式F万=G可知,在地球表面上所受引力的大小大于在飞船处所受的万有引力大小,因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小,故D错误。
角度2 万有引力与重力的关系
[典例4](多选)(2023·石家庄模拟)已知一质量为m的物体静止在北极①与赤道时对地面的压力②差为ΔN,已知地球是质量均匀的球体,半径为R,地球表面的重力加速度大小为g,则 (　　)
A.地球的自转周期为2π
B.地球的自转周期为π
C.地球静止轨道卫星的轨道半径为(R
D.地球静止轨道卫星的轨道半径为2(R
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①物体静止在北极时,所受万有引力等于重力,等于地面对物体的支持力。
信息②物体静止在赤道上时,物体所受的万有引力与地面的支持力的合力提供做匀速圆周运动的向心力,此时重力小于万有引力。
【解析】选A、C。在北极有FN1=G,在赤道有G-FN2=mR,根据题意,有FN1-FN2=ΔN,联立解得T=2π,A项正确,B项错误;由万有引力提供地球静止轨道卫星的向心力,有G=m'r,联立上式可得r3=;又由于地球表面的重力加速度大小为g,则mg=G,得同步卫星的轨道半径r=(R,C项正确,D项错误。
【备选例题】
(2023·武汉模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录,最大下潜深度超过了10 000米,首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体,且球壳对球内任一质点的万有引力为零,忽略地球的自转,则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　)
【解析】选D。设地球的质量为M,地球的半径为R,“海斗一号”下潜h深度后,以地心为球心、以R-h为半径的球体的质量为M',则根据密度相等有=,由于球壳对球内任一质点的万有引力为零,根据万有引力定律有G=mg,联立以上两式并整理可得g=(R-h),由该表达式可知D正确,A、B、C错误。
角度3 天体质量和密度的计算
[典例5](2023·辽宁选择考)在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1,地球绕太阳运动的周期为T2,地球半径是月球半径的k倍,则地球与太阳的平均密度之比约为 (　　)
A.k3()2　　 　 B.k3()2
C.()2 D.()2
【解题指南】关键是利用月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,得到地球和月球的距离与月球半径和太阳半径的距离之间的比例关系。
【解析】选D。设月球绕地球运动的轨道半径为r1,地球绕太阳运动的轨道半径为r2,根据G=mr,可得G=m月r1,G=m地r2,其中==,
ρ=,联立可得=()2,故选D。
【备选例题】
(2024·晋中模拟)2022年7月25日3时13分,问天实验舱入轨后,顺利完成状态设置,成功对接于天和核心舱前向端口。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,周期为T。已知地球半径为R,引力常量为G,不考虑地球自转的影响,地球看成质量分布均匀的球体,则 (　　)
A.地球的质量为
B.地球的密度为
C.地球表面的重力加速度和组合体的向心加速度之比为
D.地球表面的重力加速度为()2R
【解析】选A。根据万有引力提供向心力=m()2(R+h) 解得M=
故A正确;根据ρ=,V=πR3 解得ρ=
故B错误;在地球表面,有mg=G
对组合体有=ma　解得=()2
故C错误;根据=m
可知,地球表面的物体周期小于T,故地球表面的重力加速度大于()2R,故D错误。

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