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2023-2024学年湖北省宜昌市当阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本大题共10小题，每题3分，计30分）
1．（3分）下列m取值中，能满足在实数范围内有意义的是（　　）
A．m＝﹣2 B．m＝2024 C．m＝﹣0.2 D．m＝﹣1
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）已知△ABC的边长分别是，b＝2，，则该三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
4．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（　　）
A．2.2 B． C．1+ D．
5．（3分）四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AD∥BC
C．AB＝CD D．对角线互相平分
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名学生准备参加学校英语口语比赛，他们4次模拟训练成绩的平均数都是95分，这四名学生4次训练成绩的方差依次为如表：
学生 甲 乙 丙 丁
方差 1.7 2.6 3.8 5.2
根据表中数据，可以判断发挥最稳定的学生是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）关于正比例函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、三象限
B．图象经过原点
C．y随x增大而增大
D．点（2，﹣4）在函数的图象上
8．（3分）一次函数y＝x﹣4的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣4）到原点的距离为（　　）
A．2 B．4 C． D．
10．（3分）在下列命题中，真命题是（　　）
A．有两边平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形
二．填空题．（本大题满分15分，共5小题，每小题3分）
11．（3分）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到5天指数数据如下：61，75，81，56，81．则该组数据的众数是 　 　．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝1，那么菱形ABCD的周长是　 　．
13．（3分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　 　．
14．（3分）如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 　 　．
15．（3分）将直线y＝2x+1向下平移2个单位，得到的直线解析式是 　 　．
三．解答题．（本大题满分75分，共9小题）
16．（6分）计算：．
17．（6分）如图，直线y＝kx+2（k≠0）经过点A（2，6）．
（1）求k的值；
（2）求直线与x轴、y轴的交点坐标．
18．（6分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市部分教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了统计表：
组别 步数 频数 频率
1 0≤x＜4000 6 a
2 4000≤x＜84000 14 0.28
3 8000≤x＜12000 15 b
5 12000≤x＜16000 10 0.2
6 16000≤x＜20000 c 0.06
7 20000≤x＜24000 2 0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的教师人数为 　 　人，a＝　 　；
（2）这组数据的中位数落在第 　 　组内；
（3）本市约有2000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16．
①求∠BOA的度数；
②求四边形ABCD的面积．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×6的网格，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上．
（1）如图1，判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，在图2中的BC上找一点D，画线段AD，使AD⊥BC，保留作图痕迹，不写画法．
21．（8分）A超市在星期天进行某种水果优惠促销活动，该种水果的标价为10元/kg，如果一次购买5kg以上的该种水果，超过5kg的部分按标价6折售卖．
x（单位：kg）表示购买该种水果的重量，y（单位：元）表示付款金额．
（1）小明购买4kg该种水果需付款 　 　元；购买6kg该种水果需付款 　 　元；
（2）求付款金额y关于购买该种水果的重量x的函数解析式；
（3）当天，隔壁的B超市也在进行该种水果优惠促销活动，同样的该种水果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖．小明如果要购买9kg该种水果，请问她在哪个超市购买更划算？
22．（10分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠EAD＝90°，△ADE绕着顶点A旋转．
（1）如图1，若D点恰好落在BC边上，连接CE．
①求证：BD＝CE；
②若G为AC中点，连接GE，当点D在直线BC上运动时，若AC＝10，求线段GE的最小值；
（2）若D不在BC边上，DE交AC于点F，且AB＝10，AD＝6．当△CEF是直角三角形时，求BD长．（图2，图3是备用图）
23．（11分）已知，在矩形ABCD中．
（1）若点F是矩形ABCD边上一点，点E在边AB上，连接CE，AE＝BC．
①如图1，点F在边AD上，且AF＝BE，连接EF．求∠CFE的度数；
②如图2，点F在边BC上，且BE＝CF，连接AF交CE于点G，过C作CH∥AF交AD于H．求∠AGE的度数．
（2）如图3，在矩形ABCD中，若E是边DC上一动点，将△CBE沿BE折叠后得到△NBE，点N在矩形ABCD内部（不含边），射线BN分别交射线BC，射线DC于点M，F，AB＝8，AD＝6．
①当点E是DC的中点时，求线段DF的长；
②点E在运动过程中，求出△DEN的周长的最小值．
24．（12分）如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标；
（3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本大题共10小题，每题3分，计30分）
1．解：由题可知，
m≥0，
则在四个选项中只有B项符合题意；
故选：B．
2．解：﹣＝2﹣，故A错误，不符合题意；
×＝，故B正确，符合题意；
与不是同类二次根式，不能合并，故C错误，不符合题意；
÷＝＝2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
3．解：，
∴a2+c2＝b2，
∴该三角形一定是等腰直角三角．
故选：D．
4．解：由题意可得：OB＝＝＝，
故弧与数轴的交点C表示的数为：．
故选：B．
5．解：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴可得四边形ABCD是平行四边形，
∴B、C、D均正确，
而A选项∠A+∠B＝180°，但并不一定∠A＝∠B，故该选项错误，符合题意，
故选：A．
6．解：∵他们4次模拟训练成绩的平均数都是95分，
甲的方差＜乙的方差＜丙的方差＜丁的方差，
∴发挥最稳定的学生是甲，
故选：A．
7．解：A、正比例函数y＝﹣3x，图象经过第二，四象限，不正确，不合题意；
B、正比例函数y＝﹣3x，图象经过原点，正确，符合题意
C、正比例函数y＝﹣3x，y随x增大而减小，故此选项错误，不合题意；
D、当x＝2时，y＝﹣6，故点（2，﹣6）在函数的图象上不正确，不合题意；
故选：B．
8．解：由题意，得：k＞0，b＜0，故直线经过第一、三、四象限．即不经过第二象限．
故选：B．
9．解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：
＝＝2．
故选：D．
10．解：A、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C选项错误；
D、有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误．
故选：B．
二．填空题．（本大题满分15分，共5小题，每小题3分）
11．解：数据：61，75，81，56，81.81次数出现最多，该组数据的众数是81．
故答案为：81
12．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×1＝2，
∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8．
故答案为：8．
13．解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：＝；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：＝5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
14．解：由题意可得，
AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作BF⊥DA交DA的延长线于点F，如图所示，
则∠AED＝∠BFA＝90°，AF＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠FBA，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：菱形．
15．解：由“左加右减”的原则可知：直线y＝2x+1向下平移2个单位，得到直线的解析式为：y＝2x+1﹣2，即y＝2x﹣1．
故答案为：y＝2x﹣1．
三．解答题．（本大题满分75分，共9小题）
16．解：
＝2
＝2﹣．
17．解：（1）把A（2，6）代入y＝kx+2得2k+2＝6，
解得k＝2；
（2）直线解析式为y＝2x+2，
令y＝0得，2x+2＝0，解得x＝﹣2
所以直线与x轴交点坐标为（﹣1，0）；
令x＝0得，y＝2，
所以直线与y轴交点坐标为（0，2）．
18．解：（1）本次调查的教师人数为（人），，
故答案为：50，0.12；
（2）∵本次调查的教师人数为50人，
∴中位数等于第25及第26个数的平均数，
∴这组数据的中位数落在第8000≤x＜12000组内，
故答案为：8000≤x＜12000；
（3）2000×（0.2+0.06+0.04）＝600，
∴估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有600名．
19．（1）证明：∵AD∥BC．，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：①∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，OB＝BD＝8，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠BOA＝90°；
②由①可知，AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OA＝12，
∴S四边形ABCD＝AC BD＝×12×16＝96．
20．解：（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）如图，线段AD即为所求．
21．解：（1）由题意可知：购买4kg苹果，不优惠，
∴购买4kg苹果需付款：4×10＝40（元），
购买6kg水果，5kg不优惠，1kg优惠，
∴购买6kg需付款：5×10+1×10×0.6＝56（元），
故答案为：40，56；
（2）由题意得：
当0＜x≤5时，y＝10x，
当x＞5时，y＝5×10+（x﹣5）×10×0.6＝6x+20，
∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y＝；
（3）小明在甲超市购买9kg水果需付费：6×9+20＝74（元），
小明在乙超市购买9kg水果需付费：10×9×0.8＝72（元），
∴小明应该在B超市购买更划算．
22．（1）①证明：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE；
②解：如图：
由①知△CAE≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA＝45°，
∴∠ECB＝∠ECA+∠ACB＝90°，
∴EC⊥CB，
∴E的轨迹是过C与BC垂直的一条直线，
∴当EG⊥EC时，GE最小，此时△GCE是等腰直角三角形，
∴EG＝CG，
∵G为AC中点，AC＝10，
∴CG＝CG，
∴EG＝×5＝，
∴GE最小值为；
（3）解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，AC＝AB
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE；
①当∠CFE＝90°时，如图，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∵AF⊥DE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝＝6，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4，
∴BD＝CE＝＝＝2；
②当∠CEF＝90°时，过A作AH⊥DE于H，如图，
∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝∠AED+∠CEF＝135°，
∵△CAE≌△DAB，
∴∠CEA＝∠BDA＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADE+∠BDA＝180°，
∴B、D、F共线，
∵△ADE是等腰直角三角形，AD＝6，AH⊥DE，
∴DE＝AD＝12，AH＝DH＝DE＝6，
∴BH＝＝＝8，
∴BD＝BH﹣HD＝8﹣6＝2，
综上所述，BD的长为2或2．
23．解：（1）①∵AE＝BC，∠A＝∠B，AF＝BE，
∴△FAE≌△EBC（SAS），
∴FE＝EC，∠AFE＝∠BEC，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠BEC+∠AEF＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△FEC是等腰直角三角形，
∴∠CFE＝45°；
②∵CH∥AF，AH∥CF，
∴四边形HAFC是平行四边形，
∴CF＝AH，
∵CF＝BE，
∴BE＝AH，
∵BE＝AH，∠EBC＝∠HAE＝90°，AE＝BC，
∴△HAE≌△EBC（SAS），
同①△HEC是等腰直角三角形，则∠HCE＝45°，
∵AF∥HC，
∴∠AGE＝∠HCE＝45°；
（2）①连接EF，
∵E是DC的中点，
∴DE＝EC，
∵△CBE沿AE折叠后得到△NBE，
∴CE＝EN，
∴DE＝EN，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠ENB＝90°，
∵DE＝EN，EF＝EF，
∴Rt△DFE≌Rt△NFE（HL），
∴DF＝FN，
设DF＝x，则BF＝6+x，FA＝6﹣x，
在Rt△AFB中，82+（6﹣x）2＝（6+x）2，
解得，
∴；
②由折叠知，∠C＝∠ENB＝90°，EC＝NE，
∴DE+EN＝DE+CE＝DC＝8，
∴当DN最小时，△DEN的周长最小，
∵∠ENB＝90°，
∴点B、N、D在同一条直线上时，DN最小，
∴DN＝BD﹣BN＝10﹣6＝4，
此时，∠DNE＝90°，
∴△DNE的周长＝DN+DE+EN＝8+4＝12．
24．解：（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，6）、（﹣8，0），则AB＝10，
∵△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处，
故设CD＝x＝OC，
则Rt△BCD中，BC＝8﹣x，CD＝x，BD＝10﹣6＝4，
由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
即（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，
即点C（﹣3，0）；
（2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+6，
过点B作y轴的平行线交过点E和x轴的平行线于点M，交过点F和x轴的平行线于点N，如图2，
设点E、F的坐标分别为：（m，2m+6）、（n，2n+6），
∵△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则BE＝BF，∠EBF＝90°，
∵∠EBM+∠FBN＝90°，∠FBN+∠BFN＝90°，
∴∠MBE＝∠BFN，
∵∠EMB＝∠BNF＝90°，
∴△EMB≌△BNF（AAS），
∴EM＝m+8＝BN＝﹣2n﹣6且BM＝2m+6＝FN＝n+8，
解得：m＝﹣2，
即点E（﹣2，2）；
（3）如图3，
∵S△BCD＝×CD BD＝BC yD，
即3×4＝5yD，则yD＝，
则点D（﹣，）；
由点D的坐标得，直线OD的表达式为：y＝﹣x，
过点C作CH∥OD，交AB于点H，
则△DGH和△DGC面积相等，
而△ADC与△AGH的面积相等，
故点H为所求点，
则CH的表达式为：y＝﹣（x+3），
联立上式和直线AB的表达式得：x+6＝﹣（x+3），
解得：x＝﹣6，
即点H（﹣6，）．

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