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第1讲　静电场中力的性质
一、电荷及其守恒定律(必修三第九章第1节)
1.元电荷
(1)
(2)比荷:带电粒子的电荷量与其质量的比值。
2.点电荷
(1)点电荷是只有电荷量,没有大小、形状的理想化模型,类似于力学中的质点,实际中并不存在。
(2)带电体能否看成点电荷视具体问题而定。如果带电体的大小比带电体间的距离小得多,则带电体的大小及形状就可以忽略,此时带电体就可以看成点电荷。
3.试探电荷和场源电荷
(1)试探电荷:为了便于研究电场各点的性质而引入的电荷,是电荷量和体积都很小的点电荷。
(2)场源电荷:激发电场的带电体所带的电荷,也叫源电荷。
4.电荷守恒定律
(1)
(2)电荷的分配原则:两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体,接触后再分开,二者带等量同种电荷,若两导体原来带异种电荷,则电荷先中和,余下的电荷再平分。
二、库仑定律(必修三第九章第2节)
三、电场强度(必修三第九章第3节)
1.电场
(1)定义:存在于电荷周围,能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。
(2)基本性质:对放入其中的电荷有力的作用。
2.电场强度
3.电场线
　　　不是电荷的运动轨迹
(1)定义:为了形象地了解和描述电场中各点电场强度的大小和方向,在电场中画出一条条有方向的曲线,曲线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向,曲线的疏密表示电场强度的大小。
(2)电场线的特点
a.电场线从正电荷或无限远出发,终止于无限远或负电荷。
b.电场线在电场中不相交。
c.在同一幅图中,电场强度较大的地方电场线较密,电场强度较小的地方电场线较疏。
d.电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
e.沿电场线方向电势逐渐降低。
f.电场线和等势面在相交处相互垂直。
(3)常见的几种电场线:
四、静电的防止与利用(必修三第九章第4节)
1.静电平衡
(1)定义:导体放入电场中时,附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反,使得叠加电场强度为零时,自由电荷不再发生定向移动,导体达到静电平衡状态。
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的电场强度处处为零。
②导体是一个等势体,导体表面是等势面。
③导体表面处的电场强度方向与导体表面垂直。
④导体内部没有净电荷,净电荷只分布在导体的外表面上。
⑤在导体外表面越尖锐的位置,净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大,凹陷的位置几乎没有净电荷。
2.尖端放电
导体尖端周围电场使空气电离,电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷中和,相当于导体从尖端失去电荷。
3.静电屏蔽
处于电场中的封闭金属壳,由于内部电场强度处处为0,从而外电场对壳内仪器不会产生影响。
【质疑辨析】
　角度1 电荷及库仑定律
(1)质子的电荷量为一个元电荷,但电子、质子是真实存在的粒子,不是元电荷。 (　√　)
(2)相互作用的两个点电荷,不论它们的电荷量是否相同,它们之间的库仑力大小一定相等。 (　√　)
(3)根据F=k,当r→0时,F→∞。 (　×　)
(4)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。 (　√　)
　角度2 电场强度、电场线
(5)E=是电场强度的定义式,可知电场强度与电场力成正比。 (　×　)
(6)在点电荷产生的电场中,以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。 (　×　)
(7)电场线的方向即为带电粒子的运动方向。(　×　)
(8)如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场,那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 (　√　)
精研考点·提升关键能力
考点一　库仑定律　(核心共研)
【核心要点】
1.库仑定律适用条件的三点理解
(1)对于两个均匀带电绝缘球体,可以将其视为电荷集中于球心的点电荷,r为两球心之间的距离。
(2)对于两个带电金属球,要考虑金属球表面电荷的重新分布。如图所示。
a.同种电荷:Fb.异种电荷:F>k。
(3)库仑力在10-15 m2.应用库仑定律的四条提醒
(1)在用库仑定律公式进行计算时,无论是正电荷还是负电荷,均代入电量的绝对值计算库仑力的大小。
(2)作用力的方向判断:根据同性相斥,异性相吸,作用力的方向沿两电荷连线方向。
(3)两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律,大小相等、方向相反。
(4)库仑力存在极大值,由公式F=k可以看出,在两带电体的间距及电量之和一定的条件下,当q1=q2时,F最大。
3.三个自由点电荷的平衡条件及规律
(1)平衡条件:每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零,或每个点电荷的位置处于另外两个点电荷的合场强为零的位置。
(2)平衡规律。
【典例剖析】
角度1 库仑力的计算
[典例1](2024·天津和平区模拟)如图所示,A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点,在这些点上各固定一个点电荷,除A点处的电荷量为-q外,其余各点处的点电荷电荷量均为+q,圆心O处固定一点电荷+Q,则+Q所受静电力 (　　)
A.大小为,方向沿OA方向
B.大小为,方向沿AO方向
C.大小为,方向沿OA方向
D.大小为,方向沿AO方向
角度2 库仑力作用下的静态平衡问题
[典例2](多选)(2021·湖北选择考)如图所示,一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中,悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷,电荷量大小均为q(q>0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°①。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍,两小球仍在原位置平衡②。已知静电力常量为k,重力加速度大小为g,下列说法正确的是 (　　)
A.M带正电荷　　　　　B.N带正电荷
C.q=L D.q=3L
【备选例题】
　　(2023·保定模拟)如图所示,质量为m的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点,带电荷量为+q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上。当小球A平衡时,悬线沿水平方向。已知lOA=lOB=l,静电力常量为k,重力加速度为g,两带电小球均可视为点电荷,则关于小球A的电性及带电荷量qA的大小,下列判断正确的是(　　)
A.正电,　　　　　 B.正电,
C.负电, D.负电,
[典例3]如图所示,在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B,A带电+Q,B带电-9Q。现引入第三个点电荷C,恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态,则C的带电性质及位置应为 (　　)
A.正,B的右边0.4 m处
B.正,B的左边0.2 m处
C.负,A的左边0.2 m处
D.负,A的右边0.2 m处
【备选例题】
　　如图所示,真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷),所带电荷量分别为+Q和-5Q,在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷,该电荷受到的静电力大小为F1,已知AB=BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时,电荷受到的静电力大小为F2,则为 (　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
角度3 库仑力作用下的动态平衡问题
[典例4](2023·厦门模拟)如图所示,一带电小球B用绝缘轻质细线悬挂于O点。带电小球A与带电小球B处于同一水平线上,小球B平衡时细线与竖直方向成θ角(θ<45°)。现在同一竖直面内缓慢向下(不是竖直向下)移动带电小球A,使带电小球B能够保持在原位置不动,直到小球A移动到小球B位置的正下方。则对于此过程中带电小球A、B,下列说法正确的是 (　　)
A.小球A、B间的距离越来越小
B.小球B受到的库仑力越来越小
C.轻质细线的拉力一直在减小
D.轻质细线的拉力不可能减小为零
【备选例题】
　　如图,一根竖直立在水平地面上的细杆,其上端固定一个光滑的定滑轮A,一质量为m,带电荷量为+q的可视为质点的小球B通过细绳绕过定滑轮A,并用水平力F拉住,在细杆上某点C处固定一个带电量为+Q的点电荷,此时小球B处于静止状态,且AB=AC=BC。现缓慢向左拉绳,使细绳AB的长度减为原来一半,同时改变小球B所带的电荷量+q的大小,且细绳AB与细杆的夹角保持不变,在此过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.细绳拉力F逐渐增大
B.细绳拉力F逐渐减小
C.小球B所带的电荷量q逐渐增大
D.小球B所带的电荷量q先减小后增大
角度4 库仑力作用下的加速问题
[典例5](多选)(2022·辽宁选择考)如图所示,带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点,其正上方L处固定一电荷量为-Q的球2,斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3,球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为,球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后,球3沿斜面向下运动。g为重力加速度,球的大小可忽略,下列关于球3的说法正确的是(　　)
A.带负电
B.运动至a点的速度大小为
C.运动至a点的加速度大小为2g
D.运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg
考点二　电场强度的理解和计算　(核心共研)
【核心要点】
1.电场强度的性质
矢量性 电场强度方向与正电荷所受电场力方向相同
唯一性 电场强度决定于电场本身,与试探电荷无关
2.电场强度三个计算公式的比较
项目 公式 适用条件 说明
定义式 E= 任何电场 某点的电场强度为确定值,大小及方向与q无关
决定式 E=k 真空中静止点电荷的电场 E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式 E= 匀强电场 d是沿电场方向的距离
【典例剖析】
[典例6](2023·延庆区模拟)在真空中一个点电荷Q的电场中,让x轴与它的一条电场线重合,坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.3 m和0.6 m(如图甲)。在A、B两点分别放置带正电的试探电荷,试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同,其受到的电场力大小跟试探电荷的电荷量的关系如图乙中直线a、b所示。下列说法正确的是(　　)
A.A点的电场强度大小为2.5 N/C
B.B点的电场强度大小为40 N/C
C.点电荷Q是负电荷
D.点电荷Q的位置坐标为0.2 m
[典例7]在一正交直角坐标系的坐标原点O处有一带正电的点电荷,x轴上0.1 m处放一试探电荷,其受力与电荷量的关系如图所示,y轴上有一点b, 其电场强度为1 N/C, 则b点的坐标为 (　　)
A.(0, 0.1 m)　　　　　 B.(0, 0.2 m)
C.(0, 0.3 m) D.(0, 0.4 m)
考点三　电场强度的叠加原理　(核心共研)
【核心要点】
1.电场强度的叠加(如图所示)
2.“等效法”“对称法”和“填补法”
(1)等效法
在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如:一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场,等效为两个等量异种点电荷形成的电场,如图甲、乙所示。
(2)对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点,使复杂电场的叠加计算问题简化。
例如:如图所示,均匀带电的球壳在O点产生的电场,等效为弧BC产生的电场,弧BC产生的电场强度方向,又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
(3)填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板,将半球面补全为球面,从而化难为易、事半功倍。
3.选用技巧
(1)点电荷电场与匀强电场电场强度叠加一般应用合成法。
(2)均匀带电体与点电荷电场强度叠加一般应用对称法。
(3)计算均匀带电体某点产生的电场强度一般应用补偿法或微元法。
【典例剖析】
角度1 点电荷电场强度的叠加和计算
[典例8](2021·湖南选择考)如图,在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷,在(0,a)位置放置电荷量为q的负点电荷,在距P(a, a)为a的某点处放置正点电荷Q,使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　　)
A.(0,2a),q　　　　　 B.(0,2a),2q
C.(2a, 0),q D.(2a, 0),2q
角度2 非点电荷电场强度的叠加和计算
[典例9](2022·山东等级考)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置,圆心位于O点,环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分,取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点,O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变,q为 (　　)
A.正电荷,q=　 　 B.正电荷,q=
C.负电荷,q= D.负电荷,q=
[典例10]均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示,在半球面AB上均匀分布正电荷,总电荷量为q,球面半径为R,CD为通过半球顶点与球心O的轴线,在轴线上有M、N两点,==2R,静电力常量为k,已知M点的电场强度大小为E,则N点的电场强度大小为 (　　)
A.-E B.
C.-E D.+E
【备选例题】
　　1.如图,电荷量为+q的点电荷与一正方形均匀带电薄板相距2d,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心O,图中AO=OB=d,已知B点的电场强度为零,静电力常量为k。下列说法正确的是 (　　)
A.薄板带正电,A点的电场强度大小为
B.薄板带正电,A点的电场强度大小为
C.薄板带负电,A点的电场强度大小为
D.薄板带负电,A点的电场强度大小为
2.已知半径为R、电荷量为Q的均匀带电半球面在球心O处产生的场强大小E0=,方向垂直于半球底部。现把半球面分为表面积相等的左、右两部分,如图所示,左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2,则(　　)
A.E1<　　　　　　　　　 B.E1<
C.E2= D.E2=
考点四　电场线　静电的利用和防止　(核心共研)
【核心要点】
1.两种等量点电荷电场线的比较
比较 等量异 种点电荷 等量同种 正点电荷
电场线 分布图
电荷连线上 的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零 O点为零
中垂线上 的电场强度 O点最大, 向外逐渐减小 O点最小,向外先变大后变小
关于O点对 称位置的电 场强度 A与A'、B与B'、C与C'
等大同向 等大反向
2.电场线的应用
【典例剖析】
角度1 电场线的理解和应用
[典例11]如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图,带电荷量大小分别为q和2q,两点电荷间的距离为2r,P、Q两点关于两电荷连线对称,静电力常量为k。由图可知(　　)
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.右边的点电荷带电荷量为-2q
D.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3k
[典例12](多选)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线,图乙是电场中的一些点;O是电荷连线的中点,E、F是连线中垂线上关于O对称的两点,B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点。则 (　　)
A.E、F两点电场强度相同
B.A、D两点电场强度不同
C.B、O、C三点中,O点电场强度最小
D.从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
角度2 静电的利用和防止
[典例13](2023·宝鸡模拟)如图所示,在原来不带电的空心金属球壳外面放置一个正电荷。A、B、C三点分别位于球壳外部、球壳实体中和球壳空腔内。当球壳处于静电平衡状态时,下列说法正确的是 (　　)
A.A点的电场强度小于B点的电场强度
B.B点的电场强度小于C点的电场强度
C.由于静电屏蔽,C点的电场强度等于0
D.由于静电感应,球壳内表面感应出电荷
　【备选例题】
　　(2023·西城区模拟)一个内部含有空腔的矩形金属导体W放在静电场中,电场线如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.金属发生感应起电,左端A处的感应电荷为正电荷
B.金属内部被静电屏蔽,空腔C处的电场强度为0
C.金属内表面是等势面,金属导体内外表面存在电势差
D.金属处于静电平衡时,金属内部电场强度与静电场电场强度大小相等、方向相反
答案及解析
考点一　库仑定律
【典例剖析】
角度1 库仑力的计算
[典例1](2024·天津和平区模拟)如图所示,A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点,在这些点上各固定一个点电荷,除A点处的电荷量为-q外,其余各点处的点电荷电荷量均为+q,圆心O处固定一点电荷+Q,则+Q所受静电力 (　　)
A.大小为,方向沿OA方向
B.大小为,方向沿AO方向
C.大小为,方向沿OA方向
D.大小为,方向沿AO方向
【解析】选C。将A处点电荷-q拆分为+q与-2q,则由对称性可知,A、B、C、D、E五处+q对O处点电荷Q的合静电力为0,故O处Q所受静电力等于A处等效的-2q对它的作用力,由库仑定律可知,静电力的大小为F= ,由异种电荷相吸引可知,静电力方向沿OA方向,故C正确,A、B、D错误。
角度2 库仑力作用下的静态平衡问题
[典例2](多选)(2021·湖北选择考)如图所示,一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中,悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷,电荷量大小均为q(q>0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°①。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍,两小球仍在原位置平衡②。已知静电力常量为k,重力加速度大小为g,下列说法正确的是 (　　)
A.M带正电荷　　　　　B.N带正电荷
C.q=L D.q=3L
【题眼破译】——提升信息转化能力
信息①→平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°→qE-F=mg
信息②→两小球的电荷量同时变为原来的2倍,两小球仍在原位置平衡→2qE-4F=mg
【解析】选B、C。由题图可知,对小球M受力分析如图(a)所示,
对小球N受力分析如图(b)所示,由受力分析图可知小球M带负电,小球N带正电,故B正确,A错误;由几何关系可知,两小球之间的距离为r=L,当两小球的电荷量为q时,由力的平衡条件得mgtan45°=Eq-k,两小球的电荷量同时变为原来的2倍后,由力的平衡条件得mgtan45°=E·2q-k,整理解得q=L,故C正确,D错误。
　【方法技巧】 库仑力作用下平衡问题的解题思路
【备选例题】
　　(2023·保定模拟)如图所示,质量为m的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点,带电荷量为+q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上。当小球A平衡时,悬线沿水平方向。已知lOA=lOB=l,静电力常量为k,重力加速度为g,两带电小球均可视为点电荷,则关于小球A的电性及带电荷量qA的大小,下列判断正确的是(　　)
A.正电,　　　　　 B.正电,
C.负电, D.负电,
【解析】选A。小球A静止时,根据平衡条件,小球A受到小球B的斥力,故小球A带正电;由平衡条件得=mg,解得qA=,故选A。
[典例3]如图所示,在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B,A带电+Q,B带电-9Q。现引入第三个点电荷C,恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态,则C的带电性质及位置应为 (　　)
A.正,B的右边0.4 m处
B.正,B的左边0.2 m处
C.负,A的左边0.2 m处
D.负,A的右边0.2 m处
【关键点拨】 平衡条件:每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零,即每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
【解析】选C。要使三个电荷均处于平衡状态,必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则,所以点电荷C应在A左侧,带负电。设C带电荷量为q,A、C间的距离为x,A、B间距离用r表示,由于处于平衡状态,所以k=,解得x=0.2 m,选项C正确。
【备选例题】
　　如图所示,真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷),所带电荷量分别为+Q和-5Q,在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷,该电荷受到的静电力大小为F1,已知AB=BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时,电荷受到的静电力大小为F2,则为 (　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】选C。设AB=BC=l,根据库仑定律得F1=-=,将两带电金属小球接触后,两小球所带电荷量均为-2Q,根据库仑定律得F2=+=,所以=,故选C。
角度3 库仑力作用下的动态平衡问题
[典例4](2023·厦门模拟)如图所示,一带电小球B用绝缘轻质细线悬挂于O点。带电小球A与带电小球B处于同一水平线上,小球B平衡时细线与竖直方向成θ角(θ<45°)。现在同一竖直面内缓慢向下(不是竖直向下)移动带电小球A,使带电小球B能够保持在原位置不动,直到小球A移动到小球B位置的正下方。则对于此过程中带电小球A、B,下列说法正确的是 (　　)
A.小球A、B间的距离越来越小
B.小球B受到的库仑力越来越小
C.轻质细线的拉力一直在减小
D.轻质细线的拉力不可能减小为零
【解析】选C。带电小球B在重力G、细线拉力T及库仑力F作用下处于平衡状态,此三力必可组成一封闭矢量三角形,当带电小球A向下缓慢移动时,带电小球B受力变化情况如图所示,库仑力先减小后增大,则小球A、B间的距离先增大后减小,故A、B错误;由受力图可知,轻质细线的拉力一直在减小,故C正确;当小球A处于小球B的正下方时,轻质细线的拉力一定为零,故D错误。
【备选例题】
　　如图,一根竖直立在水平地面上的细杆,其上端固定一个光滑的定滑轮A,一质量为m,带电荷量为+q的可视为质点的小球B通过细绳绕过定滑轮A,并用水平力F拉住,在细杆上某点C处固定一个带电量为+Q的点电荷,此时小球B处于静止状态,且AB=AC=BC。现缓慢向左拉绳,使细绳AB的长度减为原来一半,同时改变小球B所带的电荷量+q的大小,且细绳AB与细杆的夹角保持不变,在此过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.细绳拉力F逐渐增大
B.细绳拉力F逐渐减小
C.小球B所带的电荷量q逐渐增大
D.小球B所带的电荷量q先减小后增大
【解析】选B。对小球B受力分析,小球B受重力mg、库仑力F库、细绳拉力F,三个力作用下小球B平衡,开始时三个力构成等边矢量三角形,受力分析如图所示,由受力图可知,当细绳AB长度减小且夹角不变时,细绳拉力F逐渐减小,故A错误,B正确;细绳AB长度逐渐减小为原来的一半过程中,库仑力减小,两点电荷之间的距离也逐渐减小,根据库仑定律公式F库=k可知,小球B所带的电荷量q逐渐减小,故C、D错误。
角度4 库仑力作用下的加速问题
[典例5](多选)(2022·辽宁选择考)如图所示,带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点,其正上方L处固定一电荷量为-Q的球2,斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3,球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为,球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后,球3沿斜面向下运动。g为重力加速度,球的大小可忽略,下列关于球3的说法正确的是(　　)
A.带负电
B.运动至a点的速度大小为
C.运动至a点的加速度大小为2g
D.运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg
【解析】选B、C、D。由题意可知三小球构成一个等边三角形,小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力,弹簧处于压缩状态,故小球1和3一定是斥力,小球1带正电,则小球3带正电,故A错误;小球3运动至a点时,弹簧的伸长量等于,根据对称性可知,小球2对小球3做功为0,弹簧弹力做功为0,故根据动能定理有mgLsinθ=mv2,解得v=,故B正确;小球3在b点时,设小球3的电荷量为q,有k=,设弹簧的弹力为F,根据受力平衡,沿斜面方向有F=k-ksin30°-mgsin30°,解得F=mg,小球运动至a点时,弹簧的伸长量等于,根据对称性可知,此时弹簧的弹力大小仍为F,由牛顿第二定律得F+ksin30°-mgsin30°=ma,解得a=2g,故C正确;当小球3运动至ab中点时,弹簧弹力为0,此时小球2对小球3的力为F23=k=·k=×=mg,斜面对小球的支持力为FN=mgcos30°-F23=mg-mg=mg,根据牛顿第三定律可知,小球3对斜面的压力大小为mg,故D正确。
　【方法技巧】 静电力作用下的加速问题的求解思路
该类问题的分析方法与力学中加速问题的分析方法是相同的,只是在原来受力的基础上多分析一个静电力。具体步骤如下:
确定研究对象→受力分析→
由牛顿第二定律列方程→F合=ma
考点二　电场强度的理解和计算
【典例剖析】
[典例6](2023·延庆区模拟)在真空中一个点电荷Q的电场中,让x轴与它的一条电场线重合,坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.3 m和0.6 m(如图甲)。在A、B两点分别放置带正电的试探电荷,试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同,其受到的电场力大小跟试探电荷的电荷量的关系如图乙中直线a、b所示。下列说法正确的是(　　)
A.A点的电场强度大小为2.5 N/C
B.B点的电场强度大小为40 N/C
C.点电荷Q是负电荷
D.点电荷Q的位置坐标为0.2 m
【解析】选D。由图乙可知,A点的电场强度大小为EA== N/C=40 N/C,A错误;B点的电场强度大小为EB== N/C=2.5 N/C,B错误;由于EA>EB,点电荷Q应在A点的左侧,带正电的试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同,可知点电荷Q是正电荷,C错误;设点电荷Q的位置坐标为x,则有EA=k,EB=k,代入数据解得x=0.2 m,D正确。
[典例7]在一正交直角坐标系的坐标原点O处有一带正电的点电荷,x轴上0.1 m处放一试探电荷,其受力与电荷量的关系如图所示,y轴上有一点b, 其电场强度为1 N/C, 则b点的坐标为 (　　)
A.(0, 0.1 m)　　　　　 B.(0, 0.2 m)
C.(0, 0.3 m) D.(0, 0.4 m)
【解析】选C。x轴上0.1 m处电场强度为Ex==9 N/C,距离坐标原点r处的电场强度E=k,则Ex=k=9 N/C,Eb=k=1 N/C,联立解得rb=0.3 m,故A、B、D错误,C正确。
考点三　电场强度的叠加原理
【典例剖析】
角度1 点电荷电场强度的叠加和计算
[典例8](2021·湖南选择考)如图,在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷,在(0,a)位置放置电荷量为q的负点电荷,在距P(a, a)为a的某点处放置正点电荷Q,使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 (　　)
A.(0,2a),q　　　　　 B.(0,2a),2q
C.(2a, 0),q D.(2a, 0),2q
【解析】选B。根据点电荷场强公式E=k,两点等量异种点电荷在P点的场强大小为E0= ,方向如图所示。两点等量异种点电荷在P点的合场强为E1=E0= ,方向与+q点电荷和-q点电荷的位置连线平行,如图所示,Q点电荷在P点的场强大小为E2=k=。三点电荷的合场强为0,则E2方向如图所示,大小有E1=E2,解得Q=2q,由几何关系可知Q的坐标为(0,2a)。
　【方法技巧】 电场叠加问题的分析思路
(1)确定研究点的空间位置。
(2)分析该处有几个分电场,先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向。
(3)同一直线上的电场强度的叠加可简化为代数运算;不在同一直线上的两个电场强度的叠加,用平行四边形定则求合电场强度。
角度2 非点电荷电场强度的叠加和计算
[典例9](2022·山东等级考)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置,圆心位于O点,环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分,取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点,O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变,q为 (　　)
A.正电荷,q=　 　 B.正电荷,q=
C.负电荷,q= D.负电荷,q=
【解析】选C。取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷,根据对称性可知,圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和,如图所示,因为两段弧长非常小,故可看成点电荷,则有E1=k=k,由题意可知,两电场强度方向的夹角为120°,由几何关系得两者的合电场强度大小为E=E1=k,根据O点的合电场强度为0,则放在D点的点电荷带负电,在O点产生的电场强度大小为E'=E=k,又E'=k,联立解得q=,故选C。
[典例10]均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示,在半球面AB上均匀分布正电荷,总电荷量为q,球面半径为R,CD为通过半球顶点与球心O的轴线,在轴线上有M、N两点,==2R,静电力常量为k,已知M点的电场强度大小为E,则N点的电场强度大小为 (　　)
A.-E B.
C.-E D.+E
【解析】选A。把在O点的球壳补为完整的带电荷量为2q的带电球壳,则在M、N两点产生的电场强度大小为E0==。题图中左半球壳在M点产生的电场强度为E,则右半球壳在M点产生的电场强度为E'=E0-E=-E,由对称性知,左半球壳在N点产生的电场强度大小也为-E,A正确。
【备选例题】
　　1.如图,电荷量为+q的点电荷与一正方形均匀带电薄板相距2d,点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心O,图中AO=OB=d,已知B点的电场强度为零,静电力常量为k。下列说法正确的是 (　　)
A.薄板带正电,A点的电场强度大小为
B.薄板带正电,A点的电场强度大小为
C.薄板带负电,A点的电场强度大小为
D.薄板带负电,A点的电场强度大小为
【解析】选A。B点的电场强度为零,而+q的点电荷在B点的电场强度方向由B到O,根据矢量合成可知,薄板在B点的电场强度方向由O到B,则薄板带正电,故C、D错误;B点的电场强度为零,则薄板在B点的电场强度大小与+q的点电荷在B点的电场强度大小相等为E=,根据对称性,薄板在A点的电场强度大小也为E,方向由O到A,而+q的点电荷在A点的电场强度方向由O到A,则A点电场强度大小EA=E+=,故A正确,B错误。
2.已知半径为R、电荷量为Q的均匀带电半球面在球心O处产生的场强大小E0=,方向垂直于半球底部。现把半球面分为表面积相等的左、右两部分,如图所示,左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2,则(　　)
A.E1<　　　　　　　　　 B.E1<
C.E2= D.E2=
【解析】选C。由对称性和叠加原理知E1=E2=E0=,故选C。
考点四　电场线　静电的利用和防止
【典例剖析】
角度1 电场线的理解和应用
[典例11]如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图,带电荷量大小分别为q和2q,两点电荷间的距离为2r,P、Q两点关于两电荷连线对称,静电力常量为k。由图可知(　　)
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.右边的点电荷带电荷量为-2q
D.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3k
【解析】选D。电场线的疏密表示电场强度的相对大小,根据题图可知,P点电场强度大小等于Q点电场强度大小,但是两点电场强度的方向不同,则电场强度不相同,故A错误;同理,M点的电场线较N点密集,可知M点的电场强度大于N点的电场强度,故B错误;根据电场线的方向可知,右边的点电荷带负电,由电场线疏密可知右边点电荷的带电荷量小于左边点电荷的带电荷量,故右边的点电荷带电荷量为-q,故C错误;依据点电荷的电场强度公式E=k及叠加原则,则两点电荷连线的中点处的电场强度大小为E合=k+k=3k,故D正确。
[典例12](多选)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线,图乙是电场中的一些点;O是电荷连线的中点,E、F是连线中垂线上关于O对称的两点,B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点。则 (　　)
A.E、F两点电场强度相同
B.A、D两点电场强度不同
C.B、O、C三点中,O点电场强度最小
D.从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
【解析】选A、C。等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线,电场强度方向与等势线垂直,因此E、F两点电场强度方向相同,由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点,则其电场强度大小也相等,故A正确;根据对称性可知,A、D两点处电场线疏密程度相同,则A、D两点电场强度大小相等,由题图甲看出,A、D两点电场强度方向相同,故B错误;由题图甲看出,B、O、C三点比较,O点处的电场线最稀疏,电场强度最小,故C正确;由题图可知,电子从C点向O点运动过程中,电场强度逐渐减小,则静电力逐渐减小,由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小,故D错误。
角度2 静电的利用和防止
[典例13](2023·宝鸡模拟)如图所示,在原来不带电的空心金属球壳外面放置一个正电荷。A、B、C三点分别位于球壳外部、球壳实体中和球壳空腔内。当球壳处于静电平衡状态时,下列说法正确的是 (　　)
A.A点的电场强度小于B点的电场强度
B.B点的电场强度小于C点的电场强度
C.由于静电屏蔽,C点的电场强度等于0
D.由于静电感应,球壳内表面感应出电荷
【关键点拨】 金属空心导体处于静电平衡状态,导体内部的场强处处为零,且整个导体是等势体,根据这个特点进行分析此类型题。
【解析】选C。A点处于点电荷的电场中,所以A点的电场强度不等于零;金属空心导体放在点电荷的电场中,最终处于静电平衡状态,导体内部的场强处处为零,所以B、C两点的电场强度都为零,则EA>EB=EC,故A、B错误,C正确;处于静电平衡的导体的电场强度处处为零,其内表面不带电,故D错误。
　【备选例题】
　　(2023·西城区模拟)一个内部含有空腔的矩形金属导体W放在静电场中,电场线如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.金属发生感应起电,左端A处的感应电荷为正电荷
B.金属内部被静电屏蔽,空腔C处的电场强度为0
C.金属内表面是等势面,金属导体内外表面存在电势差
D.金属处于静电平衡时,金属内部电场强度与静电场电场强度大小相等、方向相反
【解析】选B。金属放在静电场中会发生感应起电,根据电场线的方向,可知左端A处的感应电荷为负电荷,故A错误;根据静电平衡下导体内部特征,金属内部被静电屏蔽,空腔C处的电场强度为0,故B正确;根据静电平衡下导体内部特征,金属整体是等势体,金属导体内外表面电势差为0,故C错误;金属放在静电场中会发生感应起电,金属内部的感应电场强度与静电场电场强度大小相等、方向相反,内部电场强度为0,故D错误。

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